Theorem smndex1gbas 18861

Description: The constant functions (𝐺‘𝐾) are endofunctions on ℕ₀. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.) Avoid ax-rep 5212 and shorten proof. (Revised by GG, 2-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
smndex1gbas	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smndex1gbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzonn0 13653	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
3	2	fmpttd 7061	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
4		nn0ex 12434	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
5	4, 4	elmap 8812	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ (ℕ0 ↑m ℕ0) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
6	3, 5	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ (ℕ0 ↑m ℕ0))
7		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → 𝑛 = 𝐾)
8	7	mpteq2dv 5180	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
9		smndex1ibas.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
10		fconstmpt 5686	. . . 4 ⊢ (ℕ0 × {𝐾}) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)
11		snex 5376	. . . . 5 ⊢ {𝐾} ∈ V
12	4, 11	xpex 7700	. . . 4 ⊢ (ℕ0 × {𝐾}) ∈ V
13	10, 12	eqeltrri 2834	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V
14	8, 9, 13	fvmpt 6941	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
15		smndex1ibas.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
16		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
17	15, 16	efmndbas 18830	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (ℕ0 ↑m ℕ0)
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (Base‘𝑀) = (ℕ0 ↑m ℕ0))
19	6, 14, 18	3eltr4d 2852	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   × cxp 5622  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766  0cc0 11029  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ..^cfzo 13599   mod cmo 13819  Basecbs 17170  EndoFMndcefmnd 18827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-tset 17230  df-efmnd 18828

This theorem is referenced by:  smndex1gid  18863  smndex1gidOLD  18864  smndex1basss  18867  smndex1mgm  18869