Theorem stgredgiun 48347

Description: The edges of the star graph S_N as indexed union. (Contributed by AV, 29-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
stgredgiun	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Edg‘(StarGr‘𝑁)) = ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}})

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem stgredgiun

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stgredgel 48346	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑒 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ (𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥})))
2		eliun 4952	. . . . 5 ⊢ (𝑒 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}} ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 ∈ {{0, 𝑥}})
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑒 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}} ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 ∈ {{0, 𝑥}}))
4		velsn 4598	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 ∈ {{0, 𝑥}} ↔ 𝑒 = {0, 𝑥})
5		0elfz 13554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
6	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 0 ∈ (0...𝑁))
7		fz1ssfz0 13553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
8	7	sseli 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ (0...𝑁))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑥 ∈ (0...𝑁))
10	6, 9	prssd 4780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → {0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁))
11		sseq1 3961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {0, 𝑥} → (𝑒 ⊆ (0...𝑁) ↔ {0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁)))
12	10, 11	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 ⊆ (0...𝑁)))
13	12	pm4.71rd 562	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑒 = {0, 𝑥} ↔ (𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝑒 = {0, 𝑥})))
14	4, 13	bitr2id 284	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ 𝑒 ∈ {{0, 𝑥}}))
15	14	rexbidva 3160	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ (1...𝑁)(𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 ∈ {{0, 𝑥}}))
16		r19.42v 3170	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...𝑁)(𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ (𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}))
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ (1...𝑁)(𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ (𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥})))
18	3, 15, 17	3bitr2rd 308	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ 𝑒 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}}))
19	1, 18	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑒 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ 𝑒 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}}))
20	19	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Edg‘(StarGr‘𝑁)) = ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903  {csn 4582  {cpr 4584  ∪ ciun 4948  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  0cc0 11040  1c1 11041  ℕ₀cn0 12415  ...cfz 13437  Edgcedg 29138  StarGrcstgr 48340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-oadd 8413  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-dju 9827  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-xnn0 12489  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-hash 14268  df-struct 17088  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-edgf 29080  df-iedg 29090  df-edg 29139  df-stgr 48341

This theorem is referenced by: (None)