Theorem sin5tlem1 47337

Description: Lemma 1 for quintupled angle sine calculation, expanding triple-angle sine times double-angle cosine. (Contributed by Ender Ting, 16-Mar-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sin5tlem1	⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) − (4 · (𝑁↑3))) · (1 − (2 · (𝑁↑2)))) = (((8 · (𝑁↑5)) − (;10 · (𝑁↑3))) + (3 · 𝑁)))

Proof of Theorem sin5tlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12253	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 11156	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (3 · 𝑁) ∈ ℂ)
5		4cn 12257	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
7		3nn0 12446	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ0)
9	3, 8	expcld 14099	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑3) ∈ ℂ)
10	6, 9	mulcld 11156	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (4 · (𝑁↑3)) ∈ ℂ)
11		1cnd 11130	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
12		2cnd 12250	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
13		sqcl 14071	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcld 11156	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
15	4, 10, 11, 14	mulsubd 11600	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) − (4 · (𝑁↑3))) · (1 − (2 · (𝑁↑2)))) = ((((3 · 𝑁) · 1) + ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3)))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))))
16	4, 11	mulcld 11156	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · 1) ∈ ℂ)
17	14, 10	mulcld 11156	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) ∈ ℂ)
18	16, 17	addcomd 11339	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) · 1) + ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3)))) = (((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) + ((3 · 𝑁) · 1)))
19	18	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((((3 · 𝑁) · 1) + ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3)))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) = ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) + ((3 · 𝑁) · 1)) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))))
20	4, 14	mulcld 11156	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) ∈ ℂ)
21	11, 10	mulcld 11156	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (1 · (4 · (𝑁↑3))) ∈ ℂ)
22	20, 21	addcld 11155	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3)))) ∈ ℂ)
23	17, 16, 22	addsubd 11517	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) + ((3 · 𝑁) · 1)) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) = ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) + ((3 · 𝑁) · 1)))
24	19, 23	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((((3 · 𝑁) · 1) + ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3)))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) = ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) + ((3 · 𝑁) · 1)))
25	12, 13, 6, 9	mul4d 11349	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) = ((2 · 4) · ((𝑁↑2) · (𝑁↑3))))
26	5	2timesi 12305	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = (4 + 4)
27		4p4e8 12322	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 4) = 8
28	26, 27	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2 · 4) = 8)
30		2nn0 12445	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 2 ∈ ℕ0)
32	3, 8, 31	expaddd 14101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 + 3)) = ((𝑁↑2) · (𝑁↑3)))
33		2cn 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
34		3p2e5 12318	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
35	1, 33, 34	addcomli 11329	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
36	35	oveq2i 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁↑(2 + 3)) = (𝑁↑5)
37	32, 36	eqtr3di 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁↑2) · (𝑁↑3)) = (𝑁↑5))
38	29, 37	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 4) · ((𝑁↑2) · (𝑁↑3))) = (8 · (𝑁↑5)))
39	25, 38	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) = (8 · (𝑁↑5)))
40	2, 3, 12, 13	mul4d 11349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) = ((3 · 2) · (𝑁 · (𝑁↑2))))
41		3t2e6 12333	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 2) = 6
42	41	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (3 · 2) = 6)
43		df-3 12236	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = (2 + 1)
44	43	oveq2i 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁↑3) = (𝑁↑(2 + 1))
45	3, 31	expp1d 14100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 + 1)) = ((𝑁↑2) · 𝑁))
46	13, 3	mulcomd 11157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁↑2) · 𝑁) = (𝑁 · (𝑁↑2)))
47	45, 46	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑(2 + 1)) = (𝑁 · (𝑁↑2)))
48	44, 47	eqtr2id 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · (𝑁↑2)) = (𝑁↑3))
49	42, 48	oveq12d 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 2) · (𝑁 · (𝑁↑2))) = (6 · (𝑁↑3)))
50	40, 49	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) = (6 · (𝑁↑3)))
51	10	mullidd 11154	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (1 · (4 · (𝑁↑3))) = (4 · (𝑁↑3)))
52	50, 51	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3)))) = ((6 · (𝑁↑3)) + (4 · (𝑁↑3))))
53		6cn 12263	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 6 ∈ ℂ)
55	54, 6, 9	adddird 11161	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((6 + 4) · (𝑁↑3)) = ((6 · (𝑁↑3)) + (4 · (𝑁↑3))))
56		6p4e10 12707	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
57	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (6 + 4) = ;10)
58	57	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((6 + 4) · (𝑁↑3)) = (;10 · (𝑁↑3)))
59	52, 55, 58	3eqtr2d 2778	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3)))) = (;10 · (𝑁↑3)))
60	39, 59	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) = ((8 · (𝑁↑5)) − (;10 · (𝑁↑3))))
61	4	mulridd 11153	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((3 · 𝑁) · 1) = (3 · 𝑁))
62	60, 61	oveq12d 7378	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((((2 · (𝑁↑2)) · (4 · (𝑁↑3))) − (((3 · 𝑁) · (2 · (𝑁↑2))) + (1 · (4 · (𝑁↑3))))) + ((3 · 𝑁) · 1)) = (((8 · (𝑁↑5)) − (;10 · (𝑁↑3))) + (3 · 𝑁)))
63	15, 24, 62	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((3 · 𝑁) − (4 · (𝑁↑3))) · (1 − (2 · (𝑁↑2)))) = (((8 · (𝑁↑5)) − (;10 · (𝑁↑3))) + (3 · 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  5c5 12230  6c6 12231  8c8 12233  ℕ₀cn0 12428  ;cdc 12635  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  sin5tlem5  47341