MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolysum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolysum 14990
Description: A sum for Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolysum ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = (𝑋𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋

Proof of Theorem bpolysum
StepHypRef Expression
1 simpl 468 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0uz 11924 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
31, 2syl6eleq 2860 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
4 elfzelz 12549 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
5 bccl 13313 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
61, 4, 5syl2an 583 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 11555 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
8 elfznn0 12640 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9 simpr 471 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
10 bpolycl 14989 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
118, 9, 10syl2anr 584 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
12 fznn0sub 12580 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
1312adantl 467 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
14 nn0p1nn 11534 . . . . . . 7 ((𝑁𝑘) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑘) + 1) ∈ ℕ)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) + 1) ∈ ℕ)
1615nncnd 11238 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) + 1) ∈ ℂ)
1715nnne0d 11267 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) + 1) ≠ 0)
1811, 16, 17divcld 11003 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
197, 18mulcld 10262 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
20 oveq2 6801 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C𝑁))
21 oveq1 6800 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
22 oveq2 6801 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝑁𝑘) = (𝑁𝑁))
2322oveq1d 6808 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁𝑘) + 1) = ((𝑁𝑁) + 1))
2421, 23oveq12d 6811 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1)))
2520, 24oveq12d 6811 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1))))
263, 19, 25fsumm1 14688 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) + ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1)))))
27 bcnn 13303 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C𝑁) = 1)
2827adantr 466 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁C𝑁) = 1)
29 nn0cn 11504 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
3029adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
3130subidd 10582 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁𝑁) = 0)
3231oveq1d 6808 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑁) + 1) = (0 + 1))
33 0p1e1 11334 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3432, 33syl6eq 2821 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑁) + 1) = 1)
3534oveq2d 6809 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1)) = ((𝑁 BernPoly 𝑋) / 1))
36 bpolycl 14989 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
3736div1d 10995 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / 1) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
3835, 37eqtrd 2805 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1)) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
3928, 38oveq12d 6811 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1))) = (1 · (𝑁 BernPoly 𝑋)))
4036mulid2d 10260 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (1 · (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
4139, 40eqtrd 2805 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1))) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
4241oveq2d 6809 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) + ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)))
43 bpolyval 14986 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
4443eqcomd 2777 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
45 expcl 13085 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑁) ∈ ℂ)
4645ancoms 455 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋𝑁) ∈ ℂ)
47 fzfid 12980 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
48 fzssp1 12591 . . . . . . . 8 (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
49 ax-1cn 10196 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
50 npcan 10492 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5130, 49, 50sylancl 574 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5251oveq2d 6809 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
5348, 52syl5sseq 3802 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
5453sselda 3752 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
5554, 19syldan 579 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
5647, 55fsumcl 14672 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
5746, 56, 36subaddd 10612 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = (𝑁 BernPoly 𝑋) ↔ (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑋𝑁)))
5844, 57mpbid 222 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑋𝑁))
5926, 42, 583eqtrd 2809 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = (𝑋𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  cmin 10468   / cdiv 10886  cn 11222  0cn0 11494  cz 11579  cuz 11888  ...cfz 12533  cexp 13067  Ccbc 13293  Σcsu 14624   BernPoly cbp 14983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-bpoly 14984
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator