Theorem stgredgiun 49261

Description: The edges of the star graph S_N as indexed union. (Contributed by AV, 29-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
stgredgiun	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Edg‘(StarGr‘𝑁)) = ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}})

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem stgredgiun

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stgredgel 49260	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑒 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ (𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥})))
2		eliun 4958	. . . . 5 ⊢ (𝑒 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}} ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 ∈ {{0, 𝑥}})
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑒 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}} ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 ∈ {{0, 𝑥}}))
4		velsn 4600	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 ∈ {{0, 𝑥}} ↔ 𝑒 = {0, 𝑥})
5		0elfz 13785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
6	5	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 0 ∈ (0...𝑁))
7		fz1ssfz0 13784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
8	7	sseli 3909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ (0...𝑁))
9	8	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑥 ∈ (0...𝑁))
10	6, 9	prssd 4781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → {0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁))
11		sseq1 3938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {0, 𝑥} → (𝑒 ⊆ (0...𝑁) ↔ {0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁)))
12	10, 11	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 ⊆ (0...𝑁)))
13	12	pm4.71rd 572	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑒 = {0, 𝑥} ↔ (𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝑒 = {0, 𝑥})))
14	4, 13	bitr2id 287	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ 𝑒 ∈ {{0, 𝑥}}))
15	14	rexbidva 3188	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ (1...𝑁)(𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 ∈ {{0, 𝑥}}))
16		r19.42v 3198	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...𝑁)(𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ (𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}))
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ (1...𝑁)(𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ (𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥})))
18	3, 15, 17	3bitr2rd 311	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ 𝑒 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}}))
19	1, 18	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑒 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ 𝑒 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}}))
20	19	eqrdv 2761	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Edg‘(StarGr‘𝑁)) = ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  {csn 4588  {cpr 4590  ∪ ciun 4954  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  0cc0 11227  1c1 11228  ℕ₀cn0 12633  ...cfz 13666  Edgcedg 29655  StarGrcstgr 49254

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-hash 14502  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-edgf 29597  df-iedg 29607  df-edg 29656  df-stgr 49255

This theorem is used by: (None)