MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolysum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolysum 15994
Description: A sum for Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolysum ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = (𝑋𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋

Proof of Theorem bpolysum
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0uz 12861 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
31, 2eleqtrdi 2835 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
4 elfzelz 13498 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
5 bccl 14279 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
61, 4, 5syl2an 595 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 12531 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
8 elfznn0 13591 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
10 bpolycl 15993 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
118, 9, 10syl2anr 596 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
12 fznn0sub 13530 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
1312adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
14 nn0p1nn 12508 . . . . . . 7 ((𝑁𝑘) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑘) + 1) ∈ ℕ)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) + 1) ∈ ℕ)
1615nncnd 12225 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) + 1) ∈ ℂ)
1715nnne0d 12259 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) + 1) ≠ 0)
1811, 16, 17divcld 11987 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
197, 18mulcld 11231 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
20 oveq2 7409 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C𝑁))
21 oveq1 7408 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
22 oveq2 7409 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝑁𝑘) = (𝑁𝑁))
2322oveq1d 7416 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁𝑘) + 1) = ((𝑁𝑁) + 1))
2421, 23oveq12d 7419 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1)))
2520, 24oveq12d 7419 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1))))
263, 19, 25fsumm1 15694 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) + ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1)))))
27 bcnn 14269 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C𝑁) = 1)
2827adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁C𝑁) = 1)
29 nn0cn 12479 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
3130subidd 11556 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁𝑁) = 0)
3231oveq1d 7416 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑁) + 1) = (0 + 1))
33 0p1e1 12331 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3432, 33eqtrdi 2780 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑁) + 1) = 1)
3534oveq2d 7417 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1)) = ((𝑁 BernPoly 𝑋) / 1))
36 bpolycl 15993 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
3736div1d 11979 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / 1) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
3835, 37eqtrd 2764 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1)) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
3928, 38oveq12d 7419 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1))) = (1 · (𝑁 BernPoly 𝑋)))
4036mullidd 11229 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (1 · (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
4139, 40eqtrd 2764 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1))) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
4241oveq2d 7417 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) + ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)))
43 bpolyval 15990 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
4443eqcomd 2730 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
45 expcl 14042 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑁) ∈ ℂ)
4645ancoms 458 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋𝑁) ∈ ℂ)
47 fzfid 13935 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
48 fzssp1 13541 . . . . . . . 8 (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
49 ax-1cn 11164 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
50 npcan 11466 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5130, 49, 50sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5251oveq2d 7417 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
5348, 52sseqtrid 4026 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
5453sselda 3974 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
5554, 19syldan 590 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
5647, 55fsumcl 15676 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
5746, 56, 36subaddd 11586 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = (𝑁 BernPoly 𝑋) ↔ (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑋𝑁)))
5844, 57mpbid 231 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑋𝑁))
5926, 42, 583eqtrd 2768 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = (𝑋𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6533  (class class class)co 7401  cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  cmin 11441   / cdiv 11868  cn 12209  0cn0 12469  cz 12555  cuz 12819  ...cfz 13481  cexp 14024  Ccbc 14259  Σcsu 15629   BernPoly cbp 15987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-bpoly 15988
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator