MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1gbas Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem smndex1gbas 18758
Description: The constant functions (πΊβ€˜πΎ) are endofunctions on β„•0. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ β„•
smndex1ibas.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
Assertion
Ref Expression
smndex1gbas (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁   𝑛,𝐾,π‘₯   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝐼(π‘₯,𝑛)   𝑀(π‘₯,𝑛)
Proof of Theorem smndex1gbas
StepHypRef Expression
1 elfzonn0 13659 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
32ralrimiva 3145 . . . 4 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 𝐾 ∈ β„•0)
4 eqid 2731 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾)
54fmpt 7094 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 𝐾 ∈ β„•0 ↔ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾):β„•0βŸΆβ„•0)
63, 5sylib 217 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾):β„•0βŸΆβ„•0)
7 nn0ex 12460 . . . 4 β„•0 ∈ V
87, 7elmap 8848 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾) ∈ (β„•0 ↑m β„•0) ↔ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾):β„•0βŸΆβ„•0)
96, 8sylibr 233 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾) ∈ (β„•0 ↑m β„•0))
10 smndex1ibas.g . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
1110a1i 11 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛)))
12 id 22 . . . . 5 (𝑛 = 𝐾 β†’ 𝑛 = 𝐾)
1312mpteq2dv 5243 . . . 4 (𝑛 = 𝐾 β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
1413adantl 482 . . 3 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
15 id 22 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
167mptex 7209 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾) ∈ V
1716a1i 11 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾) ∈ V)
1811, 14, 15, 17fvmptd 6991 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜πΎ) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
19 smndex1ibas.m . . . 4 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
20 eqid 2731 . . . 4 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
2119, 20efmndbas 18727 . . 3 (Baseβ€˜π‘€) = (β„•0 ↑m β„•0)
2221a1i 11 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = (β„•0 ↑m β„•0))
239, 18, 223eltr4d 2847 1 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6528  β€˜cfv 6532  (class class class)co 7393   ↑m cmap 8803  0cc0 11092  β„•cn 12194  β„•0cn0 12454  ..^cfzo 13609   mod cmo 13816  Basecbs 17126  EndoFMndcefmnd 18724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-struct 17062  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-plusg 17192  df-tset 17198  df-efmnd 18725
This theorem is referenced by:  smndex1gid  18759  smndex1basss  18761  smndex1mgm  18763
  Copyright terms: Public domain W3C validator