Theorem sqabs 15232

Description: The squares of two reals are equal iff their absolute values are equal. (Contributed by NM, 6-Mar-2009.)

Assertion

Ref	Expression
sqabs	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem sqabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcl 14049	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
2		sqge0 14061	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴↑2))
3		absid 15221	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑2)) → (abs‘(𝐴↑2)) = (𝐴↑2))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴↑2)) = (𝐴↑2))
5		recn 11118	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		2nn0 12419	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		absexp 15229	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑2)) = ((abs‘𝐴)↑2))
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴↑2)) = ((abs‘𝐴)↑2))
9	4, 8	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) = ((abs‘𝐴)↑2))
10		resqcl 14049	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
11		sqge0 14061	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐵↑2))
12		absid 15221	. . . . 5 ⊢ (((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)) → (abs‘(𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (abs‘(𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
14		recn 11118	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
15		absexp 15229	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵↑2)) = ((abs‘𝐵)↑2))
16	14, 6, 15	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (abs‘(𝐵↑2)) = ((abs‘𝐵)↑2))
17	13, 16	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑2) = ((abs‘𝐵)↑2))
18	9, 17	eqeqan12d 2743	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐵)↑2)))
19		abscl 15203	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
20		absge0 15212	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
21	19, 20	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
22		abscl 15203	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
23		absge0 15212	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐵))
24	22, 23	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
25		sq11 14056	. . . 4 ⊢ ((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) ∧ ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵))) → (((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐵)↑2) ↔ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)))
26	21, 24, 25	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐵)↑2) ↔ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)))
27	5, 14, 26	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐵)↑2) ↔ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)))
28	18, 27	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028   ≤ cle 11169  2c2 12201  ℕ₀cn0 12402  ↑cexp 13986  abscabs 15159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161

This theorem is referenced by:  coskpi  26448