MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1gbas Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem smndex1gbas 18817
Description: The constant functions (πΊβ€˜πΎ) are endofunctions on β„•0. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ β„•
smndex1ibas.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
Assertion
Ref Expression
smndex1gbas (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁   𝑛,𝐾,π‘₯   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝐼(π‘₯,𝑛)   𝑀(π‘₯,𝑛)
Proof of Theorem smndex1gbas
StepHypRef Expression
1 elfzonn0 13674 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
32ralrimiva 3138 . . . 4 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 𝐾 ∈ β„•0)
4 eqid 2724 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾)
54fmpt 7101 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 𝐾 ∈ β„•0 ↔ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾):β„•0βŸΆβ„•0)
63, 5sylib 217 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾):β„•0βŸΆβ„•0)
7 nn0ex 12475 . . . 4 β„•0 ∈ V
87, 7elmap 8861 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾) ∈ (β„•0 ↑m β„•0) ↔ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾):β„•0βŸΆβ„•0)
96, 8sylibr 233 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾) ∈ (β„•0 ↑m β„•0))
10 smndex1ibas.g . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
1110a1i 11 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛)))
12 id 22 . . . . 5 (𝑛 = 𝐾 β†’ 𝑛 = 𝐾)
1312mpteq2dv 5240 . . . 4 (𝑛 = 𝐾 β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
1413adantl 481 . . 3 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
15 id 22 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
167mptex 7216 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾) ∈ V
1716a1i 11 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾) ∈ V)
1811, 14, 15, 17fvmptd 6995 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜πΎ) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
19 smndex1ibas.m . . . 4 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
20 eqid 2724 . . . 4 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
2119, 20efmndbas 18786 . . 3 (Baseβ€˜π‘€) = (β„•0 ↑m β„•0)
2221a1i 11 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = (β„•0 ↑m β„•0))
239, 18, 223eltr4d 2840 1 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  Vcvv 3466   ↦ cmpt 5221  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ↑m cmap 8816  0cc0 11106  β„•cn 12209  β„•0cn0 12469  ..^cfzo 13624   mod cmo 13831  Basecbs 17143  EndoFMndcefmnd 18783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-efmnd 18784
This theorem is referenced by:  smndex1gid  18818  smndex1basss  18820  smndex1mgm  18822
  Copyright terms: Public domain W3C validator