Theorem stgredgiun 48456

Description: The edges of the star graph S_N as indexed union. (Contributed by AV, 29-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
stgredgiun	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Edg‘(StarGr‘𝑁)) = ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}})

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem stgredgiun

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stgredgel 48455	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑒 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ (𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥})))
2		eliun 4932	. . . . 5 ⊢ (𝑒 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}} ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 ∈ {{0, 𝑥}})
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑒 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}} ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 ∈ {{0, 𝑥}}))
4		velsn 4578	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 ∈ {{0, 𝑥}} ↔ 𝑒 = {0, 𝑥})
5		0elfz 13576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
6	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 0 ∈ (0...𝑁))
7		fz1ssfz0 13575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
8	7	sseli 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ (0...𝑁))
9	8	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑥 ∈ (0...𝑁))
10	6, 9	prssd 4760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → {0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁))
11		sseq1 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {0, 𝑥} → (𝑒 ⊆ (0...𝑁) ↔ {0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁)))
12	10, 11	syl5ibrcom 248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 ⊆ (0...𝑁)))
13	12	pm4.71rd 567	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑒 = {0, 𝑥} ↔ (𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝑒 = {0, 𝑥})))
14	4, 13	bitr2id 285	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ 𝑒 ∈ {{0, 𝑥}}))
15	14	rexbidva 3162	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ (1...𝑁)(𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 ∈ {{0, 𝑥}}))
16		r19.42v 3172	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...𝑁)(𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ (𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}))
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ (1...𝑁)(𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ (𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥})))
18	3, 15, 17	3bitr2rd 309	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ 𝑒 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}}))
19	1, 18	bitrd 280	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑒 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ 𝑒 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}}))
20	19	eqrdv 2738	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Edg‘(StarGr‘𝑁)) = ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3890  {csn 4562  {cpr 4564  ∪ ciun 4928  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037  ℕ₀cn0 12435  ...cfz 13459  Edgcedg 29141  StarGrcstgr 48449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-hash 14291  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-edgf 29083  df-iedg 29093  df-edg 29142  df-stgr 48450

This theorem is referenced by: (None)