Theorem stgredgel 48270

Description: An edge of the star graph S_N. (Contributed by AV, 11-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
stgredgel	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ (𝐸 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝐸

Proof of Theorem stgredgel

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stgredg 48269	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Edg‘(StarGr‘𝑁)) = {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}})
2	1	eleq2d 2823	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ 𝐸 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}}))
3		eqeq1 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (𝑒 = {0, 𝑥} ↔ 𝐸 = {0, 𝑥}))
4	3	rexbidv 3161	. . . 4 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥} ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥}))
5	4	elrab 3647	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}} ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥}))
6		prex 5383	. . . . . . 7 ⊢ {0, 𝑥} ∈ V
7		eleq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 = {0, 𝑥} → (𝐸 ∈ V ↔ {0, 𝑥} ∈ V))
8	6, 7	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 = {0, 𝑥} → 𝐸 ∈ V)
9		elpwg 4558	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ↔ 𝐸 ⊆ (0...𝑁)))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐸 = {0, 𝑥} → (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ↔ 𝐸 ⊆ (0...𝑁)))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → (𝐸 = {0, 𝑥} → (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ↔ 𝐸 ⊆ (0...𝑁))))
12	11	rexlimiv 3131	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥} → (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ↔ 𝐸 ⊆ (0...𝑁)))
13	5, 12	bianim 576	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}} ↔ (𝐸 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥}))
14	2, 13	bitrdi 287	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ (𝐸 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  {crab 3400  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4555  {cpr 4583  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  0cc0 11030  1c1 11031  ℕ₀cn0 12405  ...cfz 13427  Edgcedg 29124  StarGrcstgr 48264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-hash 14258  df-struct 17078  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-edgf 29066  df-iedg 29076  df-edg 29125  df-stgr 48265

This theorem is referenced by:  stgredgiun  48271  stgrnbgr0  48277  isubgr3stgrlem6  48284  isubgr3stgrlem7  48285