Theorem sswrd 14560

Description: The set of words respects ordering on the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sswrd	⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → Word 𝑆 ⊆ Word 𝑇)

Proof of Theorem sswrd

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fss 6752	. . . 4 ⊢ ((𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑇)
2	1	expcom 413	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → (𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑆 → 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑇))
3		iswrdb 14558	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ↔ 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑆)
4		iswrdb 14558	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↔ 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑇)
5	2, 3, 4	3imtr4g 296	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → (𝑤 ∈ Word 𝑆 → 𝑤 ∈ Word 𝑇))
6	5	ssrdv 3989	1 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → Word 𝑆 ⊆ Word 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Word cword 14552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553

This theorem is referenced by:  wrdv  14567  wrdeq  14574  gsumwspan  18859  frmdsssubm  18874  frmdss2  18876  symgtrinv  19490  psgnunilem5  19512  psgnunilem2  19513  psgnuni  19517  ablfaclem3  20107  psgnghm  21598  psgndiflemB  21618  ccatws1f1olast  32937  gsumwun  33068  cyc3genpm  33172  elrgspnlem1  33246  elrgspnlem2  33247  elrgspnlem3  33248  elrgspnlem4  33249  elrgspn  33250  elrgspnsubrunlem1  33251  elrgspnsubrunlem2  33252  domnprodn0  33279  1arithidomlem1  33563  1arithidomlem2  33564  1arithidom  33565  1arithufdlem2  33573  1arithufdlem3  33574  dfufd2lem  33577  subgrwlk  35137