Theorem smndex1gidOLD 18968

Description: Obsolete version of smndex1gid 18967 as of 2-Apr-2026. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
smndex1gidOLD	⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺‘𝐾) ∘ 𝐹) = (𝐺‘𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥, 𝑛)   𝐼(𝑥, 𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem smndex1gidOLD

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛)))
3		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → 𝑛 = 𝐾)
4	3	mpteq2dv 5205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
5	4	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
6		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
7		nn0ex 12514	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	mptex 7221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V)
10	2, 5, 6, 9	fvmptd 6997	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
11	10	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐺‘𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
12	11	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
13		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐹‘𝑦)) → 𝐾 = 𝐾)
14		smndex1ibas.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
15		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
16	14, 15	efmndbasf 18938	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘𝑀) → 𝐹:ℕ0⟶ℕ0)
17		ffvelcdm 7076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ0⟶ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
18	17	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℕ0⟶ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0))
19	16, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘𝑀) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0))
20	19	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0))
21	20	imp 411	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
22		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
23	12, 13, 21, 22	fvmptd 6997	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝐾)‘(𝐹‘𝑦)) = 𝐾)
24	23	mpteq2dva 5204	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐺‘𝐾)‘(𝐹‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
25		smndex1ibas.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
26		smndex1ibas.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
27	14, 25, 26, 1	smndex1gbas 18965	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑀))
28	14, 15	efmndbasf 18938	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑀) → (𝐺‘𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
29	27, 28	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
30		fcompt 7129	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝐾):ℕ0⟶ℕ0 ∧ 𝐹:ℕ0⟶ℕ0) → ((𝐺‘𝐾) ∘ 𝐹) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐺‘𝐾)‘(𝐹‘𝑦))))
31	29, 16, 30	syl2anr 608	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺‘𝐾) ∘ 𝐹) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐺‘𝐾)‘(𝐹‘𝑦))))
32		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐾 = 𝐾)
33	32	cbvmptv 5215	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)
34	4, 33	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
35	34	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
36	7	mptex 7221	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V)
38	2, 35, 6, 37	fvmptd 6997	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
39	38	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐺‘𝐾) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
40	24, 31, 39	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺‘𝐾) ∘ 𝐹) = (𝐺‘𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ↦ cmpt 5192   ∘ ccom 5665  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11104  ℕcn 12237  ℕ₀cn0 12508  ..^cfzo 13687   mod cmo 13907  Basecbs 17273  EndoFMndcefmnd 18931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-struct 17211  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-plusg 17327  df-tset 17333  df-efmnd 18932

This theorem is used by: (None)