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Theorem subgrwlk 34422
Description: If a walk exists in a subgraph of a graph 𝐺, then that walk also exists in 𝐺. (Contributed by BTernaryTau, 22-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
subgrwlk (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ (𝐹(Walksβ€˜π‘†)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃))
Proof of Theorem subgrwlk
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgrv 28795 . . . . . 6 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V))
21simpld 494 . . . . 5 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ 𝑆 ∈ V)
3 eqid 2731 . . . . . 6 (Vtxβ€˜π‘†) = (Vtxβ€˜π‘†)
4 eqid 2731 . . . . . 6 (iEdgβ€˜π‘†) = (iEdgβ€˜π‘†)
53, 4iswlkg 29138 . . . . 5 (𝑆 ∈ V β†’ (𝐹(Walksβ€˜π‘†)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
62, 5syl 17 . . . 4 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ (𝐹(Walksβ€˜π‘†)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
7 3simpa 1147 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜π‘†)))
8 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
9 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
10 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (Edgβ€˜π‘†) = (Edgβ€˜π‘†)
113, 8, 4, 9, 10subgrprop2 28799 . . . . . . . . . 10 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ ((Vtxβ€˜π‘†) βŠ† (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (iEdgβ€˜π‘†) βŠ† (iEdgβ€˜πΊ) ∧ (Edgβ€˜π‘†) βŠ† 𝒫 (Vtxβ€˜π‘†)))
1211simp2d 1142 . . . . . . . . 9 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ (iEdgβ€˜π‘†) βŠ† (iEdgβ€˜πΊ))
13 dmss 5902 . . . . . . . . 9 ((iEdgβ€˜π‘†) βŠ† (iEdgβ€˜πΊ) β†’ dom (iEdgβ€˜π‘†) βŠ† dom (iEdgβ€˜πΊ))
14 sswrd 14477 . . . . . . . . 9 (dom (iEdgβ€˜π‘†) βŠ† dom (iEdgβ€˜πΊ) β†’ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) βŠ† Word dom (iEdgβ€˜πΊ))
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . . 8 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) βŠ† Word dom (iEdgβ€˜πΊ))
1615sseld 3981 . . . . . . 7 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ)))
1711simp1d 1141 . . . . . . . 8 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ (Vtxβ€˜π‘†) βŠ† (Vtxβ€˜πΊ))
18 fss 6734 . . . . . . . . 9 ((𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜π‘†) ∧ (Vtxβ€˜π‘†) βŠ† (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))
1918expcom 413 . . . . . . . 8 ((Vtxβ€˜π‘†) βŠ† (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜π‘†) β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)))
2017, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜π‘†) β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)))
2116, 20anim12d 608 . . . . . 6 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))))
227, 21syl5 34 . . . . 5 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))))
23 3simpb 1148 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
243, 8, 4, 9, 10subgrprop 28798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ ((Vtxβ€˜π‘†) βŠ† (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (iEdgβ€˜π‘†) = ((iEdgβ€˜πΊ) β†Ύ dom (iEdgβ€˜π‘†)) ∧ (Edgβ€˜π‘†) βŠ† 𝒫 (Vtxβ€˜π‘†)))
2524simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = ((iEdgβ€˜πΊ) β†Ύ dom (iEdgβ€˜π‘†)))
2625fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = (((iEdgβ€˜πΊ) β†Ύ dom (iEdgβ€˜π‘†))β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
27263ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = (((iEdgβ€˜πΊ) β†Ύ dom (iEdgβ€˜π‘†))β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
28 wrdsymbcl 14482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ dom (iEdgβ€˜π‘†))
2928fvresd 6911 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (((iEdgβ€˜πΊ) β†Ύ dom (iEdgβ€˜π‘†))β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
30293adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (((iEdgβ€˜πΊ) β†Ύ dom (iEdgβ€˜π‘†))β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
3127, 30eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
3231eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} ↔ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}))
3331sseq2d 4014 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ↔ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
3432, 33ifpbi23d 1079 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
3534biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
36353expia 1120 . . . . . . . . 9 ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†)) β†’ (π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
3736ralrimiv 3144 . . . . . . . 8 ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
38 ralim 3085 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
4039expimpd 453 . . . . . 6 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
4123, 40syl5 34 . . . . 5 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
4222, 41jcad 512 . . . 4 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜π‘†) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
436, 42sylbid 239 . . 3 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ (𝐹(Walksβ€˜π‘†)𝑃 β†’ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
44 df-3an 1088 . . 3 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
4543, 44imbitrrdi 251 . 2 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ (𝐹(Walksβ€˜π‘†)𝑃 β†’ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
468, 9iswlkg 29138 . . 3 (𝐺 ∈ V β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
471, 46simpl2im 503 . 2 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
4845, 47sylibrd 259 1 (𝑆 SubGraph 𝐺 β†’ (𝐹(Walksβ€˜π‘†)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  if-wif 1060   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628  {cpr 4630   class class class wbr 5148  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632  β™―chash 14295  Word cword 14469  Vtxcvtx 28524  iEdgciedg 28525  Edgcedg 28575   SubGraph csubgr 28792  Walkscwlks 29121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-subgr 28793  df-wlks 29124
This theorem is referenced by:  subgrtrl  34423
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