Theorem stgrnbgr0 48247

Description: All vertices of a star graph S_N except the center are in the (open) neighborhood of the center. (Contributed by AV, 12-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
stgrvtx0.g	⊢ 𝐺 = (StarGr‘𝑁)
stgrvtx0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
stgrnbgr0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 NeighbVtx 0) = (𝑉 ∖ {0}))

Proof of Theorem stgrnbgr0

Dummy variables 𝑒 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stgrvtx0.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (StarGr‘𝑁)
2		stgrvtx0.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	1, 2	stgrvtx0 48245	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ 𝑉)
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
5	2, 4	dfnbgr2 29391	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 0) = {𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒)})
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 NeighbVtx 0) = {𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒)})
7		eleq2 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = {0, 𝑥} → (0 ∈ 𝑒 ↔ 0 ∈ {0, 𝑥}))
8		eleq2 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = {0, 𝑥} → (𝑥 ∈ 𝑒 ↔ 𝑥 ∈ {0, 𝑥}))
9	7, 8	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝑒 = {0, 𝑥} → ((0 ∈ 𝑒 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒) ↔ (0 ∈ {0, 𝑥} ∧ 𝑥 ∈ {0, 𝑥})))
10		0elfz 13542	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 0 ∈ (0...𝑁))
12		fz1ssfz0 13541	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
13	1	fveq2i 6836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘(StarGr‘𝑁))
14	2, 13	eqtri 2758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘(StarGr‘𝑁))
15		stgrvtx 48237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Vtx‘(StarGr‘𝑁)) = (0...𝑁))
16	14, 15	eqtrid 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑉 = (0...𝑁))
17	16	difeq1d 4076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑉 ∖ {0}) = ((0...𝑁) ∖ {0}))
18		fz0dif1 13524	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...𝑁) ∖ {0}) = (1...𝑁))
19	18	eqimssd 3989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...𝑁) ∖ {0}) ⊆ (1...𝑁))
20	17, 19	eqsstrd 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑉 ∖ {0}) ⊆ (1...𝑁))
21	20	sselda 3932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ (1...𝑁))
22	12, 21	sselid 3930	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ (0...𝑁))
23	11, 22	prssd 4777	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → {0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁))
24		preq2 4690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → {0, 𝑛} = {0, 𝑥})
25	24	eqeq2d 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ({0, 𝑥} = {0, 𝑛} ↔ {0, 𝑥} = {0, 𝑥}))
26		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → {0, 𝑥} = {0, 𝑥})
27	25, 21, 26	rspcedvdw 3578	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})
28	1	fveq2i 6836	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘(StarGr‘𝑁))
29	28	eleq2i 2827	. . . . . 6 ⊢ ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {0, 𝑥} ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)))
30		stgredgel 48240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ ({0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})))
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ ({0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})))
32	29, 31	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ({0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})))
33	23, 27, 32	mpbir2and 714	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → {0, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺))
34		prid2g 4717	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ {0, 𝑥})
35	34	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ {0, 𝑥})
36		c0ex 11128	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
37	36	prid1 4718	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 𝑥}
38	35, 37	jctil 519	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → (0 ∈ {0, 𝑥} ∧ 𝑥 ∈ {0, 𝑥}))
39	9, 33, 38	rspcedvdw 3578	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒))
40	39	rabeqcda 3409	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒)} = (𝑉 ∖ {0}))
41	6, 40	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 NeighbVtx 0) = (𝑉 ∖ {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3059  {crab 3398   ∖ cdif 3897   ⊆ wss 3900  {csn 4579  {cpr 4581  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  0cc0 11028  1c1 11029  ℕ₀cn0 12403  ...cfz 13425  Vtxcvtx 29050  Edgcedg 29101   NeighbVtx cnbgr 29386  StarGrcstgr 48234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-dju 9815  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-xnn0 12477  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-hash 14256  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-edgf 29043  df-vtx 29052  df-iedg 29053  df-edg 29102  df-nbgr 29387  df-stgr 48235

This theorem is referenced by:  stgrclnbgr0  48248