Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s3tpop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s3tpop 14260
 Description: A length 3 word is an unordered triple of ordered pairs. (Contributed by AV, 23-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
s3tpop ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶𝑆) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})

Proof of Theorem s3tpop
StepHypRef Expression
1 df-s3 14200 . 2 ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩)
2 s2cl 14229 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆)
3 cats1un 14072 . . . 4 ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆𝐶𝑆) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
42, 3stoic3 1778 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶𝑆) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
5 s2prop 14258 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
653adant3 1129 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
7 s2len 14240 . . . . . . 7 (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
87opeq1i 4787 . . . . . 6 ⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩ = ⟨2, 𝐶
98sneqi 4559 . . . . 5 {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} = {⟨2, 𝐶⟩}
109a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶𝑆) → {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} = {⟨2, 𝐶⟩})
116, 10uneq12d 4124 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶𝑆) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩}))
12 df-tp 4553 . . . . 5 {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩})
1312eqcomi 2833 . . . 4 ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}
1413a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶𝑆) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})
154, 11, 143eqtrd 2863 . 2 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶𝑆) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})
161, 15syl5eq 2871 1 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶𝑆) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∪ cun 3916  {csn 4548  {cpr 4550  {ctp 4552  ⟨cop 4554  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  0cc0 10522  1c1 10523  2c2 11678  ♯chash 13684  Word cword 13855   ++ cconcat 13911  ⟨“cs1 13938  ⟨“cs2 14192  ⟨“cs3 14193 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13912  df-s1 13939  df-s2 14199  df-s3 14200 This theorem is referenced by:  funcnvs3  14265  wrdlen3s3  14300
 Copyright terms: Public domain W3C validator