Theorem smndex1gbas 18862

Description: The constant functions (𝐺‘𝐾) are endofunctions on ℕ₀. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
smndex1gbas	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smndex1gbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzonn0 13712	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
3	2	ralrimiva 3135	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 𝐾 ∈ ℕ0)
4		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)
5	4	fmpt 7119	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
6	3, 5	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
7		nn0ex 12511	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7, 7	elmap 8890	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ (ℕ0 ↑m ℕ0) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
9	6, 8	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ (ℕ0 ↑m ℕ0))
10		smndex1ibas.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛)))
12		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → 𝑛 = 𝐾)
13	12	mpteq2dv 5251	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
14	13	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
15		id 22	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
16	7	mptex 7235	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V)
18	11, 14, 15, 17	fvmptd 7011	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
19		smndex1ibas.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
20		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
21	19, 20	efmndbas 18831	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (ℕ0 ↑m ℕ0)
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (Base‘𝑀) = (ℕ0 ↑m ℕ0))
23	9, 18, 22	3eltr4d 2840	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  Vcvv 3461   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8845  0cc0 11140  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12505  ..^cfzo 13662   mod cmo 13870  Basecbs 17183  EndoFMndcefmnd 18828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-struct 17119  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-tset 17255  df-efmnd 18829

This theorem is referenced by:  smndex1gid  18863  smndex1basss  18865  smndex1mgm  18867