Theorem sin5tlem1 47587

Description: Lemma 1 for quintupled angle sine calculation, expanding triple-angle sine times double-angle cosine. (Contributed by Ender Ting, 16-Mar-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sin5tlem1	⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) − (4 · (𝑁↑3))) · (1 − (2 · (𝑁↑2)))) = (((8 · (𝑁↑5)) − (;10 · (𝑁↑3))) + (3 · 𝑁)))

Proof of Theorem sin5tlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12323	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
3		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 11230	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (3 · 𝑁) ∈ ℂ)
5		4cn 12327	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
7		3nn0 12523	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ0)
9	3, 8	expcld 14184	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑3) ∈ ℂ)
10	6, 9	mulcld 11230	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (4 · (𝑁↑3)) ∈ ℂ)
11		1cnd 11203	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
12		2cnd 12320	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
13		sqcl 14156	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcld 11230	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
15	4, 10, 11, 14	mulsubd 11674	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) − (4 · (𝑁↑3))) · (1 − (2 · (𝑁↑2)))) = ((((3 · 𝑁) · 1) + ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3)))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))))
16	4, 11	mulcld 11230	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · 1) ∈ ℂ)
17	14, 10	mulcld 11230	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) ∈ ℂ)
18	16, 17	addcomd 11413	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) · 1) + ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3)))) = (((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) + ((3 · 𝑁) · 1)))
19	18	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((((3 · 𝑁) · 1) + ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3)))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) = ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) + ((3 · 𝑁) · 1)) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))))
20	4, 14	mulcld 11230	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) ∈ ℂ)
21	11, 10	mulcld 11230	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (1 · (4 · (𝑁↑3))) ∈ ℂ)
22	20, 21	addcld 11229	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3)))) ∈ ℂ)
23	17, 16, 22	addsubd 11591	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) + ((3 · 𝑁) · 1)) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) = ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) + ((3 · 𝑁) · 1)))
24	19, 23	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((((3 · 𝑁) · 1) + ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3)))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) = ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) + ((3 · 𝑁) · 1)))
25	12, 13, 6, 9	mul4d 11423	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) = ((2 · 4) · ((𝑁↑2) · (𝑁↑3))))
26	5	2timesi 12379	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = (4 + 4)
27		4p4e8 12396	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 4) = 8
28	26, 27	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2 · 4) = 8)
30		2nn0 12522	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 2 ∈ ℕ0)
32	3, 8, 31	expaddd 14186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 + 3)) = ((𝑁↑2) · (𝑁↑3)))
33		2cn 12317	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
34		3p2e5 12392	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
35	1, 33, 34	addcomli 11403	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
36	35	oveq2i 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁↑(2 + 3)) = (𝑁↑5)
37	32, 36	eqtr3di 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁↑2) · (𝑁↑3)) = (𝑁↑5))
38	29, 37	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 4) · ((𝑁↑2) · (𝑁↑3))) = (8 · (𝑁↑5)))
39	25, 38	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) = (8 · (𝑁↑5)))
40	2, 3, 12, 13	mul4d 11423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) = ((3 · 2) · (𝑁 · (𝑁↑2))))
41		3t2e6 12407	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 2) = 6
42	41	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (3 · 2) = 6)
43		df-3 12305	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = (2 + 1)
44	43	oveq2i 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁↑3) = (𝑁↑(2 + 1))
45	3, 31	expp1d 14185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 + 1)) = ((𝑁↑2) · 𝑁))
46	13, 3	mulcomd 11231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁↑2) · 𝑁) = (𝑁 · (𝑁↑2)))
47	45, 46	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 + 1)) = (𝑁 · (𝑁↑2)))
48	44, 47	eqtr2id 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · (𝑁↑2)) = (𝑁↑3))
49	42, 48	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 2) · (𝑁 · (𝑁↑2))) = (6 · (𝑁↑3)))
50	40, 49	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) = (6 · (𝑁↑3)))
51	10	mullidd 11228	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (1 · (4 · (𝑁↑3))) = (4 · (𝑁↑3)))
52	50, 51	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3)))) = ((6 · (𝑁↑3)) + (4 · (𝑁↑3))))
53		6cn 12333	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 6 ∈ ℂ)
55	54, 6, 9	adddird 11235	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((6 + 4) · (𝑁↑3)) = ((6 · (𝑁↑3)) + (4 · (𝑁↑3))))
56		6p4e10 12789	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
57	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (6 + 4) = ;10)
58	57	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((6 + 4) · (𝑁↑3)) = (;10 · (𝑁↑3)))
59	52, 55, 58	3eqtr2d 2804	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3)))) = (;10 · (𝑁↑3)))
60	39, 59	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) = ((8 · (𝑁↑5)) − (;10 · (𝑁↑3))))
61	4	mulridd 11227	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · 1) = (3 · 𝑁))
62	60, 61	oveq12d 7430	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) + ((3 · 𝑁) · 1)) = (((8 · (𝑁↑5)) − (;10 · (𝑁↑3))) + (3 · 𝑁)))
63	15, 24, 62	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) − (4 · (𝑁↑3))) · (1 − (2 · (𝑁↑2)))) = (((8 · (𝑁↑5)) − (;10 · (𝑁↑3))) + (3 · 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   − cmin 11442  2c2 12296  3c3 12297  4c4 12298  5c5 12299  6c6 12300  8c8 12302  ℕ₀cn0 12505  ;cdc 12712  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  sin5tlem5  47591