Theorem smndex1gbas 18586

Description: The constant functions (𝐺‘𝐾) are endofunctions on ℕ₀. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
smndex1gbas	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smndex1gbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzonn0 13478	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
3	2	ralrimiva 3140	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 𝐾 ∈ ℕ0)
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)
5	4	fmpt 7016	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
6	3, 5	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
7		nn0ex 12285	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7, 7	elmap 8690	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ (ℕ0 ↑m ℕ0) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
9	6, 8	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ (ℕ0 ↑m ℕ0))
10		smndex1ibas.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛)))
12		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → 𝑛 = 𝐾)
13	12	mpteq2dv 5183	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
14	13	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
15		id 22	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
16	7	mptex 7131	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V)
18	11, 14, 15, 17	fvmptd 6914	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
19		smndex1ibas.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
20		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
21	19, 20	efmndbas 18555	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (ℕ0 ↑m ℕ0)
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (Base‘𝑀) = (ℕ0 ↑m ℕ0))
23	9, 18, 22	3eltr4d 2852	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3062  Vcvv 3437   ↦ cmpt 5164  ⟶wf 6454  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307   ↑_m cmap 8646  0cc0 10917  ℕcn 12019  ℕ₀cn0 12279  ..^cfzo 13428   mod cmo 13635  Basecbs 16957  EndoFMndcefmnd 18552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-struct 16893  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-plusg 17020  df-tset 17026  df-efmnd 18553

This theorem is referenced by:  smndex1gid  18587  smndex1basss  18589  smndex1mgm  18591