Theorem sin5tlem2 47429

Description: Lemma 2 for quintupled angle sine calculation, multiplicating triple angle cosine by cosine straight and converting into sine. (Contributed by Ender Ting, 16-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sin5tlem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · 𝑁) = ((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))))

Proof of Theorem sin5tlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4cn 12297	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 4 ∈ ℂ)
3		simp1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 𝑁 ∈ ℂ)
4		3nn0 12493	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 3 ∈ ℕ0)
6	3, 5	expcld 14153	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (𝑁↑3) ∈ ℂ)
7	2, 6	mulcld 11196	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (4 · (𝑁↑3)) ∈ ℂ)
8		3cn 12293	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 3 ∈ ℂ)
10	9, 3	mulcld 11196	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (3 · 𝑁) ∈ ℂ)
11	7, 10, 3	subdird 11638	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · 𝑁) = (((4 · (𝑁↑3)) · 𝑁) − ((3 · 𝑁) · 𝑁)))
12	2, 6, 3	mulassd 11199	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((4 · (𝑁↑3)) · 𝑁) = (4 · ((𝑁↑3) · 𝑁)))
13		2t2e4 12375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 2) = 4
14		df-4 12276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (3 + 1)
15	13, 14	eqtri 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = (3 + 1)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2 · 2) = (3 + 1))
17	16	oveq2d 7407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 · 2)) = (𝑁↑(3 + 1)))
18		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 ∈ ℂ)
19		2nn0 12492	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 2 ∈ ℕ0)
21	18, 20, 20	expmuld 14156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 · 2)) = ((𝑁↑2)↑2))
22	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ0)
23	18, 22	expp1d 14154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(3 + 1)) = ((𝑁↑3) · 𝑁))
24	17, 21, 23	3eqtr3rd 2805	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁↑3) · 𝑁) = ((𝑁↑2)↑2))
25	24	3ad2ant1 1145	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((𝑁↑3) · 𝑁) = ((𝑁↑2)↑2))
26	25	oveq2d 7407	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (4 · ((𝑁↑3) · 𝑁)) = (4 · ((𝑁↑2)↑2)))
27		oveq1 7398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2)) → ((𝑁↑2)↑2) = ((1 − (𝑀↑2))↑2))
28	27	oveq2d 7407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2)) → (4 · ((𝑁↑2)↑2)) = (4 · ((1 − (𝑀↑2))↑2)))
29	28	3ad2ant3 1147	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (4 · ((𝑁↑2)↑2)) = (4 · ((1 − (𝑀↑2))↑2)))
30	12, 26, 29	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((4 · (𝑁↑3)) · 𝑁) = (4 · ((1 − (𝑀↑2))↑2)))
31		1cnd 11169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 1 ∈ ℂ)
32		simp2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 𝑀 ∈ ℂ)
33	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 2 ∈ ℕ0)
34	32, 33	expcld 14153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
35		binom2sub 14227	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑀↑2) ∈ ℂ) → ((1 − (𝑀↑2))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (𝑀↑2)))) + ((𝑀↑2)↑2)))
36	31, 34, 35	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((1 − (𝑀↑2))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (𝑀↑2)))) + ((𝑀↑2)↑2)))
37		sq1 14202	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (1↑2) = 1)
39	34	mullidd 11194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (1 · (𝑀↑2)) = (𝑀↑2))
40	39	oveq2d 7407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (2 · (1 · (𝑀↑2))) = (2 · (𝑀↑2)))
41	38, 40	oveq12d 7409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((1↑2) − (2 · (1 · (𝑀↑2)))) = (1 − (2 · (𝑀↑2))))
42	13	eqcomi 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (2 · 2)
43	42	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 4 = (2 · 2))
44	43	oveq2d 7407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (𝑀↑4) = (𝑀↑(2 · 2)))
45	32, 33, 33	expmuld 14156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (𝑀↑(2 · 2)) = ((𝑀↑2)↑2))
46	44, 45	eqtr2d 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((𝑀↑2)↑2) = (𝑀↑4))
47	41, 46	oveq12d 7409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((1↑2) − (2 · (1 · (𝑀↑2)))) + ((𝑀↑2)↑2)) = ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)))
48	36, 47	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((1 − (𝑀↑2))↑2) = ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)))
49	48	oveq2d 7407	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (4 · ((1 − (𝑀↑2))↑2)) = (4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))))
50	30, 49	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((4 · (𝑁↑3)) · 𝑁) = (4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))))
51	9, 3, 3	mulassd 11199	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((3 · 𝑁) · 𝑁) = (3 · (𝑁 · 𝑁)))
52		sqval 14121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
53	52	eqcomd 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
54	53	3ad2ant1 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
55	54	oveq2d 7407	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (3 · (𝑁 · 𝑁)) = (3 · (𝑁↑2)))
56		oveq2 7399	. . . . 5 ⊢ ((𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2)) → (3 · (𝑁↑2)) = (3 · (1 − (𝑀↑2))))
57	56	3ad2ant3 1147	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (3 · (𝑁↑2)) = (3 · (1 − (𝑀↑2))))
58	51, 55, 57	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((3 · 𝑁) · 𝑁) = (3 · (1 − (𝑀↑2))))
59	50, 58	oveq12d 7409	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) · 𝑁) − ((3 · 𝑁) · 𝑁)) = ((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))))
60	11, 59	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · 𝑁) = ((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  1c1 11068   + caddc 11070   · cmul 11072   − cmin 11408  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  ℕ₀cn0 12475  ↑cexp 14068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-seq 14009  df-exp 14069

This theorem is referenced by:  sin5tlem3  47430