MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1gid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem smndex1gid 18828
Description: The composition of a constant function (πΊβ€˜πΎ) with another endofunction on β„•0 results in (πΊβ€˜πΎ) itself. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ β„•
smndex1ibas.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
Assertion
Ref Expression
smndex1gid ((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΊβ€˜πΎ) ∘ 𝐹) = (πΊβ€˜πΎ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁   𝑛,𝐾,π‘₯   𝑛,𝑁   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝐼(π‘₯,𝑛)   𝑀(𝑛)
Proof of Theorem smndex1gid
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
21a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛)))
3 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝐾 β†’ 𝑛 = 𝐾)
43mpteq2dv 5243 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐾 β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
54adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
6 id 22 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
7 nn0ex 12482 . . . . . . . . 9 β„•0 ∈ V
87mptex 7220 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾) ∈ V
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾) ∈ V)
102, 5, 6, 9fvmptd 6999 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜πΎ) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
1110adantl 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (πΊβ€˜πΎ) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
1211adantr 480 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜πΎ) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
13 eqidd 2727 . . . 4 ((((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝐾 = 𝐾)
14 smndex1ibas.m . . . . . . . 8 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
15 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
1614, 15efmndbasf 18800 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝐹:β„•0βŸΆβ„•0)
17 ffvelcdm 7077 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„•0)
1817ex 412 . . . . . . 7 (𝐹:β„•0βŸΆβ„•0 β†’ (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„•0))
1916, 18syl 17 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„•0))
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„•0))
2120imp 406 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„•0)
22 simplr 766 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
2312, 13, 21, 22fvmptd 6999 . . 3 (((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜πΎ)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) = 𝐾)
2423mpteq2dva 5241 . 2 ((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((πΊβ€˜πΎ)β€˜(πΉβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
25 smndex1ibas.n . . . . 5 𝑁 ∈ β„•
26 smndex1ibas.i . . . . 5 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
2714, 25, 26, 1smndex1gbas 18827 . . . 4 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
2814, 15efmndbasf 18800 . . . 4 ((πΊβ€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ (πΊβ€˜πΎ):β„•0βŸΆβ„•0)
2927, 28syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜πΎ):β„•0βŸΆβ„•0)
30 fcompt 7127 . . 3 (((πΊβ€˜πΎ):β„•0βŸΆβ„•0 ∧ 𝐹:β„•0βŸΆβ„•0) β†’ ((πΊβ€˜πΎ) ∘ 𝐹) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((πΊβ€˜πΎ)β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
3129, 16, 30syl2anr 596 . 2 ((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΊβ€˜πΎ) ∘ 𝐹) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((πΊβ€˜πΎ)β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
32 eqidd 2727 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐾 = 𝐾)
3332cbvmptv 5254 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾)
344, 33eqtrdi 2782 . . . . 5 (𝑛 = 𝐾 β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
3534adantl 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
367mptex 7220 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾) ∈ V
3736a1i 11 . . . 4 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾) ∈ V)
382, 35, 6, 37fvmptd 6999 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜πΎ) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
3938adantl 481 . 2 ((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (πΊβ€˜πΎ) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
4024, 31, 393eqtr4d 2776 1 ((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΊβ€˜πΎ) ∘ 𝐹) = (πΊβ€˜πΎ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  ..^cfzo 13633   mod cmo 13840  Basecbs 17153  EndoFMndcefmnd 18793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-tset 17225  df-efmnd 18794
This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18832  smndex1mndlem  18834
  Copyright terms: Public domain W3C validator