Theorem sin5tlem2 47338

Description: Lemma 2 for quintupled angle sine calculation, multiplicating triple angle cosine by cosine straight and converting into sine. (Contributed by Ender Ting, 16-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sin5tlem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · 𝑁) = ((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))))

Proof of Theorem sin5tlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4cn 12257	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 4 ∈ ℂ)
3		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 𝑁 ∈ ℂ)
4		3nn0 12446	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 3 ∈ ℕ0)
6	3, 5	expcld 14099	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (𝑁↑3) ∈ ℂ)
7	2, 6	mulcld 11156	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (4 · (𝑁↑3)) ∈ ℂ)
8		3cn 12253	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 3 ∈ ℂ)
10	9, 3	mulcld 11156	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (3 · 𝑁) ∈ ℂ)
11	7, 10, 3	subdird 11598	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · 𝑁) = (((4 · (𝑁↑3)) · 𝑁) − ((3 · 𝑁) · 𝑁)))
12	2, 6, 3	mulassd 11159	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((4 · (𝑁↑3)) · 𝑁) = (4 · ((𝑁↑3) · 𝑁)))
13		2t2e4 12331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 2) = 4
14		df-4 12237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (3 + 1)
15	13, 14	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = (3 + 1)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2 · 2) = (3 + 1))
17	16	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 · 2)) = (𝑁↑(3 + 1)))
18		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 ∈ ℂ)
19		2nn0 12445	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 2 ∈ ℕ0)
21	18, 20, 20	expmuld 14102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 · 2)) = ((𝑁↑2)↑2))
22	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ0)
23	18, 22	expp1d 14100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(3 + 1)) = ((𝑁↑3) · 𝑁))
24	17, 21, 23	3eqtr3rd 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁↑3) · 𝑁) = ((𝑁↑2)↑2))
25	24	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((𝑁↑3) · 𝑁) = ((𝑁↑2)↑2))
26	25	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (4 · ((𝑁↑3) · 𝑁)) = (4 · ((𝑁↑2)↑2)))
27		oveq1 7367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2)) → ((𝑁↑2)↑2) = ((1 − (𝑀↑2))↑2))
28	27	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2)) → (4 · ((𝑁↑2)↑2)) = (4 · ((1 − (𝑀↑2))↑2)))
29	28	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (4 · ((𝑁↑2)↑2)) = (4 · ((1 − (𝑀↑2))↑2)))
30	12, 26, 29	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((4 · (𝑁↑3)) · 𝑁) = (4 · ((1 − (𝑀↑2))↑2)))
31		1cnd 11130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 1 ∈ ℂ)
32		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 𝑀 ∈ ℂ)
33	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 2 ∈ ℕ0)
34	32, 33	expcld 14099	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
35		binom2sub 14173	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑀↑2) ∈ ℂ) → ((1 − (𝑀↑2))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (𝑀↑2)))) + ((𝑀↑2)↑2)))
36	31, 34, 35	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((1 − (𝑀↑2))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (𝑀↑2)))) + ((𝑀↑2)↑2)))
37		sq1 14148	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (1↑2) = 1)
39	34	mullidd 11154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (1 · (𝑀↑2)) = (𝑀↑2))
40	39	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (2 · (1 · (𝑀↑2))) = (2 · (𝑀↑2)))
41	38, 40	oveq12d 7378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((1↑2) − (2 · (1 · (𝑀↑2)))) = (1 − (2 · (𝑀↑2))))
42	13	eqcomi 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (2 · 2)
43	42	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → 4 = (2 · 2))
44	43	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (𝑀↑4) = (𝑀↑(2 · 2)))
45	32, 33, 33	expmuld 14102	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (𝑀↑(2 · 2)) = ((𝑀↑2)↑2))
46	44, 45	eqtr2d 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((𝑀↑2)↑2) = (𝑀↑4))
47	41, 46	oveq12d 7378	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((1↑2) − (2 · (1 · (𝑀↑2)))) + ((𝑀↑2)↑2)) = ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)))
48	36, 47	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((1 − (𝑀↑2))↑2) = ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)))
49	48	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (4 · ((1 − (𝑀↑2))↑2)) = (4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))))
50	30, 49	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((4 · (𝑁↑3)) · 𝑁) = (4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))))
51	9, 3, 3	mulassd 11159	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((3 · 𝑁) · 𝑁) = (3 · (𝑁 · 𝑁)))
52		sqval 14067	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
53	52	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
54	53	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
55	54	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (3 · (𝑁 · 𝑁)) = (3 · (𝑁↑2)))
56		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ ((𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2)) → (3 · (𝑁↑2)) = (3 · (1 − (𝑀↑2))))
57	56	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (3 · (𝑁↑2)) = (3 · (1 − (𝑀↑2))))
58	51, 55, 57	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((3 · 𝑁) · 𝑁) = (3 · (1 − (𝑀↑2))))
59	50, 58	oveq12d 7378	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) · 𝑁) − ((3 · 𝑁) · 𝑁)) = ((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))))
60	11, 59	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · 𝑁) = ((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  ℕ₀cn0 12428  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  sin5tlem3  47339