Theorem stgrnbgr0 49267

Description: All vertices of a star graph S_N except the center are in the (open) neighborhood of the center. (Contributed by AV, 12-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
stgrvtx0.g	⊢ 𝐺 = (StarGr‘𝑁)
stgrvtx0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
stgrnbgr0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 NeighbVtx 0) = (𝑉 ∖ {0}))

Proof of Theorem stgrnbgr0

Dummy variables 𝑒 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stgrvtx0.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (StarGr‘𝑁)
2		stgrvtx0.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	1, 2	stgrvtx0 49265	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ 𝑉)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
5	2, 4	dfnbgr2 29948	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 0) = {𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒)})
6	3, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 NeighbVtx 0) = {𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒)})
7		eleq2 2853	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = {0, 𝑥} → (0 ∈ 𝑒 ↔ 0 ∈ {0, 𝑥}))
8		eleq2 2853	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = {0, 𝑥} → (𝑥 ∈ 𝑒 ↔ 𝑥 ∈ {0, 𝑥}))
9	7, 8	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑒 = {0, 𝑥} → ((0 ∈ 𝑒 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒) ↔ (0 ∈ {0, 𝑥} ∧ 𝑥 ∈ {0, 𝑥})))
10		0elfz 13785	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 0 ∈ (0...𝑁))
12		fz1ssfz0 13784	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
13	1	fveq2i 6911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘(StarGr‘𝑁))
14	2, 13	eqtri 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘(StarGr‘𝑁))
15		stgrvtx 49257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Vtx‘(StarGr‘𝑁)) = (0...𝑁))
16	14, 15	eqtrid 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑉 = (0...𝑁))
17	16	difeq1d 4065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑉 ∖ {0}) = ((0...𝑁) ∖ {0}))
18		fz0dif1 13767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...𝑁) ∖ {0}) = (1...𝑁))
19	18	eqimssd 3969	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...𝑁) ∖ {0}) ⊆ (1...𝑁))
20	17, 19	eqsstrd 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑉 ∖ {0}) ⊆ (1...𝑁))
21	20	sselda 3913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ (1...𝑁))
22	12, 21	sselid 3911	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ (0...𝑁))
23	11, 22	prssd 4781	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → {0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁))
24		preq2 4695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → {0, 𝑛} = {0, 𝑥})
25	24	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ({0, 𝑥} = {0, 𝑛} ↔ {0, 𝑥} = {0, 𝑥}))
26		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → {0, 𝑥} = {0, 𝑥})
27	25, 21, 26	rspcedvdw 3583	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})
28	1	fveq2i 6911	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘(StarGr‘𝑁))
29	28	eleq2i 2856	. . . . . 6 ⊢ ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {0, 𝑥} ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)))
30		stgredgel 49260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ ({0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})))
31	30	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ ({0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})))
32	29, 31	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ({0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})))
33	23, 27, 32	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → {0, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺))
34		prid2g 4722	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ {0, 𝑥})
35	34	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ {0, 𝑥})
36		c0ex 11327	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
37	36	prid1 4723	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 𝑥}
38	35, 37	jctil 529	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → (0 ∈ {0, 𝑥} ∧ 𝑥 ∈ {0, 𝑥}))
39	9, 33, 38	rspcedvdw 3583	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒))
40	39	rabeqcda 3427	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒)} = (𝑉 ∖ {0}))
41	6, 40	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 NeighbVtx 0) = (𝑉 ∖ {0}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  {crab 3416   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588  {cpr 4590  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  0cc0 11227  1c1 11228  ℕ₀cn0 12633  ...cfz 13666  Vtxcvtx 29604  Edgcedg 29655   NeighbVtx cnbgr 29943  StarGrcstgr 49254

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-hash 14502  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-edgf 29597  df-vtx 29606  df-iedg 29607  df-edg 29656  df-nbgr 29944  df-stgr 49255

This theorem is used by:  stgrclnbgr0  49268