Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stgrnbgr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stgrnbgr0 47866
Description: All vertices of a star graph SN except the center are in the (open) neighborhood of the center. (Contributed by AV, 12-Sep-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
stgrvtx0.g 𝐺 = (StarGr‘𝑁)
stgrvtx0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
stgrnbgr0 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 NeighbVtx 0) = (𝑉 ∖ {0}))

Proof of Theorem stgrnbgr0
Dummy variables 𝑒 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stgrvtx0.g . . . 4 𝐺 = (StarGr‘𝑁)
2 stgrvtx0.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
31, 2stgrvtx0 47864 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ 𝑉)
4 eqid 2734 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
52, 4dfnbgr2 29368 . . 3 (0 ∈ 𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 0) = {𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒𝑥𝑒)})
63, 5syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 NeighbVtx 0) = {𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒𝑥𝑒)})
7 eleq2 2827 . . . . 5 (𝑒 = {0, 𝑥} → (0 ∈ 𝑒 ↔ 0 ∈ {0, 𝑥}))
8 eleq2 2827 . . . . 5 (𝑒 = {0, 𝑥} → (𝑥𝑒𝑥 ∈ {0, 𝑥}))
97, 8anbi12d 632 . . . 4 (𝑒 = {0, 𝑥} → ((0 ∈ 𝑒𝑥𝑒) ↔ (0 ∈ {0, 𝑥} ∧ 𝑥 ∈ {0, 𝑥})))
10 0elfz 13660 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 0 ∈ (0...𝑁))
12 fz1ssfz0 13659 . . . . . . 7 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
131fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . 12 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘(StarGr‘𝑁))
142, 13eqtri 2762 . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Vtx‘(StarGr‘𝑁))
15 stgrvtx 47856 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (Vtx‘(StarGr‘𝑁)) = (0...𝑁))
1614, 15eqtrid 2786 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑉 = (0...𝑁))
1716difeq1d 4134 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑉 ∖ {0}) = ((0...𝑁) ∖ {0}))
18 fz0dif1 13642 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...𝑁) ∖ {0}) = (1...𝑁))
1918eqimssd 4051 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...𝑁) ∖ {0}) ⊆ (1...𝑁))
2017, 19eqsstrd 4033 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑉 ∖ {0}) ⊆ (1...𝑁))
2120sselda 3994 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ (1...𝑁))
2212, 21sselid 3992 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ (0...𝑁))
2311, 22prssd 4826 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → {0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁))
24 preq2 4738 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑥 → {0, 𝑛} = {0, 𝑥})
2524eqeq2d 2745 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑥 → ({0, 𝑥} = {0, 𝑛} ↔ {0, 𝑥} = {0, 𝑥}))
26 eqidd 2735 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → {0, 𝑥} = {0, 𝑥})
2725, 21, 26rspcedvdw 3624 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})
281fveq2i 6909 . . . . . . 7 (Edg‘𝐺) = (Edg‘(StarGr‘𝑁))
2928eleq2i 2830 . . . . . 6 ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {0, 𝑥} ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)))
30 stgredgel 47859 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ ({0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})))
3130adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ ({0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})))
3229, 31bitrid 283 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ({0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})))
3323, 27, 32mpbir2and 713 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → {0, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺))
34 prid2g 4765 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ {0, 𝑥})
3534adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ {0, 𝑥})
36 c0ex 11252 . . . . . 6 0 ∈ V
3736prid1 4766 . . . . 5 0 ∈ {0, 𝑥}
3835, 37jctil 519 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → (0 ∈ {0, 𝑥} ∧ 𝑥 ∈ {0, 𝑥}))
399, 33, 38rspcedvdw 3624 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒𝑥𝑒))
4039rabeqcda 3444 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒𝑥𝑒)} = (𝑉 ∖ {0}))
416, 40eqtrd 2774 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 NeighbVtx 0) = (𝑉 ∖ {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  {crab 3432  cdif 3959  wss 3962  {csn 4630  {cpr 4632  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153  0cn0 12523  ...cfz 13543  Vtxcvtx 29027  Edgcedg 29078   NeighbVtx cnbgr 29363  StarGrcstgr 47853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-hash 14366  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-edgf 29018  df-vtx 29029  df-iedg 29030  df-edg 29079  df-nbgr 29364  df-stgr 47854
This theorem is referenced by:  stgrclnbgr0  47867
  Copyright terms: Public domain W3C validator