Theorem sin5tlem1 48124

Description: Lemma 1 for quintupled angle sine calculation, expanding triple-angle sine times double-angle cosine. (Contributed by Ender Ting, 16-Mar-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sin5tlem1	⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) − (4 · (𝑁↑3))) · (1 − (2 · (𝑁↑2)))) = (((8 · (𝑁↑5)) − (;10 · (𝑁↑3))) + (3 · 𝑁)))

Proof of Theorem sin5tlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12451	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
3		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 11356	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (3 · 𝑁) ∈ ℂ)
5		4cn 12455	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
7		3nn0 12651	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ0)
9	3, 8	expcld 14316	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑3) ∈ ℂ)
10	6, 9	mulcld 11356	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (4 · (𝑁↑3)) ∈ ℂ)
11		1cnd 11329	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
12		2cnd 12448	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
13		sqcl 14288	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcld 11356	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
15	4, 10, 11, 14	mulsubd 11802	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) − (4 · (𝑁↑3))) · (1 − (2 · (𝑁↑2)))) = ((((3 · 𝑁) · 1) + ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3)))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))))
16	4, 11	mulcld 11356	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · 1) ∈ ℂ)
17	14, 10	mulcld 11356	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) ∈ ℂ)
18	16, 17	addcomd 11539	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) · 1) + ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3)))) = (((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) + ((3 · 𝑁) · 1)))
19	18	oveq1d 7458	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((((3 · 𝑁) · 1) + ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3)))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) = ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) + ((3 · 𝑁) · 1)) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))))
20	4, 14	mulcld 11356	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) ∈ ℂ)
21	11, 10	mulcld 11356	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (1 · (4 · (𝑁↑3))) ∈ ℂ)
22	20, 21	addcld 11355	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3)))) ∈ ℂ)
23	17, 16, 22	addsubd 11717	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) + ((3 · 𝑁) · 1)) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) = ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) + ((3 · 𝑁) · 1)))
24	19, 23	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((((3 · 𝑁) · 1) + ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3)))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) = ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) + ((3 · 𝑁) · 1)))
25	12, 13, 6, 9	mul4d 11549	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) = ((2 · 4) · ((𝑁↑2) · (𝑁↑3))))
26		2t4e8 12539	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2 · 4) = 8)
28		2nn0 12650	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 2 ∈ ℕ0)
30	3, 8, 29	expaddd 14318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 + 3)) = ((𝑁↑2) · (𝑁↑3)))
31		2cn 12445	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
32		3p2e5 12520	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
33	1, 31, 32	addcomli 11529	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
34	33	oveq2i 7454	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁↑(2 + 3)) = (𝑁↑5)
35	30, 34	eqtr3di 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁↑2) · (𝑁↑3)) = (𝑁↑5))
36	27, 35	oveq12d 7461	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 4) · ((𝑁↑2) · (𝑁↑3))) = (8 · (𝑁↑5)))
37	25, 36	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) = (8 · (𝑁↑5)))
38	2, 3, 12, 13	mul4d 11549	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) = ((3 · 2) · (𝑁 · (𝑁↑2))))
39		3t2e6 12535	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 2) = 6
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (3 · 2) = 6)
41		df-3 12433	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = (2 + 1)
42	41	oveq2i 7454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁↑3) = (𝑁↑(2 + 1))
43	3, 29	expp1d 14317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 + 1)) = ((𝑁↑2) · 𝑁))
44	13, 3	mulcomd 11357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁↑2) · 𝑁) = (𝑁 · (𝑁↑2)))
45	43, 44	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 + 1)) = (𝑁 · (𝑁↑2)))
46	42, 45	eqtr2id 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · (𝑁↑2)) = (𝑁↑3))
47	40, 46	oveq12d 7461	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 2) · (𝑁 · (𝑁↑2))) = (6 · (𝑁↑3)))
48	38, 47	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) = (6 · (𝑁↑3)))
49	10	mullidd 11354	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (1 · (4 · (𝑁↑3))) = (4 · (𝑁↑3)))
50	48, 49	oveq12d 7461	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3)))) = ((6 · (𝑁↑3)) + (4 · (𝑁↑3))))
51		6cn 12461	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
52	51	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 6 ∈ ℂ)
53	52, 6, 9	adddird 11361	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((6 + 4) · (𝑁↑3)) = ((6 · (𝑁↑3)) + (4 · (𝑁↑3))))
54		6p4e10 12918	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
55	54	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (6 + 4) = ;10)
56	55	oveq1d 7458	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((6 + 4) · (𝑁↑3)) = (;10 · (𝑁↑3)))
57	50, 53, 56	3eqtr2d 2804	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3)))) = (;10 · (𝑁↑3)))
58	37, 57	oveq12d 7461	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) = ((8 · (𝑁↑5)) − (;10 · (𝑁↑3))))
59	4	mulridd 11353	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · 1) = (3 · 𝑁))
60	58, 59	oveq12d 7461	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) + ((3 · 𝑁) · 1)) = (((8 · (𝑁↑5)) − (;10 · (𝑁↑3))) + (3 · 𝑁)))
61	15, 24, 60	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) − (4 · (𝑁↑3))) · (1 − (2 · (𝑁↑2)))) = (((8 · (𝑁↑5)) − (;10 · (𝑁↑3))) + (3 · 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   − cmin 11568  2c2 12424  3c3 12425  4c4 12426  5c5 12427  6c6 12428  8c8 12430  ℕ₀cn0 12633  ;cdc 12841  ↑cexp 14231

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-seq 14172  df-exp 14232

This theorem is used by:  sin5tlem5  48128