MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolysum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolysum 16003
Description: A sum for Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolysum ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (๐‘‹โ†‘๐‘))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘   ๐‘˜,๐‘‹

Proof of Theorem bpolysum
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2 nn0uz 12868 . . . 4 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
31, 2eleqtrdi 2837 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
4 elfzelz 13507 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
5 bccl 14287 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
61, 4, 5syl2an 595 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
76nn0cnd 12538 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
8 elfznn0 13600 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
9 simpr 484 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
10 bpolycl 16002 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
118, 9, 10syl2anr 596 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
12 fznn0sub 13539 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
1312adantl 481 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
14 nn0p1nn 12515 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„•)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„•)
1615nncnd 12232 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„‚)
1715nnne0d 12266 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1) โ‰  0)
1811, 16, 17divcld 11994 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)) โˆˆ โ„‚)
197, 18mulcld 11238 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚)
20 oveq2 7413 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐‘C๐‘˜) = (๐‘C๐‘))
21 oveq1 7412 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) = (๐‘ BernPoly ๐‘‹))
22 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ ๐‘))
2322oveq1d 7420 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘) + 1))
2421, 23oveq12d 7423 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)) = ((๐‘ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘) + 1)))
2520, 24oveq12d 7423 . . 3 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ((๐‘C๐‘) ยท ((๐‘ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘) + 1))))
263, 19, 25fsumm1 15703 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) + ((๐‘C๐‘) ยท ((๐‘ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘) + 1)))))
27 bcnn 14277 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘C๐‘) = 1)
2827adantr 480 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘C๐‘) = 1)
29 nn0cn 12486 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3029adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3130subidd 11563 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘) = 0)
3231oveq1d 7420 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘) + 1) = (0 + 1))
33 0p1e1 12338 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3432, 33eqtrdi 2782 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘) + 1) = 1)
3534oveq2d 7421 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘) + 1)) = ((๐‘ BernPoly ๐‘‹) / 1))
36 bpolycl 16002 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
3736div1d 11986 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ BernPoly ๐‘‹) / 1) = (๐‘ BernPoly ๐‘‹))
3835, 37eqtrd 2766 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘) + 1)) = (๐‘ BernPoly ๐‘‹))
3928, 38oveq12d 7423 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘C๐‘) ยท ((๐‘ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘) + 1))) = (1 ยท (๐‘ BernPoly ๐‘‹)))
4036mullidd 11236 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท (๐‘ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘ BernPoly ๐‘‹))
4139, 40eqtrd 2766 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘C๐‘) ยท ((๐‘ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘) + 1))) = (๐‘ BernPoly ๐‘‹))
4241oveq2d 7421 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) + ((๐‘C๐‘) ยท ((๐‘ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘) + 1)))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) + (๐‘ BernPoly ๐‘‹)))
43 bpolyval 15999 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
4443eqcomd 2732 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = (๐‘ BernPoly ๐‘‹))
45 expcl 14050 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
4645ancoms 458 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‹โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
47 fzfid 13944 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
48 fzssp1 13550 . . . . . . . 8 (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โІ (0...((๐‘ โˆ’ 1) + 1))
49 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
50 npcan 11473 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
5130, 49, 50sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
5251oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0...((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = (0...๐‘))
5348, 52sseqtrid 4029 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โІ (0...๐‘))
5453sselda 3977 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘))
5554, 19syldan 590 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚)
5647, 55fsumcl 15685 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚)
5746, 56, 36subaddd 11593 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = (๐‘ BernPoly ๐‘‹) โ†” (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) + (๐‘ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘‹โ†‘๐‘)))
5844, 57mpbid 231 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) + (๐‘ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘‹โ†‘๐‘))
5926, 42, 583eqtrd 2770 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (๐‘‹โ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13490  โ†‘cexp 14032  Ccbc 14267  ฮฃcsu 15638   BernPoly cbp 15996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-bpoly 15997
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator