Theorem stgredgiun 47970

Description: The edges of the star graph S_N as indexed union. (Contributed by AV, 29-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
stgredgiun	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Edg‘(StarGr‘𝑁)) = ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}})

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem stgredgiun

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stgredgel 47969	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑒 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ (𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥})))
2		eliun 4971	. . . . 5 ⊢ (𝑒 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}} ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 ∈ {{0, 𝑥}})
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑒 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}} ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 ∈ {{0, 𝑥}}))
4		velsn 4617	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 ∈ {{0, 𝑥}} ↔ 𝑒 = {0, 𝑥})
5		0elfz 13641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
6	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 0 ∈ (0...𝑁))
7		fz1ssfz0 13640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
8	7	sseli 3954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ (0...𝑁))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑥 ∈ (0...𝑁))
10	6, 9	prssd 4798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → {0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁))
11		sseq1 3984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {0, 𝑥} → (𝑒 ⊆ (0...𝑁) ↔ {0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁)))
12	10, 11	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 ⊆ (0...𝑁)))
13	12	pm4.71rd 562	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑒 = {0, 𝑥} ↔ (𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝑒 = {0, 𝑥})))
14	4, 13	bitr2id 284	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ 𝑒 ∈ {{0, 𝑥}}))
15	14	rexbidva 3162	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ (1...𝑁)(𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 ∈ {{0, 𝑥}}))
16		r19.42v 3176	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...𝑁)(𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ (𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}))
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ (1...𝑁)(𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ (𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥})))
18	3, 15, 17	3bitr2rd 308	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑒 ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ 𝑒 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}}))
19	1, 18	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑒 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ 𝑒 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}}))
20	19	eqrdv 2733	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Edg‘(StarGr‘𝑁)) = ∪ 𝑥 ∈ (1...𝑁){{0, 𝑥}})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3926  {csn 4601  {cpr 4603  ∪ ciun 4967  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130  ℕ₀cn0 12501  ...cfz 13524  Edgcedg 29026  StarGrcstgr 47963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-hash 14349  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-edgf 28968  df-iedg 28978  df-edg 29027  df-stgr 47964

This theorem is referenced by: (None)