Theorem smndex1gid 18938

Description: The composition of a constant function (𝐺‘𝐾) with another endofunction on ℕ₀ results in (𝐺‘𝐾) itself. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.) Avoid ax-rep 5227. (Revised by GG, 2-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
smndex1gid	⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺‘𝐾) ∘ 𝐹) = (𝐺‘𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem smndex1gid

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → 𝑛 = 𝐾)
2	1	mpteq2dv 5194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
3		smndex1ibas.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
4		fconstmpt 5709	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 × {𝐾}) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)
5		nn0ex 12487	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
6		snex 5396	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐾} ∈ V
7	5, 6	xpex 7736	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 × {𝐾}) ∈ V
8	4, 7	eqeltrri 2859	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V
9	2, 3, 8	fvmpt 6975	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
10	9	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐺‘𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
11	10	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
12		eqidd 2763	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐹‘𝑦)) → 𝐾 = 𝐾)
13		smndex1ibas.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
14		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
15	13, 14	efmndbasf 18909	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘𝑀) → 𝐹:ℕ0⟶ℕ0)
16		ffvelcdm 7062	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ0⟶ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
17	16	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℕ0⟶ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0))
18	15, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘𝑀) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0))
19	18	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0))
20	19	imp 410	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
21		simplr 778	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
22	11, 12, 20, 21	fvmptd 6983	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝐾)‘(𝐹‘𝑦)) = 𝐾)
23	22	mpteq2dva 5193	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐺‘𝐾)‘(𝐹‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
24		smndex1ibas.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
25		smndex1ibas.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
26	13, 24, 25, 3	smndex1gbas 18936	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑀))
27	13, 14	efmndbasf 18909	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑀) → (𝐺‘𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
28	26, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
29		fcompt 7115	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝐾):ℕ0⟶ℕ0 ∧ 𝐹:ℕ0⟶ℕ0) → ((𝐺‘𝐾) ∘ 𝐹) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐺‘𝐾)‘(𝐹‘𝑦))))
30	28, 15, 29	syl2anr 606	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺‘𝐾) ∘ 𝐹) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐺‘𝐾)‘(𝐹‘𝑦))))
31		eqidd 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐾 = 𝐾)
32	31	cbvmptv 5204	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)
33	2, 32	eqtrdi 2813	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
34		fconstmpt 5709	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 × {𝐾}) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)
35	34, 7	eqeltrri 2859	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V
36	33, 3, 35	fvmpt 6975	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
37	36	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐺‘𝐾) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
38	23, 30, 37	3eqtr4d 2807	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺‘𝐾) ∘ 𝐹) = (𝐺‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  {csn 4582   ↦ cmpt 5181   × cxp 5645   ∘ ccom 5651  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  0cc0 11073  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  ..^cfzo 13659   mod cmo 13879  Basecbs 17245  EndoFMndcefmnd 18902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-struct 17183  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-tset 17305  df-efmnd 18903

This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18944  smndex1mndlem  18946