Theorem smndex1gid 18863

Description: The composition of a constant function (𝐺‘𝐾) with another endofunction on ℕ₀ results in (𝐺‘𝐾) itself. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.) Avoid ax-rep 5199. (Revised by GG, 2-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
smndex1gid	⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺‘𝐾) ∘ 𝐹) = (𝐺‘𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem smndex1gid

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → 𝑛 = 𝐾)
2	1	mpteq2dv 5166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
3		smndex1ibas.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
4		fconstmpt 5680	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 × {𝐾}) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)
5		nn0ex 12434	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
6		snex 5368	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐾} ∈ V
7	5, 6	xpex 7696	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 × {𝐾}) ∈ V
8	4, 7	eqeltrri 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V
9	2, 3, 8	fvmpt 6935	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
10	9	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐺‘𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
11	10	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
12		eqidd 2740	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐹‘𝑦)) → 𝐾 = 𝐾)
13		smndex1ibas.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
14		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
15	13, 14	efmndbasf 18834	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘𝑀) → 𝐹:ℕ0⟶ℕ0)
16		ffvelcdm 7022	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ0⟶ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
17	16	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℕ0⟶ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0))
18	15, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘𝑀) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0))
19	18	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0))
20	19	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
21		simplr 774	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
22	11, 12, 20, 21	fvmptd 6943	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝐾)‘(𝐹‘𝑦)) = 𝐾)
23	22	mpteq2dva 5165	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐺‘𝐾)‘(𝐹‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
24		smndex1ibas.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
25		smndex1ibas.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
26	13, 24, 25, 3	smndex1gbas 18861	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑀))
27	13, 14	efmndbasf 18834	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑀) → (𝐺‘𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
28	26, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
29		fcompt 7075	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝐾):ℕ0⟶ℕ0 ∧ 𝐹:ℕ0⟶ℕ0) → ((𝐺‘𝐾) ∘ 𝐹) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐺‘𝐾)‘(𝐹‘𝑦))))
30	28, 15, 29	syl2anr 603	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺‘𝐾) ∘ 𝐹) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐺‘𝐾)‘(𝐹‘𝑦))))
31		eqidd 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐾 = 𝐾)
32	31	cbvmptv 5176	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)
33	2, 32	eqtrdi 2790	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
34		fconstmpt 5680	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 × {𝐾}) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)
35	34, 7	eqeltrri 2836	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V
36	33, 3, 35	fvmpt 6935	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
37	36	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐺‘𝐾) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
38	23, 30, 37	3eqtr4d 2784	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺‘𝐾) ∘ 𝐹) = (𝐺‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  {csn 4555   ↦ cmpt 5153   × cxp 5616   ∘ ccom 5622  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ..^cfzo 13599   mod cmo 13819  Basecbs 17170  EndoFMndcefmnd 18827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-tset 17230  df-efmnd 18828

This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18869  smndex1mndlem  18871