Theorem stgredgel 47924

Description: An edge of the star graph S_N. (Contributed by AV, 11-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
stgredgel	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ (𝐸 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝐸

Proof of Theorem stgredgel

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stgredg 47923	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Edg‘(StarGr‘𝑁)) = {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}})
2	1	eleq2d 2827	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ 𝐸 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}}))
3		eqeq1 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (𝑒 = {0, 𝑥} ↔ 𝐸 = {0, 𝑥}))
4	3	rexbidv 3179	. . . 4 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥} ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥}))
5	4	elrab 3692	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}} ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥}))
6		prex 5437	. . . . . . 7 ⊢ {0, 𝑥} ∈ V
7		eleq1 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 = {0, 𝑥} → (𝐸 ∈ V ↔ {0, 𝑥} ∈ V))
8	6, 7	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 = {0, 𝑥} → 𝐸 ∈ V)
9		elpwg 4603	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ↔ 𝐸 ⊆ (0...𝑁)))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐸 = {0, 𝑥} → (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ↔ 𝐸 ⊆ (0...𝑁)))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → (𝐸 = {0, 𝑥} → (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ↔ 𝐸 ⊆ (0...𝑁))))
12	11	rexlimiv 3148	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥} → (𝐸 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ↔ 𝐸 ⊆ (0...𝑁)))
13	5, 12	bianim 576	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}} ↔ (𝐸 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥}))
14	2, 13	bitrdi 287	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ (𝐸 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝐸 = {0, 𝑥})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600  {cpr 4628  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  ℕ₀cn0 12526  ...cfz 13547  Edgcedg 29064  StarGrcstgr 47918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-edgf 29004  df-iedg 29016  df-edg 29065  df-stgr 47919

This theorem is referenced by:  stgredgiun  47925  stgrnbgr0  47931  isubgr3stgrlem6  47938  isubgr3stgrlem7  47939