Theorem sin5tlem1 47431

Description: Lemma 1 for quintupled angle sine calculation, expanding triple-angle sine times double-angle cosine. (Contributed by Ender Ting, 16-Mar-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sin5tlem1	⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) − (4 · (𝑁↑3))) · (1 − (2 · (𝑁↑2)))) = (((8 · (𝑁↑5)) − (;10 · (𝑁↑3))) + (3 · 𝑁)))

Proof of Theorem sin5tlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12296	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 11199	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (3 · 𝑁) ∈ ℂ)
5		4cn 12300	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
7		3nn0 12496	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ0)
9	3, 8	expcld 14156	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑3) ∈ ℂ)
10	6, 9	mulcld 11199	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (4 · (𝑁↑3)) ∈ ℂ)
11		1cnd 11172	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
12		2cnd 12293	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
13		sqcl 14128	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcld 11199	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
15	4, 10, 11, 14	mulsubd 11643	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) − (4 · (𝑁↑3))) · (1 − (2 · (𝑁↑2)))) = ((((3 · 𝑁) · 1) + ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3)))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))))
16	4, 11	mulcld 11199	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · 1) ∈ ℂ)
17	14, 10	mulcld 11199	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) ∈ ℂ)
18	16, 17	addcomd 11382	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) · 1) + ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3)))) = (((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) + ((3 · 𝑁) · 1)))
19	18	oveq1d 7407	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((((3 · 𝑁) · 1) + ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3)))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) = ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) + ((3 · 𝑁) · 1)) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))))
20	4, 14	mulcld 11199	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) ∈ ℂ)
21	11, 10	mulcld 11199	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (1 · (4 · (𝑁↑3))) ∈ ℂ)
22	20, 21	addcld 11198	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3)))) ∈ ℂ)
23	17, 16, 22	addsubd 11560	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) + ((3 · 𝑁) · 1)) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) = ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) + ((3 · 𝑁) · 1)))
24	19, 23	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((((3 · 𝑁) · 1) + ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3)))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) = ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) + ((3 · 𝑁) · 1)))
25	12, 13, 6, 9	mul4d 11392	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) = ((2 · 4) · ((𝑁↑2) · (𝑁↑3))))
26	5	2timesi 12352	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = (4 + 4)
27		4p4e8 12369	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 4) = 8
28	26, 27	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2 · 4) = 8)
30		2nn0 12495	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 2 ∈ ℕ0)
32	3, 8, 31	expaddd 14158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 + 3)) = ((𝑁↑2) · (𝑁↑3)))
33		2cn 12290	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
34		3p2e5 12365	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
35	1, 33, 34	addcomli 11372	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
36	35	oveq2i 7403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁↑(2 + 3)) = (𝑁↑5)
37	32, 36	eqtr3di 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁↑2) · (𝑁↑3)) = (𝑁↑5))
38	29, 37	oveq12d 7410	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 4) · ((𝑁↑2) · (𝑁↑3))) = (8 · (𝑁↑5)))
39	25, 38	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) = (8 · (𝑁↑5)))
40	2, 3, 12, 13	mul4d 11392	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) = ((3 · 2) · (𝑁 · (𝑁↑2))))
41		3t2e6 12380	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 2) = 6
42	41	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (3 · 2) = 6)
43		df-3 12278	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = (2 + 1)
44	43	oveq2i 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁↑3) = (𝑁↑(2 + 1))
45	3, 31	expp1d 14157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 + 1)) = ((𝑁↑2) · 𝑁))
46	13, 3	mulcomd 11200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁↑2) · 𝑁) = (𝑁 · (𝑁↑2)))
47	45, 46	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 + 1)) = (𝑁 · (𝑁↑2)))
48	44, 47	eqtr2id 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · (𝑁↑2)) = (𝑁↑3))
49	42, 48	oveq12d 7410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 2) · (𝑁 · (𝑁↑2))) = (6 · (𝑁↑3)))
50	40, 49	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) = (6 · (𝑁↑3)))
51	10	mullidd 11197	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (1 · (4 · (𝑁↑3))) = (4 · (𝑁↑3)))
52	50, 51	oveq12d 7410	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3)))) = ((6 · (𝑁↑3)) + (4 · (𝑁↑3))))
53		6cn 12306	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 6 ∈ ℂ)
55	54, 6, 9	adddird 11204	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((6 + 4) · (𝑁↑3)) = ((6 · (𝑁↑3)) + (4 · (𝑁↑3))))
56		6p4e10 12762	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
57	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (6 + 4) = ;10)
58	57	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((6 + 4) · (𝑁↑3)) = (;10 · (𝑁↑3)))
59	52, 55, 58	3eqtr2d 2802	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3)))) = (;10 · (𝑁↑3)))
60	39, 59	oveq12d 7410	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) = ((8 · (𝑁↑5)) − (;10 · (𝑁↑3))))
61	4	mulridd 11196	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · 1) = (3 · 𝑁))
62	60, 61	oveq12d 7410	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) + ((3 · 𝑁) · 1)) = (((8 · (𝑁↑5)) − (;10 · (𝑁↑3))) + (3 · 𝑁)))
63	15, 24, 62	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) − (4 · (𝑁↑3))) · (1 − (2 · (𝑁↑2)))) = (((8 · (𝑁↑5)) − (;10 · (𝑁↑3))) + (3 · 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075   − cmin 11411  2c2 12269  3c3 12270  4c4 12271  5c5 12272  6c6 12273  8c8 12275  ℕ₀cn0 12478  ;cdc 12685  ↑cexp 14071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-seq 14012  df-exp 14072

This theorem is referenced by:  sin5tlem5  47435