Theorem smndex1gid 18147

Description: The composition of a constant function (𝐺‘𝐾) with another endofunction on ℕ₀ results in (𝐺‘𝐾) itself. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
smndex1gid	⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺‘𝐾) ∘ 𝐹) = (𝐺‘𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem smndex1gid

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛)))
3		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → 𝑛 = 𝐾)
4	3	mpteq2dv 5132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
5	4	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
6		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
7		nn0ex 11953	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	mptex 6983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V)
10	2, 5, 6, 9	fvmptd 6771	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
11	10	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐺‘𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
12	11	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
13		eqidd 2759	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐹‘𝑦)) → 𝐾 = 𝐾)
14		smndex1ibas.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
15		eqid 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
16	14, 15	efmndbasf 18119	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘𝑀) → 𝐹:ℕ0⟶ℕ0)
17		ffvelrn 6846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ0⟶ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
18	17	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℕ0⟶ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0))
19	16, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘𝑀) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0))
20	19	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0))
21	20	imp 410	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
22		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
23	12, 13, 21, 22	fvmptd 6771	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝐾)‘(𝐹‘𝑦)) = 𝐾)
24	23	mpteq2dva 5131	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐺‘𝐾)‘(𝐹‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
25		smndex1ibas.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
26		smndex1ibas.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
27	14, 25, 26, 1	smndex1gbas 18146	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑀))
28	14, 15	efmndbasf 18119	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑀) → (𝐺‘𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
29	27, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
30		fcompt 6892	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝐾):ℕ0⟶ℕ0 ∧ 𝐹:ℕ0⟶ℕ0) → ((𝐺‘𝐾) ∘ 𝐹) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐺‘𝐾)‘(𝐹‘𝑦))))
31	29, 16, 30	syl2anr 599	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺‘𝐾) ∘ 𝐹) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐺‘𝐾)‘(𝐹‘𝑦))))
32		eqidd 2759	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐾 = 𝐾)
33	32	cbvmptv 5139	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)
34	4, 33	eqtrdi 2809	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
35	34	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
36	7	mptex 6983	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V)
38	2, 35, 6, 37	fvmptd 6771	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
39	38	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐺‘𝐾) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
40	24, 31, 39	3eqtr4d 2803	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺‘𝐾) ∘ 𝐹) = (𝐺‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ↦ cmpt 5116   ∘ ccom 5532  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  0cc0 10588  ℕcn 11687  ℕ₀cn0 11947  ..^cfzo 13095   mod cmo 13299  Basecbs 16554  EndoFMndcefmnd 18112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-plusg 16649  df-tset 16655  df-efmnd 18113

This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18151  smndex1mndlem  18153