Theorem sge0rern 46403

Description: If the sum of nonnegative extended reals is not +∞ then no terms is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0rern.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0rern.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0rern.re	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0rern	⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Proof of Theorem sge0rern

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0rern.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		sge0rern.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ran 𝐹)
6	2, 4, 5	sge0pnfval 46388	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (Σ^‘𝐹) = +∞)
7		sge0rern.re	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
9	2, 4	sge0repnf 46401	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞))
10	8, 9	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞)
11	6, 10	pm2.65da 817	1 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ran crn 5686  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  [,]cicc 13390  Σ^{^}csumge0 46377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-sumge0 46378

This theorem is referenced by:  sge0less  46407  sge0rnbnd  46408  sge0ltfirp  46415  sge0resplit  46421  sge0le  46422  sge0iunmptlemre  46430  sge0rernmpt  46437