Theorem stgredgel 48646

Description: An edge of the star graph S_N. (Contributed by AV, 11-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
stgredgel	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ (𝐸 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝐸

Proof of Theorem stgredgel

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stgredg 48645	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Edg‘(StarGr‘𝑁)) = {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}})
2	1	eleq2d 2855	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ 𝐸 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}}))
3		eqeq1 2773	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (𝑒 = {0, 𝑥} ↔ 𝐸 = {0, 𝑥}))
4	3	rexbidv 3195	. . . 4 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥} ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥}))
5	4	elrab 3657	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}} ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥}))
6		prex 5410	. . . . . . 7 ⊢ {0, 𝑥} ∈ V
7		eleq1 2857	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 = {0, 𝑥} → (𝐸 ∈ V ↔ {0, 𝑥} ∈ V))
8	6, 7	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 = {0, 𝑥} → 𝐸 ∈ V)
9		elpwg 4568	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ↔ 𝐸 ⊆ (0...𝑁)))
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐸 = {0, 𝑥} → (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ↔ 𝐸 ⊆ (0...𝑁)))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → (𝐸 = {0, 𝑥} → (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ↔ 𝐸 ⊆ (0...𝑁))))
12	11	rexlimiv 3165	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥} → (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ↔ 𝐸 ⊆ (0...𝑁)))
13	5, 12	bianim 586	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}} ↔ (𝐸 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥}))
14	2, 13	bitrdi 290	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ (𝐸 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  {crab 3422  Vcvv 3461   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4565  {cpr 4594  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11100  1c1 11101  ℕ₀cn0 12504  ...cfz 13535  Edgcedg 29338  StarGrcstgr 48640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-hash 14367  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-edgf 29280  df-iedg 29290  df-edg 29339  df-stgr 48641

This theorem is referenced by:  stgredgiun  48647  stgrnbgr0  48653  isubgr3stgrlem6  48660  isubgr3stgrlem7  48661