Theorem sin5tlem2 47738

Description: Lemma 2 for quintupled angle sine calculation, multiplicating triple angle cosine by cosine straight and converting into sine. (Contributed by Ender Ting, 16-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sin5tlem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · 𝑁) = ((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))))

Proof of Theorem sin5tlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4cn 12350	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 4 ∈ ℂ)
3		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 𝑁 ∈ ℂ)
4		3nn0 12546	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 3 ∈ ℕ0)
6	3, 5	expcld 14210	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (𝑁↑3) ∈ ℂ)
7	2, 6	mulcld 11253	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (4 · (𝑁↑3)) ∈ ℂ)
8		3cn 12346	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 3 ∈ ℂ)
10	9, 3	mulcld 11253	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (3 · 𝑁) ∈ ℂ)
11	7, 10, 3	subdird 11695	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · 𝑁) = (((4 · (𝑁↑3)) · 𝑁) − ((3 · 𝑁) · 𝑁)))
12	2, 6, 3	mulassd 11256	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((4 · (𝑁↑3)) · 𝑁) = (4 · ((𝑁↑3) · 𝑁)))
13		2t2e4 12428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 2) = 4
14		df-4 12329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (3 + 1)
15	13, 14	eqtri 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = (3 + 1)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2 · 2) = (3 + 1))
17	16	oveq2d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 · 2)) = (𝑁↑(3 + 1)))
18		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 ∈ ℂ)
19		2nn0 12545	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 2 ∈ ℕ0)
21	18, 20, 20	expmuld 14213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 · 2)) = ((𝑁↑2)↑2))
22	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ0)
23	18, 22	expp1d 14211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(3 + 1)) = ((𝑁↑3) · 𝑁))
24	17, 21, 23	3eqtr3rd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁↑3) · 𝑁) = ((𝑁↑2)↑2))
25	24	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((𝑁↑3) · 𝑁) = ((𝑁↑2)↑2))
26	25	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (4 · ((𝑁↑3) · 𝑁)) = (4 · ((𝑁↑2)↑2)))
27		oveq1 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2)) → ((𝑁↑2)↑2) = ((1 − (𝑀↑2))↑2))
28	27	oveq2d 7429	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2)) → (4 · ((𝑁↑2)↑2)) = (4 · ((1 − (𝑀↑2))↑2)))
29	28	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (4 · ((𝑁↑2)↑2)) = (4 · ((1 − (𝑀↑2))↑2)))
30	12, 26, 29	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((4 · (𝑁↑3)) · 𝑁) = (4 · ((1 − (𝑀↑2))↑2)))
31		1cnd 11226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 1 ∈ ℂ)
32		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 𝑀 ∈ ℂ)
33	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 2 ∈ ℕ0)
34	32, 33	expcld 14210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
35		binom2sub 14284	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑀↑2) ∈ ℂ) → ((1 − (𝑀↑2))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (𝑀↑2)))) + ((𝑀↑2)↑2)))
36	31, 34, 35	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((1 − (𝑀↑2))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (𝑀↑2)))) + ((𝑀↑2)↑2)))
37		sq1 14259	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (1↑2) = 1)
39	34	mullidd 11251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (1 · (𝑀↑2)) = (𝑀↑2))
40	39	oveq2d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (2 · (1 · (𝑀↑2))) = (2 · (𝑀↑2)))
41	38, 40	oveq12d 7431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((1↑2) − (2 · (1 · (𝑀↑2)))) = (1 − (2 · (𝑀↑2))))
42	13	eqcomi 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (2 · 2)
43	42	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 4 = (2 · 2))
44	43	oveq2d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (𝑀↑4) = (𝑀↑(2 · 2)))
45	32, 33, 33	expmuld 14213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (𝑀↑(2 · 2)) = ((𝑀↑2)↑2))
46	44, 45	eqtr2d 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((𝑀↑2)↑2) = (𝑀↑4))
47	41, 46	oveq12d 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((1↑2) − (2 · (1 · (𝑀↑2)))) + ((𝑀↑2)↑2)) = ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)))
48	36, 47	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((1 − (𝑀↑2))↑2) = ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)))
49	48	oveq2d 7429	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (4 · ((1 − (𝑀↑2))↑2)) = (4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))))
50	30, 49	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((4 · (𝑁↑3)) · 𝑁) = (4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))))
51	9, 3, 3	mulassd 11256	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((3 · 𝑁) · 𝑁) = (3 · (𝑁 · 𝑁)))
52		sqval 14178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
53	52	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
54	53	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
55	54	oveq2d 7429	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (3 · (𝑁 · 𝑁)) = (3 · (𝑁↑2)))
56		oveq2 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2)) → (3 · (𝑁↑2)) = (3 · (1 − (𝑀↑2))))
57	56	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (3 · (𝑁↑2)) = (3 · (1 − (𝑀↑2))))
58	51, 55, 57	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((3 · 𝑁) · 𝑁) = (3 · (1 − (𝑀↑2))))
59	50, 58	oveq12d 7431	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) · 𝑁) − ((3 · 𝑁) · 𝑁)) = ((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))))
60	11, 59	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · 𝑁) = ((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   − cmin 11465  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  ℕ₀cn0 12528  ↑cexp 14125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-seq 14066  df-exp 14126

This theorem is used by:  sin5tlem3  47739