Theorem smndex1gbas 18957

Description: The constant functions (𝐺‘𝐾) are endofunctions on ℕ₀. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.) Avoid ax-rep 5239 and shorten proof. (Revised by GG, 2-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
smndex1gbas	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smndex1gbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzonn0 13732	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
3	2	fmpttd 7108	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
4		nn0ex 12506	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
5	4, 4	elmap 8865	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ (ℕ0 ↑m ℕ0) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
6	3, 5	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ (ℕ0 ↑m ℕ0))
7		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → 𝑛 = 𝐾)
8	7	mpteq2dv 5206	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
9		smndex1ibas.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
10		fconstmpt 5721	. . . 4 ⊢ (ℕ0 × {𝐾}) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)
11		snex 5408	. . . . 5 ⊢ {𝐾} ∈ V
12	4, 11	xpex 7748	. . . 4 ⊢ (ℕ0 × {𝐾}) ∈ V
13	10, 12	eqeltrri 2866	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V
14	8, 9, 13	fvmpt 6987	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
15		smndex1ibas.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
16		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
17	15, 16	efmndbas 18926	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (ℕ0 ↑m ℕ0)
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (Base‘𝑀) = (ℕ0 ↑m ℕ0))
19	6, 14, 18	3eltr4d 2884	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  {csn 4591   ↦ cmpt 5193   × cxp 5657  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8820  0cc0 11096  ℕcn 12229  ℕ₀cn0 12500  ..^cfzo 13678   mod cmo 13898  Basecbs 17265  EndoFMndcefmnd 18923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-struct 17203  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-tset 17325  df-efmnd 18924

This theorem is referenced by:  smndex1gid  18959  smndex1gidOLD  18960  smndex1basss  18963  smndex1mgm  18965