Theorem sin5tlem1 47321

Description: Lemma 1 for quintupled angle sine calculation, expanding triple-angle sine times double-angle cosine. (Contributed by Ender Ting, 16-Mar-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sin5tlem1	⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) − (4 · (𝑁↑3))) · (1 − (2 · (𝑁↑2)))) = (((8 · (𝑁↑5)) − (;10 · (𝑁↑3))) + (3 · 𝑁)))

Proof of Theorem sin5tlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12262	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 11165	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (3 · 𝑁) ∈ ℂ)
5		4cn 12266	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
7		3nn0 12455	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ0)
9	3, 8	expcld 14108	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑3) ∈ ℂ)
10	6, 9	mulcld 11165	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (4 · (𝑁↑3)) ∈ ℂ)
11		1cnd 11139	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
12		2cnd 12259	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
13		sqcl 14080	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcld 11165	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
15	4, 10, 11, 14	mulsubd 11609	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) − (4 · (𝑁↑3))) · (1 − (2 · (𝑁↑2)))) = ((((3 · 𝑁) · 1) + ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3)))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))))
16	4, 11	mulcld 11165	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · 1) ∈ ℂ)
17	14, 10	mulcld 11165	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) ∈ ℂ)
18	16, 17	addcomd 11348	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) · 1) + ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3)))) = (((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) + ((3 · 𝑁) · 1)))
19	18	oveq1d 7382	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((((3 · 𝑁) · 1) + ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3)))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) = ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) + ((3 · 𝑁) · 1)) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))))
20	4, 14	mulcld 11165	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) ∈ ℂ)
21	11, 10	mulcld 11165	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (1 · (4 · (𝑁↑3))) ∈ ℂ)
22	20, 21	addcld 11164	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3)))) ∈ ℂ)
23	17, 16, 22	addsubd 11526	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) + ((3 · 𝑁) · 1)) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) = ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) + ((3 · 𝑁) · 1)))
24	19, 23	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((((3 · 𝑁) · 1) + ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3)))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) = ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) + ((3 · 𝑁) · 1)))
25	12, 13, 6, 9	mul4d 11358	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) = ((2 · 4) · ((𝑁↑2) · (𝑁↑3))))
26	5	2timesi 12314	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = (4 + 4)
27		4p4e8 12331	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 4) = 8
28	26, 27	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2 · 4) = 8)
30		2nn0 12454	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 2 ∈ ℕ0)
32	3, 8, 31	expaddd 14110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 + 3)) = ((𝑁↑2) · (𝑁↑3)))
33		2cn 12256	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
34		3p2e5 12327	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
35	1, 33, 34	addcomli 11338	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
36	35	oveq2i 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁↑(2 + 3)) = (𝑁↑5)
37	32, 36	eqtr3di 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁↑2) · (𝑁↑3)) = (𝑁↑5))
38	29, 37	oveq12d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 4) · ((𝑁↑2) · (𝑁↑3))) = (8 · (𝑁↑5)))
39	25, 38	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) = (8 · (𝑁↑5)))
40	2, 3, 12, 13	mul4d 11358	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) = ((3 · 2) · (𝑁 · (𝑁↑2))))
41		3t2e6 12342	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 2) = 6
42	41	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (3 · 2) = 6)
43		df-3 12245	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = (2 + 1)
44	43	oveq2i 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁↑3) = (𝑁↑(2 + 1))
45	3, 31	expp1d 14109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 + 1)) = ((𝑁↑2) · 𝑁))
46	13, 3	mulcomd 11166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁↑2) · 𝑁) = (𝑁 · (𝑁↑2)))
47	45, 46	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 + 1)) = (𝑁 · (𝑁↑2)))
48	44, 47	eqtr2id 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · (𝑁↑2)) = (𝑁↑3))
49	42, 48	oveq12d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 2) · (𝑁 · (𝑁↑2))) = (6 · (𝑁↑3)))
50	40, 49	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) = (6 · (𝑁↑3)))
51	10	mullidd 11163	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (1 · (4 · (𝑁↑3))) = (4 · (𝑁↑3)))
52	50, 51	oveq12d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3)))) = ((6 · (𝑁↑3)) + (4 · (𝑁↑3))))
53		6cn 12272	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 6 ∈ ℂ)
55	54, 6, 9	adddird 11170	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((6 + 4) · (𝑁↑3)) = ((6 · (𝑁↑3)) + (4 · (𝑁↑3))))
56		6p4e10 12716	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
57	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (6 + 4) = ;10)
58	57	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((6 + 4) · (𝑁↑3)) = (;10 · (𝑁↑3)))
59	52, 55, 58	3eqtr2d 2777	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3)))) = (;10 · (𝑁↑3)))
60	39, 59	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) = ((8 · (𝑁↑5)) − (;10 · (𝑁↑3))))
61	4	mulridd 11162	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · 1) = (3 · 𝑁))
62	60, 61	oveq12d 7385	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) + ((3 · 𝑁) · 1)) = (((8 · (𝑁↑5)) − (;10 · (𝑁↑3))) + (3 · 𝑁)))
63	15, 24, 62	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) − (4 · (𝑁↑3))) · (1 − (2 · (𝑁↑2)))) = (((8 · (𝑁↑5)) − (;10 · (𝑁↑3))) + (3 · 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11377  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  5c5 12239  6c6 12240  8c8 12242  ℕ₀cn0 12437  ;cdc 12644  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  sin5tlem5  47325