Theorem sswrd 14674

Description: The set of words respects ordering on the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sswrd	⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → Word 𝑆 ⊆ Word 𝑇)

Proof of Theorem sswrd

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fss 6731	. . . 4 ⊢ ((𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑇)
2	1	expcom 419	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → (𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑆 → 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑇))
3		iswrdb 14672	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ↔ 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑆)
4		iswrdb 14672	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↔ 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑇)
5	2, 3, 4	3imtr4g 299	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → (𝑤 ∈ Word 𝑆 → 𝑤 ∈ Word 𝑇))
6	5	ssrdv 3915	1 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → Word 𝑆 ⊆ Word 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  0cc0 11207  ..^cfzo 13795  ♯chash 14481  Word cword 14665

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-hash 14482  df-word 14666

This theorem is used by:  wrdv  14681  wrdeq  14688  chndss  18799  gsumwspan  19051  frmdsssubm  19066  frmdss2  19068  symgtrinv  19695  psgnunilem5  19717  psgnunilem2  19718  psgnuni  19722  ablfaclem3  20312  psgnghm  21895  psgndiflemB  21915  subgrwlk  30278  ccatws1f1olast  33565  gsumwun  33687  cyc3genpm  33763  elrgspnlem1  33853  elrgspnlem2  33854  elrgspnlem3  33855  elrgspnlem4  33856  elrgspn  33857  elrgspnsubrunlem1  33858  elrgspnsubrunlem2  33859  domnprodn0  33889  1arithidomlem1  34117  1arithidomlem2  34118  1arithidom  34119  1arithufdlem2  34127  1arithufdlem3  34128  dfufd2lem  34131  wrddrin  48033  wrddun  48035