Theorem sin5tlem2 48193

Description: Lemma 2 for quintupled angle sine calculation, multiplicating triple angle cosine by cosine straight and converting into sine. (Contributed by Ender Ting, 16-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sin5tlem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · 𝑁) = ((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))))

Proof of Theorem sin5tlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4cn 12468	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 4 ∈ ℂ)
3		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 𝑁 ∈ ℂ)
4		3nn0 12664	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 3 ∈ ℕ0)
6	3, 5	expcld 14329	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (𝑁↑3) ∈ ℂ)
7	2, 6	mulcld 11368	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (4 · (𝑁↑3)) ∈ ℂ)
8		3cn 12464	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 3 ∈ ℂ)
10	9, 3	mulcld 11368	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (3 · 𝑁) ∈ ℂ)
11	7, 10, 3	subdird 11812	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · 𝑁) = (((4 · (𝑁↑3)) · 𝑁) − ((3 · 𝑁) · 𝑁)))
12	2, 6, 3	mulassd 11371	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((4 · (𝑁↑3)) · 𝑁) = (4 · ((𝑁↑3) · 𝑁)))
13		2t2e4 12546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 2) = 4
14		df-4 12447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (3 + 1)
15	13, 14	eqtri 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = (3 + 1)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2 · 2) = (3 + 1))
17	16	oveq2d 7467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 · 2)) = (𝑁↑(3 + 1)))
18		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 ∈ ℂ)
19		2nn0 12663	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 2 ∈ ℕ0)
21	18, 20, 20	expmuld 14332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 · 2)) = ((𝑁↑2)↑2))
22	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ0)
23	18, 22	expp1d 14330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(3 + 1)) = ((𝑁↑3) · 𝑁))
24	17, 21, 23	3eqtr3rd 2807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁↑3) · 𝑁) = ((𝑁↑2)↑2))
25	24	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((𝑁↑3) · 𝑁) = ((𝑁↑2)↑2))
26	25	oveq2d 7467	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (4 · ((𝑁↑3) · 𝑁)) = (4 · ((𝑁↑2)↑2)))
27		oveq1 7458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2)) → ((𝑁↑2)↑2) = ((1 − (𝑀↑2))↑2))
28	27	oveq2d 7467	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2)) → (4 · ((𝑁↑2)↑2)) = (4 · ((1 − (𝑀↑2))↑2)))
29	28	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (4 · ((𝑁↑2)↑2)) = (4 · ((1 − (𝑀↑2))↑2)))
30	12, 26, 29	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((4 · (𝑁↑3)) · 𝑁) = (4 · ((1 − (𝑀↑2))↑2)))
31		1cnd 11341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 1 ∈ ℂ)
32		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 𝑀 ∈ ℂ)
33	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 2 ∈ ℕ0)
34	32, 33	expcld 14329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
35		binom2sub 14405	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑀↑2) ∈ ℂ) → ((1 − (𝑀↑2))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (𝑀↑2)))) + ((𝑀↑2)↑2)))
36	31, 34, 35	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((1 − (𝑀↑2))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (𝑀↑2)))) + ((𝑀↑2)↑2)))
37		sq1 14378	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (1↑2) = 1)
39	34	mullidd 11366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (1 · (𝑀↑2)) = (𝑀↑2))
40	39	oveq2d 7467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (2 · (1 · (𝑀↑2))) = (2 · (𝑀↑2)))
41	38, 40	oveq12d 7469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((1↑2) − (2 · (1 · (𝑀↑2)))) = (1 − (2 · (𝑀↑2))))
42	13	eqcomi 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (2 · 2)
43	42	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 4 = (2 · 2))
44	43	oveq2d 7467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (𝑀↑4) = (𝑀↑(2 · 2)))
45	32, 33, 33	expmuld 14332	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (𝑀↑(2 · 2)) = ((𝑀↑2)↑2))
46	44, 45	eqtr2d 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((𝑀↑2)↑2) = (𝑀↑4))
47	41, 46	oveq12d 7469	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((1↑2) − (2 · (1 · (𝑀↑2)))) + ((𝑀↑2)↑2)) = ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)))
48	36, 47	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((1 − (𝑀↑2))↑2) = ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)))
49	48	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (4 · ((1 − (𝑀↑2))↑2)) = (4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))))
50	30, 49	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((4 · (𝑁↑3)) · 𝑁) = (4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))))
51	9, 3, 3	mulassd 11371	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((3 · 𝑁) · 𝑁) = (3 · (𝑁 · 𝑁)))
52		sqval 14297	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
53	52	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
54	53	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
55	54	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (3 · (𝑁 · 𝑁)) = (3 · (𝑁↑2)))
56		oveq2 7459	. . . . 5 ⊢ ((𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2)) → (3 · (𝑁↑2)) = (3 · (1 − (𝑀↑2))))
57	56	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (3 · (𝑁↑2)) = (3 · (1 − (𝑀↑2))))
58	51, 55, 57	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((3 · 𝑁) · 𝑁) = (3 · (1 − (𝑀↑2))))
59	50, 58	oveq12d 7469	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) · 𝑁) − ((3 · 𝑁) · 𝑁)) = ((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))))
60	11, 59	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · 𝑁) = ((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  ℕ₀cn0 12646  ↑cexp 14244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185  df-exp 14245

This theorem is used by:  sin5tlem3  48194