Theorem stgredgel 47951

Description: An edge of the star graph S_N. (Contributed by AV, 11-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
stgredgel	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ (𝐸 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝐸

Proof of Theorem stgredgel

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stgredg 47950	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Edg‘(StarGr‘𝑁)) = {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}})
2	1	eleq2d 2814	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ 𝐸 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}}))
3		eqeq1 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (𝑒 = {0, 𝑥} ↔ 𝐸 = {0, 𝑥}))
4	3	rexbidv 3153	. . . 4 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥} ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥}))
5	4	elrab 3648	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}} ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥}))
6		prex 5376	. . . . . . 7 ⊢ {0, 𝑥} ∈ V
7		eleq1 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 = {0, 𝑥} → (𝐸 ∈ V ↔ {0, 𝑥} ∈ V))
8	6, 7	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 = {0, 𝑥} → 𝐸 ∈ V)
9		elpwg 4554	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ↔ 𝐸 ⊆ (0...𝑁)))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐸 = {0, 𝑥} → (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ↔ 𝐸 ⊆ (0...𝑁)))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → (𝐸 = {0, 𝑥} → (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ↔ 𝐸 ⊆ (0...𝑁))))
12	11	rexlimiv 3123	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥} → (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ↔ 𝐸 ⊆ (0...𝑁)))
13	5, 12	bianim 576	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}} ↔ (𝐸 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥}))
14	2, 13	bitrdi 287	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ (𝐸 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3394  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4551  {cpr 4579  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010  ℕ₀cn0 12384  ...cfz 13410  Edgcedg 28992  StarGrcstgr 47945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-hash 14238  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-edgf 28934  df-iedg 28944  df-edg 28993  df-stgr 47946

This theorem is referenced by:  stgredgiun  47952  stgrnbgr0  47958  isubgr3stgrlem6  47965  isubgr3stgrlem7  47966