Theorem stgrnbgr0 49105

Description: All vertices of a star graph S_N except the center are in the (open) neighborhood of the center. (Contributed by AV, 12-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
stgrvtx0.g	⊢ 𝐺 = (StarGr‘𝑁)
stgrvtx0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
stgrnbgr0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 NeighbVtx 0) = (𝑉 ∖ {0}))

Proof of Theorem stgrnbgr0

Dummy variables 𝑒 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stgrvtx0.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (StarGr‘𝑁)
2		stgrvtx0.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	1, 2	stgrvtx0 49103	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ 𝑉)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
5	2, 4	dfnbgr2 29918	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 0) = {𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒)})
6	3, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 NeighbVtx 0) = {𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒)})
7		eleq2 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = {0, 𝑥} → (0 ∈ 𝑒 ↔ 0 ∈ {0, 𝑥}))
8		eleq2 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = {0, 𝑥} → (𝑥 ∈ 𝑒 ↔ 𝑥 ∈ {0, 𝑥}))
9	7, 8	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑒 = {0, 𝑥} → ((0 ∈ 𝑒 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒) ↔ (0 ∈ {0, 𝑥} ∧ 𝑥 ∈ {0, 𝑥})))
10		0elfz 13758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 0 ∈ (0...𝑁))
12		fz1ssfz0 13757	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
13	1	fveq2i 6888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘(StarGr‘𝑁))
14	2, 13	eqtri 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘(StarGr‘𝑁))
15		stgrvtx 49095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Vtx‘(StarGr‘𝑁)) = (0...𝑁))
16	14, 15	eqtrid 2807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑉 = (0...𝑁))
17	16	difeq1d 4062	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑉 ∖ {0}) = ((0...𝑁) ∖ {0}))
18		fz0dif1 13740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...𝑁) ∖ {0}) = (1...𝑁))
19	18	eqimssd 3964	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...𝑁) ∖ {0}) ⊆ (1...𝑁))
20	17, 19	eqsstrd 3942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑉 ∖ {0}) ⊆ (1...𝑁))
21	20	sselda 3908	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ (1...𝑁))
22	12, 21	sselid 3906	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ (0...𝑁))
23	11, 22	prssd 4782	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → {0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁))
24		preq2 4694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → {0, 𝑛} = {0, 𝑥})
25	24	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ({0, 𝑥} = {0, 𝑛} ↔ {0, 𝑥} = {0, 𝑥}))
26		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → {0, 𝑥} = {0, 𝑥})
27	25, 21, 26	rspcedvdw 3579	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})
28	1	fveq2i 6888	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘(StarGr‘𝑁))
29	28	eleq2i 2852	. . . . . 6 ⊢ ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {0, 𝑥} ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)))
30		stgredgel 49098	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ ({0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})))
31	30	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ ({0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})))
32	29, 31	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ({0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})))
33	23, 27, 32	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → {0, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺))
34		prid2g 4721	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ {0, 𝑥})
35	34	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ {0, 𝑥})
36		c0ex 11300	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
37	36	prid1 4722	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 𝑥}
38	35, 37	jctil 529	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → (0 ∈ {0, 𝑥} ∧ 𝑥 ∈ {0, 𝑥}))
39	9, 33, 38	rspcedvdw 3579	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒))
40	39	rabeqcda 3423	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒)} = (𝑉 ∖ {0}))
41	6, 40	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 NeighbVtx 0) = (𝑉 ∖ {0}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  {csn 4583  {cpr 4585  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201  ℕ₀cn0 12606  ...cfz 13639  Vtxcvtx 29574  Edgcedg 29625   NeighbVtx cnbgr 29913  StarGrcstgr 49092

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-hash 14475  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-edgf 29567  df-vtx 29576  df-iedg 29577  df-edg 29626  df-nbgr 29914  df-stgr 49093

This theorem is used by:  stgrclnbgr0  49106