Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1gid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1gid 18147
 Description: The composition of a constant function (𝐺‘𝐾) with another endofunction on ℕ0 results in (𝐺‘𝐾) itself. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
Assertion
Ref Expression
smndex1gid ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺𝐾) ∘ 𝐹) = (𝐺𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem smndex1gid
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
21a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛)))
3 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝐾𝑛 = 𝐾)
43mpteq2dv 5132 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0𝐾))
54adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0𝐾))
6 id 22 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
7 nn0ex 11953 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
87mptex 6983 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0𝐾) ∈ V
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0𝐾) ∈ V)
102, 5, 6, 9fvmptd 6771 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0𝐾))
1110adantl 485 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐺𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0𝐾))
1211adantr 484 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐺𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0𝐾))
13 eqidd 2759 . . . 4 ((((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐹𝑦)) → 𝐾 = 𝐾)
14 smndex1ibas.m . . . . . . . 8 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
15 eqid 2758 . . . . . . . 8 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
1614, 15efmndbasf 18119 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Base‘𝑀) → 𝐹:ℕ0⟶ℕ0)
17 ffvelrn 6846 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ0⟶ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑦) ∈ ℕ0)
1817ex 416 . . . . . . 7 (𝐹:ℕ0⟶ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑦) ∈ ℕ0))
1916, 18syl 17 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Base‘𝑀) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑦) ∈ ℕ0))
2019adantr 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑦) ∈ ℕ0))
2120imp 410 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑦) ∈ ℕ0)
22 simplr 768 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
2312, 13, 21, 22fvmptd 6771 . . 3 (((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝐾)‘(𝐹𝑦)) = 𝐾)
2423mpteq2dva 5131 . 2 ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐺𝐾)‘(𝐹𝑦))) = (𝑦 ∈ ℕ0𝐾))
25 smndex1ibas.n . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ
26 smndex1ibas.i . . . . 5 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
2714, 25, 26, 1smndex1gbas 18146 . . . 4 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝐾) ∈ (Base‘𝑀))
2814, 15efmndbasf 18119 . . . 4 ((𝐺𝐾) ∈ (Base‘𝑀) → (𝐺𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
2927, 28syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
30 fcompt 6892 . . 3 (((𝐺𝐾):ℕ0⟶ℕ0𝐹:ℕ0⟶ℕ0) → ((𝐺𝐾) ∘ 𝐹) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐺𝐾)‘(𝐹𝑦))))
3129, 16, 30syl2anr 599 . 2 ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺𝐾) ∘ 𝐹) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐺𝐾)‘(𝐹𝑦))))
32 eqidd 2759 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦𝐾 = 𝐾)
3332cbvmptv 5139 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0𝐾) = (𝑦 ∈ ℕ0𝐾)
344, 33eqtrdi 2809 . . . . 5 (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) = (𝑦 ∈ ℕ0𝐾))
3534adantl 485 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) = (𝑦 ∈ ℕ0𝐾))
367mptex 6983 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0𝐾) ∈ V
3736a1i 11 . . . 4 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ ℕ0𝐾) ∈ V)
382, 35, 6, 37fvmptd 6771 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝐾) = (𝑦 ∈ ℕ0𝐾))
3938adantl 485 . 2 ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐺𝐾) = (𝑦 ∈ ℕ0𝐾))
4024, 31, 393eqtr4d 2803 1 ((𝐹 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺𝐾) ∘ 𝐹) = (𝐺𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ↦ cmpt 5116   ∘ ccom 5532  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  0cc0 10588  ℕcn 11687  ℕ0cn0 11947  ..^cfzo 13095   mod cmo 13299  Basecbs 16554  EndoFMndcefmnd 18112 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-plusg 16649  df-tset 16655  df-efmnd 18113 This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18151  smndex1mndlem  18153
 Copyright terms: Public domain W3C validator