Theorem sge0rern 45676

Description: If the sum of nonnegative extended reals is not +∞ then no terms is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0rern.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0rern.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0rern.re	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0rern	⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Proof of Theorem sge0rern

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0rern.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		sge0rern.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ran 𝐹)
6	2, 4, 5	sge0pnfval 45661	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (Σ^‘𝐹) = +∞)
7		sge0rern.re	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
9	2, 4	sge0repnf 45674	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞))
10	8, 9	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞)
11	6, 10	pm2.65da 814	1 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ran crn 5670  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℝcr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  [,]cicc 13333  Σ^{^}csumge0 45650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-sumge0 45651

This theorem is referenced by:  sge0less  45680  sge0rnbnd  45681  sge0ltfirp  45688  sge0resplit  45694  sge0le  45695  sge0iunmptlemre  45703  sge0rernmpt  45710