Theorem stgrnbgr0 48458

Description: All vertices of a star graph S_N except the center are in the (open) neighborhood of the center. (Contributed by AV, 12-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
stgrvtx0.g	⊢ 𝐺 = (StarGr‘𝑁)
stgrvtx0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
stgrnbgr0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 NeighbVtx 0) = (𝑉 ∖ {0}))

Proof of Theorem stgrnbgr0

Dummy variables 𝑒 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stgrvtx0.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (StarGr‘𝑁)
2		stgrvtx0.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	1, 2	stgrvtx0 48456	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ 𝑉)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
5	2, 4	dfnbgr2 29424	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 0) = {𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒)})
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 NeighbVtx 0) = {𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒)})
7		eleq2 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = {0, 𝑥} → (0 ∈ 𝑒 ↔ 0 ∈ {0, 𝑥}))
8		eleq2 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = {0, 𝑥} → (𝑥 ∈ 𝑒 ↔ 𝑥 ∈ {0, 𝑥}))
9	7, 8	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝑒 = {0, 𝑥} → ((0 ∈ 𝑒 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒) ↔ (0 ∈ {0, 𝑥} ∧ 𝑥 ∈ {0, 𝑥})))
10		0elfz 13573	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 0 ∈ (0...𝑁))
12		fz1ssfz0 13572	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
13	1	fveq2i 6839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘(StarGr‘𝑁))
14	2, 13	eqtri 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘(StarGr‘𝑁))
15		stgrvtx 48448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Vtx‘(StarGr‘𝑁)) = (0...𝑁))
16	14, 15	eqtrid 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑉 = (0...𝑁))
17	16	difeq1d 4066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑉 ∖ {0}) = ((0...𝑁) ∖ {0}))
18		fz0dif1 13555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...𝑁) ∖ {0}) = (1...𝑁))
19	18	eqimssd 3979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...𝑁) ∖ {0}) ⊆ (1...𝑁))
20	17, 19	eqsstrd 3957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑉 ∖ {0}) ⊆ (1...𝑁))
21	20	sselda 3922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ (1...𝑁))
22	12, 21	sselid 3920	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ (0...𝑁))
23	11, 22	prssd 4766	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → {0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁))
24		preq2 4679	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → {0, 𝑛} = {0, 𝑥})
25	24	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ({0, 𝑥} = {0, 𝑛} ↔ {0, 𝑥} = {0, 𝑥}))
26		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → {0, 𝑥} = {0, 𝑥})
27	25, 21, 26	rspcedvdw 3568	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})
28	1	fveq2i 6839	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘(StarGr‘𝑁))
29	28	eleq2i 2829	. . . . . 6 ⊢ ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {0, 𝑥} ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)))
30		stgredgel 48451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ ({0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})))
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ ({0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})))
32	29, 31	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ({0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})))
33	23, 27, 32	mpbir2and 714	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → {0, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺))
34		prid2g 4706	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ {0, 𝑥})
35	34	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ {0, 𝑥})
36		c0ex 11133	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
37	36	prid1 4707	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 𝑥}
38	35, 37	jctil 519	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → (0 ∈ {0, 𝑥} ∧ 𝑥 ∈ {0, 𝑥}))
39	9, 33, 38	rspcedvdw 3568	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒))
40	39	rabeqcda 3401	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒)} = (𝑉 ∖ {0}))
41	6, 40	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 NeighbVtx 0) = (𝑉 ∖ {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {crab 3390   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4568  {cpr 4570  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  0cc0 11033  1c1 11034  ℕ₀cn0 12432  ...cfz 13456  Vtxcvtx 29083  Edgcedg 29134   NeighbVtx cnbgr 29419  StarGrcstgr 48445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-oadd 8404  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-hash 14288  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-edgf 29076  df-vtx 29085  df-iedg 29086  df-edg 29135  df-nbgr 29420  df-stgr 48446

This theorem is referenced by:  stgrclnbgr0  48459