Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stgrnbgr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stgrnbgr0 47931
Description: All vertices of a star graph SN except the center are in the (open) neighborhood of the center. (Contributed by AV, 12-Sep-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
stgrvtx0.g 𝐺 = (StarGr‘𝑁)
stgrvtx0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
stgrnbgr0 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 NeighbVtx 0) = (𝑉 ∖ {0}))

Proof of Theorem stgrnbgr0
Dummy variables 𝑒 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stgrvtx0.g . . . 4 𝐺 = (StarGr‘𝑁)
2 stgrvtx0.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
31, 2stgrvtx0 47929 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ 𝑉)
4 eqid 2737 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
52, 4dfnbgr2 29354 . . 3 (0 ∈ 𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 0) = {𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒𝑥𝑒)})
63, 5syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 NeighbVtx 0) = {𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒𝑥𝑒)})
7 eleq2 2830 . . . . 5 (𝑒 = {0, 𝑥} → (0 ∈ 𝑒 ↔ 0 ∈ {0, 𝑥}))
8 eleq2 2830 . . . . 5 (𝑒 = {0, 𝑥} → (𝑥𝑒𝑥 ∈ {0, 𝑥}))
97, 8anbi12d 632 . . . 4 (𝑒 = {0, 𝑥} → ((0 ∈ 𝑒𝑥𝑒) ↔ (0 ∈ {0, 𝑥} ∧ 𝑥 ∈ {0, 𝑥})))
10 0elfz 13664 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 0 ∈ (0...𝑁))
12 fz1ssfz0 13663 . . . . . . 7 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
131fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . 12 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘(StarGr‘𝑁))
142, 13eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Vtx‘(StarGr‘𝑁))
15 stgrvtx 47921 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (Vtx‘(StarGr‘𝑁)) = (0...𝑁))
1614, 15eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑉 = (0...𝑁))
1716difeq1d 4125 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑉 ∖ {0}) = ((0...𝑁) ∖ {0}))
18 fz0dif1 13646 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...𝑁) ∖ {0}) = (1...𝑁))
1918eqimssd 4040 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...𝑁) ∖ {0}) ⊆ (1...𝑁))
2017, 19eqsstrd 4018 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑉 ∖ {0}) ⊆ (1...𝑁))
2120sselda 3983 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ (1...𝑁))
2212, 21sselid 3981 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ (0...𝑁))
2311, 22prssd 4822 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → {0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁))
24 preq2 4734 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑥 → {0, 𝑛} = {0, 𝑥})
2524eqeq2d 2748 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑥 → ({0, 𝑥} = {0, 𝑛} ↔ {0, 𝑥} = {0, 𝑥}))
26 eqidd 2738 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → {0, 𝑥} = {0, 𝑥})
2725, 21, 26rspcedvdw 3625 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})
281fveq2i 6909 . . . . . . 7 (Edg‘𝐺) = (Edg‘(StarGr‘𝑁))
2928eleq2i 2833 . . . . . 6 ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {0, 𝑥} ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)))
30 stgredgel 47924 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ ({0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})))
3130adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) ↔ ({0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})))
3229, 31bitrid 283 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ({0, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ({0, 𝑥} ⊆ (0...𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (1...𝑁){0, 𝑥} = {0, 𝑛})))
3323, 27, 32mpbir2and 713 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → {0, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺))
34 prid2g 4761 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ {0, 𝑥})
3534adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ {0, 𝑥})
36 c0ex 11255 . . . . . 6 0 ∈ V
3736prid1 4762 . . . . 5 0 ∈ {0, 𝑥}
3835, 37jctil 519 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → (0 ∈ {0, 𝑥} ∧ 𝑥 ∈ {0, 𝑥}))
399, 33, 38rspcedvdw 3625 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0})) → ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒𝑥𝑒))
4039rabeqcda 3448 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {0}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)(0 ∈ 𝑒𝑥𝑒)} = (𝑉 ∖ {0}))
416, 40eqtrd 2777 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 NeighbVtx 0) = (𝑉 ∖ {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  {crab 3436  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626  {cpr 4628  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  0cn0 12526  ...cfz 13547  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064   NeighbVtx cnbgr 29349  StarGrcstgr 47918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-edgf 29004  df-vtx 29015  df-iedg 29016  df-edg 29065  df-nbgr 29350  df-stgr 47919
This theorem is referenced by:  stgrclnbgr0  47932
  Copyright terms: Public domain W3C validator