Theorem numtowerdt 47719

Description: Certain number sets and fields form a tower. In particular, singleton 1, natural numbers, natural numbers with zero, integers, rationals, algebraic reals (notice that current definition allows algebraic numbers to be complex thus the restriction), reals and complex number sets are a tower of proper subsets. (Contributed by Ender Ting, 31-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
numtowerdt	⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ ∈ ( [⊊] Chain V)

Proof of Theorem numtowerdt

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s8 14925	. . 3 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ++ ⟨“ℂ”⟩)
2		cnex 11206	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
4		df-s7 14924	. . . . 5 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ++ ⟨“ℝ”⟩)
5		reex 11216	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ V)
7		df-s6 14923	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ++ ⟨“(𝔸 ∩ ℝ)”⟩)
8	5	inex2 5285	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝔸 ∩ ℝ) ∈ V)
10		df-s5 14922	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ++ ⟨“ℚ”⟩)
11		qex 13011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℚ ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ℚ ∈ V)
13		df-s4 14921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0”⟩ ++ ⟨“ℤ”⟩)
14		zex 12625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ℤ ∈ V)
16		df-s3 14920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0”⟩ = (⟨“{1}ℕ”⟩ ++ ⟨“ℕ0”⟩)
17		nn0ex 12535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ℕ0 ∈ V)
19		df-s2 14919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⟨“{1}ℕ”⟩ = (⟨“{1}”⟩ ++ ⟨“ℕ”⟩)
20		nnex 12264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
22		snex 5408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {1} ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → {1} ∈ V)
24	23	s1chn 18710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}”⟩ ∈ ( [⊊] Chain V))
25		lsws1 14679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({1} ∈ V → (lastS‘⟨“{1}”⟩) = {1})
26	22, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (lastS‘⟨“{1}”⟩) = {1}
27		1nn 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℕ
28		1ex 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ V
29	28	snss 4748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 ∈ ℕ ↔ {1} ⊆ ℕ)
30	27, 29	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {1} ⊆ ℕ
31		2nn 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℕ
32		1re 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℝ
33		1lt2 12438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 2
34	32, 33	gtneii 11347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ≠ 1
35		nelsn 4630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 ≠ 1 → ¬ 2 ∈ {1})
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ¬ 2 ∈ {1}
37	31, 36	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∈ {1})
38		ssnelpss 4066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({1} ⊆ ℕ → ((2 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∈ {1}) → {1} ⊊ ℕ))
39	30, 37, 38	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {1} ⊊ ℕ
40	20	brrpss 7730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({1} [⊊] ℕ ↔ {1} ⊊ ℕ)
41	39, 40	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {1} [⊊] ℕ
42	26, 41	eqbrtri 5130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (lastS‘⟨“{1}”⟩) [⊊] ℕ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}”⟩) [⊊] ℕ)
44	43	olcd 888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}”⟩) [⊊] ℕ))
45	21, 24, 44	chnccats1 18715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}”⟩ ++ ⟨“ℕ”⟩) ∈ ( [⊊] Chain V))
46	19, 45	eqeltrid 2866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕ”⟩ ∈ ( [⊊] Chain V))
47		lsws2 14975	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℕ ∈ V → (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) = ℕ)
48	20, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) = ℕ
49		nthruz 16343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℕ ⊊ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊊ ℤ)
50	49	simpli 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ ⊊ ℕ0
51	17	brrpss 7730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℕ [⊊] ℕ0 ↔ ℕ ⊊ ℕ0)
52	50, 51	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ [⊊] ℕ0
53	48, 52	eqbrtri 5130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) [⊊] ℕ0
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) [⊊] ℕ0)
55	54	olcd 888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) [⊊] ℕ0))
56	18, 46, 55	chnccats1 18715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕ”⟩ ++ ⟨“ℕ0”⟩) ∈ ( [⊊] Chain V))
57	16, 56	eqeltrid 2866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0”⟩ ∈ ( [⊊] Chain V))
58		lsws3 14976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℕ0 ∈ V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) = ℕ0)
59	17, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) = ℕ0
60	49	simpri 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ0 ⊊ ℤ
61	14	brrpss 7730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℕ0 [⊊] ℤ ↔ ℕ0 ⊊ ℤ)
62	60, 61	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 [⊊] ℤ
63	59, 62	eqbrtri 5130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) [⊊] ℤ
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) [⊊] ℤ)
65	64	olcd 888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) [⊊] ℤ))
66	15, 57, 65	chnccats1 18715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0”⟩ ++ ⟨“ℤ”⟩) ∈ ( [⊊] Chain V))
67	13, 66	eqeltrid 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ∈ ( [⊊] Chain V))
68		lsws4 14977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ ∈ V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) = ℤ)
69	14, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) = ℤ
70		nthruc 16342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))
71	70	simpli 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ)
72	71	simpri 491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ ⊊ ℚ
73	11	brrpss 7730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ [⊊] ℚ ↔ ℤ ⊊ ℚ)
74	72, 73	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ [⊊] ℚ
75	69, 74	eqbrtri 5130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) [⊊] ℚ
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) [⊊] ℚ)
77	76	olcd 888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) [⊊] ℚ))
78	12, 67, 77	chnccats1 18715	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ++ ⟨“ℚ”⟩) ∈ ( [⊊] Chain V))
79	10, 78	eqeltrid 2866	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ∈ ( [⊊] Chain V))
80		s5cli 14954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ∈ Word V
81		lsw 14629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ∈ Word V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1)))
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1))
83		s5len 14971	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = 5
84	83	oveq1i 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1) = (5 − 1)
85		5m1e4 12395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 − 1) = 4
86	84, 85	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1) = 4
87	86	fveq2i 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1)) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘4)
88		s4cli 14953	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ∈ Word V
89		s4len 14970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) = 4
90	10, 88, 89	cats1fvn 14929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ ∈ V → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘4) = ℚ)
91	11, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘4) = ℚ
92	82, 87, 91	3eqtri 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = ℚ
93		qssaa 26553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℚ ⊆ 𝔸
94		qssre 13009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
95	93, 94	ssini 4188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℚ ⊆ (𝔸 ∩ ℝ)
96		sqrtnnaa 47716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℕ → (√‘2) ∈ 𝔸)
97	31, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∈ 𝔸
98		sqrt2re 16340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
99	97, 98	elini 4148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (√‘2) ∈ (𝔸 ∩ ℝ)
100		sqrt2irr 16339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∉ ℚ
101	100	neli 3065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ (√‘2) ∈ ℚ
102	99, 101	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((√‘2) ∈ (𝔸 ∩ ℝ) ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
103		ssnelpss 4066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ ⊆ (𝔸 ∩ ℝ) → (((√‘2) ∈ (𝔸 ∩ ℝ) ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ) → ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ)))
104	95, 102, 103	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ)
105	8	brrpss 7730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℚ [⊊] (𝔸 ∩ ℝ) ↔ ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ))
106	104, 105	mpbir 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℚ [⊊] (𝔸 ∩ ℝ)
107	92, 106	eqbrtri 5130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) [⊊] (𝔸 ∩ ℝ)
108	107	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) [⊊] (𝔸 ∩ ℝ))
109	108	olcd 888	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) [⊊] (𝔸 ∩ ℝ)))
110	9, 79, 109	chnccats1 18715	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ++ ⟨“(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) ∈ ( [⊊] Chain V))
111	7, 110	eqeltrid 2866	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ∈ ( [⊊] Chain V))
112		s6cli 14955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ∈ Word V
113		lsw 14629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ∈ Word V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1)))
114	112, 113	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1))
115		s6len 14972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = 6
116	115	oveq1i 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1) = (6 − 1)
117		6m1e5 12396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 − 1) = 5
118	116, 117	eqtri 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1) = 5
119	118	fveq2i 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1)) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘5)
120	7, 80, 83	cats1fvn 14929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝔸 ∩ ℝ) ∈ V → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘5) = (𝔸 ∩ ℝ))
121	8, 120	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘5) = (𝔸 ∩ ℝ)
122	114, 119, 121	3eqtri 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = (𝔸 ∩ ℝ)
123		inss2 4186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) ⊆ ℝ
124		aaliou3r 26583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ
125		aaliou3 26582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∉ 𝔸
126	125	neli 3065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ 𝔸
127		elinel1 4150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ) → Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ 𝔸)
128	126, 127	mto 200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ)
129	124, 128	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ))
130		ssnelpss 4066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝔸 ∩ ℝ) ⊆ ℝ → ((Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ)) → (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ))
131	123, 129, 130	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ
132	5	brrpss 7730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝔸 ∩ ℝ) [⊊] ℝ ↔ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ)
133	131, 132	mpbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) [⊊] ℝ
134	122, 133	eqbrtri 5130	. . . . . . . 8 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) [⊊] ℝ
135	134	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) [⊊] ℝ)
136	135	olcd 888	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) [⊊] ℝ))
137	6, 111, 136	chnccats1 18715	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ++ ⟨“ℝ”⟩) ∈ ( [⊊] Chain V))
138	4, 137	eqeltrid 2866	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ∈ ( [⊊] Chain V))
139		s7cli 14956	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ∈ Word V
140		lsw 14629	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ∈ Word V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1)))
141	139, 140	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1))
142		s7len 14973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = 7
143	142	oveq1i 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1) = (7 − 1)
144		7m1e6 12397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 − 1) = 6
145	143, 144	eqtri 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1) = 6
146	145	fveq2i 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1)) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘6)
147	4, 112, 115	cats1fvn 14929	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∈ V → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘6) = ℝ)
148	5, 147	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘6) = ℝ
149	141, 146, 148	3eqtri 2789	. . . . . . 7 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = ℝ
150	70	simpri 491	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ)
151	150	simpri 491	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊊ ℂ
152	2	brrpss 7730	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ [⊊] ℂ ↔ ℝ ⊊ ℂ)
153	151, 152	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ ℝ [⊊] ℂ
154	149, 153	eqbrtri 5130	. . . . . 6 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) [⊊] ℂ
155	154	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) [⊊] ℂ)
156	155	olcd 888	. . . 4 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) [⊊] ℂ))
157	3, 138, 156	chnccats1 18715	. . 3 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ++ ⟨“ℂ”⟩) ∈ ( [⊊] Chain V))
158	1, 157	eqeltrid 2866	. 2 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ ∈ ( [⊊] Chain V))
159	158	mptru 1577	1 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ ∈ ( [⊊] Chain V)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   ⊊ wpss 3903  ∅c0 4282  {csn 4587   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   [⊊] crpss 7726  ℂcc 11123  ℝcr 11124  1c1 11126   − cmin 11466  -cneg 11467  ℕcn 12258  2c2 12320  4c4 12322  5c5 12323  6c6 12324  7c7 12325  ℕ₀cn0 12529  ℤcz 12616  ℚcq 12998  ↑cexp 14125  !cfa 14337  ♯chash 14394  Word cword 14578  lastSclsw 14627   ++ cconcat 14635  ⟨“cs1 14662  ⟨“cs2 14912  ⟨“cs3 14913  ⟨“cs4 14914  ⟨“cs5 14915  ⟨“cs6 14916  ⟨“cs7 14917  ⟨“cs8 14918  √csqrt 15320  Σcsu 15773   Chain cchn 18695  𝔸caa 26543

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-rpss 7727  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-hash 14395  df-word 14579  df-lsw 14628  df-concat 14636  df-s1 14663  df-s2 14919  df-s3 14920  df-s4 14921  df-s5 14922  df-s6 14923  df-s7 14924  df-s8 14925  df-shft 15140  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-starv 17359  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-unif 17367  df-hom 17368  df-cco 17369  df-rest 17509  df-topn 17510  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-topgen 17530  df-pt 17531  df-prds 17534  df-xrs 17590  df-qtop 17595  df-imas 17596  df-xps 17598  df-mre 17672  df-mrc 17673  df-acs 17675  df-chn 18696  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-mulg 19190  df-subg 19245  df-cntz 19443  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-cring 20374  df-subrng 20707  df-subrg 20731  df-psmet 21576  df-xmet 21577  df-met 21578  df-bl 21579  df-mopn 21580  df-fbas 21581  df-fg 21582  df-cnfld 21585  df-top 23118  df-topon 23135  df-topsp 23157  df-bases 23170  df-cld 23243  df-ntr 23244  df-cls 23245  df-nei 23322  df-lp 23360  df-perf 23361  df-cn 23451  df-cnp 23452  df-haus 23539  df-cmp 23611  df-tx 23787  df-hmeo 23980  df-fil 24071  df-fm 24163  df-flim 24164  df-flf 24165  df-xms 24545  df-ms 24546  df-tms 24547  df-cncf 25105  df-0p 25897  df-limc 26093  df-dv 26094  df-dvn 26095  df-cpn 26096  df-ply 26413  df-idp 26414  df-coe 26415  df-dgr 26416  df-quot 26520  df-aa 26544

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