MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1gid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem smndex1gid 18857
Description: The composition of a constant function (πΊβ€˜πΎ) with another endofunction on β„•0 results in (πΊβ€˜πΎ) itself. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ β„•
smndex1ibas.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
Assertion
Ref Expression
smndex1gid ((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΊβ€˜πΎ) ∘ 𝐹) = (πΊβ€˜πΎ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁   𝑛,𝐾,π‘₯   𝑛,𝑁   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝐼(π‘₯,𝑛)   𝑀(𝑛)
Proof of Theorem smndex1gid
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
21a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛)))
3 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝐾 β†’ 𝑛 = 𝐾)
43mpteq2dv 5245 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐾 β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
54adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
6 id 22 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
7 nn0ex 12506 . . . . . . . . 9 β„•0 ∈ V
87mptex 7230 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾) ∈ V
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾) ∈ V)
102, 5, 6, 9fvmptd 7006 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜πΎ) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
1110adantl 480 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (πΊβ€˜πΎ) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
1211adantr 479 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜πΎ) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
13 eqidd 2726 . . . 4 ((((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝐾 = 𝐾)
14 smndex1ibas.m . . . . . . . 8 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
15 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
1614, 15efmndbasf 18829 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝐹:β„•0βŸΆβ„•0)
17 ffvelcdm 7085 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„•0)
1817ex 411 . . . . . . 7 (𝐹:β„•0βŸΆβ„•0 β†’ (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„•0))
1916, 18syl 17 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„•0))
2019adantr 479 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„•0))
2120imp 405 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„•0)
22 simplr 767 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
2312, 13, 21, 22fvmptd 7006 . . 3 (((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜πΎ)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) = 𝐾)
2423mpteq2dva 5243 . 2 ((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((πΊβ€˜πΎ)β€˜(πΉβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
25 smndex1ibas.n . . . . 5 𝑁 ∈ β„•
26 smndex1ibas.i . . . . 5 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
2714, 25, 26, 1smndex1gbas 18856 . . . 4 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
2814, 15efmndbasf 18829 . . . 4 ((πΊβ€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ (πΊβ€˜πΎ):β„•0βŸΆβ„•0)
2927, 28syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜πΎ):β„•0βŸΆβ„•0)
30 fcompt 7137 . . 3 (((πΊβ€˜πΎ):β„•0βŸΆβ„•0 ∧ 𝐹:β„•0βŸΆβ„•0) β†’ ((πΊβ€˜πΎ) ∘ 𝐹) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((πΊβ€˜πΎ)β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
3129, 16, 30syl2anr 595 . 2 ((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΊβ€˜πΎ) ∘ 𝐹) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((πΊβ€˜πΎ)β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
32 eqidd 2726 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐾 = 𝐾)
3332cbvmptv 5256 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾)
344, 33eqtrdi 2781 . . . . 5 (𝑛 = 𝐾 β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
3534adantl 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
367mptex 7230 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾) ∈ V
3736a1i 11 . . . 4 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾) ∈ V)
382, 35, 6, 37fvmptd 7006 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜πΎ) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
3938adantl 480 . 2 ((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (πΊβ€˜πΎ) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
4024, 31, 393eqtr4d 2775 1 ((𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΊβ€˜πΎ) ∘ 𝐹) = (πΊβ€˜πΎ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5226   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  0cc0 11136  β„•cn 12240  β„•0cn0 12500  ..^cfzo 13657   mod cmo 13864  Basecbs 17177  EndoFMndcefmnd 18822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-struct 17113  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-tset 17249  df-efmnd 18823
This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18861  smndex1mndlem  18863
  Copyright terms: Public domain W3C validator