MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1gid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem smndex1gid 18780
Description: The composition of a constant function (πΊβ€˜πΎ) with another endofunction on β„•0 results in (πΊβ€˜πΎ) itself. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ β„•
smndex1ibas.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
Assertion
Ref Expression
smndex1gid ((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΊβ€˜πΎ) ∘ 𝐹) = (πΊβ€˜πΎ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁   𝑛,𝐾,π‘₯   𝑛,𝑁   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝐼(π‘₯,𝑛)   𝑀(𝑛)
Proof of Theorem smndex1gid
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
21a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛)))
3 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝐾 β†’ 𝑛 = 𝐾)
43mpteq2dv 5249 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐾 β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
54adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
6 id 22 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
7 nn0ex 12474 . . . . . . . . 9 β„•0 ∈ V
87mptex 7221 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾) ∈ V
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾) ∈ V)
102, 5, 6, 9fvmptd 7002 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜πΎ) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
1110adantl 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (πΊβ€˜πΎ) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
1211adantr 481 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜πΎ) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
13 eqidd 2733 . . . 4 ((((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝐾 = 𝐾)
14 smndex1ibas.m . . . . . . . 8 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
15 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
1614, 15efmndbasf 18752 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝐹:β„•0βŸΆβ„•0)
17 ffvelcdm 7080 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„•0)
1817ex 413 . . . . . . 7 (𝐹:β„•0βŸΆβ„•0 β†’ (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„•0))
1916, 18syl 17 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„•0))
2019adantr 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„•0))
2120imp 407 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„•0)
22 simplr 767 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
2312, 13, 21, 22fvmptd 7002 . . 3 (((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜πΎ)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) = 𝐾)
2423mpteq2dva 5247 . 2 ((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((πΊβ€˜πΎ)β€˜(πΉβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
25 smndex1ibas.n . . . . 5 𝑁 ∈ β„•
26 smndex1ibas.i . . . . 5 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
2714, 25, 26, 1smndex1gbas 18779 . . . 4 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
2814, 15efmndbasf 18752 . . . 4 ((πΊβ€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ (πΊβ€˜πΎ):β„•0βŸΆβ„•0)
2927, 28syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜πΎ):β„•0βŸΆβ„•0)
30 fcompt 7127 . . 3 (((πΊβ€˜πΎ):β„•0βŸΆβ„•0 ∧ 𝐹:β„•0βŸΆβ„•0) β†’ ((πΊβ€˜πΎ) ∘ 𝐹) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((πΊβ€˜πΎ)β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
3129, 16, 30syl2anr 597 . 2 ((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΊβ€˜πΎ) ∘ 𝐹) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((πΊβ€˜πΎ)β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
32 eqidd 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐾 = 𝐾)
3332cbvmptv 5260 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾)
344, 33eqtrdi 2788 . . . . 5 (𝑛 = 𝐾 β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
3534adantl 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
367mptex 7221 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾) ∈ V
3736a1i 11 . . . 4 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾) ∈ V)
382, 35, 6, 37fvmptd 7002 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜πΎ) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
3938adantl 482 . 2 ((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (πΊβ€˜πΎ) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
4024, 31, 393eqtr4d 2782 1 ((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΊβ€˜πΎ) ∘ 𝐹) = (πΊβ€˜πΎ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ↦ cmpt 5230   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  ..^cfzo 13623   mod cmo 13830  Basecbs 17140  EndoFMndcefmnd 18745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-tset 17212  df-efmnd 18746
This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18784  smndex1mndlem  18786
  Copyright terms: Public domain W3C validator