Theorem stgredgel 48938

Description: An edge of the star graph S_N. (Contributed by AV, 11-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
stgredgel	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ (𝐸 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝐸

Proof of Theorem stgredgel

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stgredg 48937	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Edg‘(StarGr‘𝑁)) = {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}})
2	1	eleq2d 2846	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ 𝐸 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}}))
3		eqeq1 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (𝑒 = {0, 𝑥} ↔ 𝐸 = {0, 𝑥}))
4	3	rexbidv 3186	. . . 4 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥} ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥}))
5	4	elrab 3645	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}} ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥}))
6		prex 5403	. . . . . . 7 ⊢ {0, 𝑥} ∈ V
7		eleq1 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 = {0, 𝑥} → (𝐸 ∈ V ↔ {0, 𝑥} ∈ V))
8	6, 7	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 = {0, 𝑥} → 𝐸 ∈ V)
9		elpwg 4560	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ↔ 𝐸 ⊆ (0...𝑁)))
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐸 = {0, 𝑥} → (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ↔ 𝐸 ⊆ (0...𝑁)))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → (𝐸 = {0, 𝑥} → (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ↔ 𝐸 ⊆ (0...𝑁))))
12	11	rexlimiv 3156	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥} → (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ↔ 𝐸 ⊆ (0...𝑁)))
13	5, 12	bianim 587	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}} ↔ (𝐸 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥}))
14	2, 13	bitrdi 290	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ (𝐸 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  {cpr 4586  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  0cc0 11149  1c1 11150  ℕ₀cn0 12553  ...cfz 13586  Edgcedg 29536  StarGrcstgr 48932

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9931  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-xnn0 12627  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-fz 13587  df-hash 14420  df-struct 17264  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-edgf 29478  df-iedg 29488  df-edg 29537  df-stgr 48933

This theorem is used by:  stgredgiun  48939  stgrnbgr0  48945  isubgr3stgrlem6  48952  isubgr3stgrlem7  48953