Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1gbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1gbas 18067
 Description: The constant functions (𝐺‘𝐾) are endofunctions on ℕ0. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
Assertion
Ref Expression
smndex1gbas (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝐾) ∈ (Base‘𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smndex1gbas
StepHypRef Expression
1 elfzonn0 13086 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
21adantr 484 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
32ralrimiva 3177 . . . 4 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 𝐾 ∈ ℕ0)
4 eqid 2824 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0𝐾)
54fmpt 6865 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℕ0 𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
63, 5sylib 221 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
7 nn0ex 11900 . . . 4 0 ∈ V
87, 7elmap 8431 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾) ∈ (ℕ0m0) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
96, 8sylibr 237 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0𝐾) ∈ (ℕ0m0))
10 smndex1ibas.g . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
1110a1i 11 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛)))
12 id 22 . . . . 5 (𝑛 = 𝐾𝑛 = 𝐾)
1312mpteq2dv 5148 . . . 4 (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0𝐾))
1413adantl 485 . . 3 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0𝐾))
15 id 22 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
167mptex 6977 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0𝐾) ∈ V
1716a1i 11 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0𝐾) ∈ V)
1811, 14, 15, 17fvmptd 6766 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0𝐾))
19 smndex1ibas.m . . . 4 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
20 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2119, 20efmndbas 18036 . . 3 (Base‘𝑀) = (ℕ0m0)
2221a1i 11 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (Base‘𝑀) = (ℕ0m0))
239, 18, 223eltr4d 2931 1 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝐾) ∈ (Base‘𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  Vcvv 3480   ↦ cmpt 5132  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ↑m cmap 8402  0cc0 10535  ℕcn 11634  ℕ0cn0 11894  ..^cfzo 13037   mod cmo 13241  Basecbs 16483  EndoFMndcefmnd 18033 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-plusg 16578  df-tset 16584  df-efmnd 18034 This theorem is referenced by:  smndex1gid  18068  smndex1basss  18070  smndex1mgm  18072
 Copyright terms: Public domain W3C validator