Theorem bpolysum 16069

Description: A sum for Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpolysum	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) = (𝑋↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋

Proof of Theorem bpolysum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0uz 12894	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtrdi 2844	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
4		elfzelz 13541	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
5		bccl 14340	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
6	1, 4, 5	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 12564	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
8		elfznn0 13637	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
10		bpolycl 16068	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
12		fznn0sub 13573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
14		nn0p1nn 12540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
16	15	nncnd 12256	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
17	15	nnne0d 12290	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) + 1) ≠ 0)
18	11, 16, 17	divcld 12017	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
19	7, 18	mulcld 11255	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
20		oveq2 7413	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C𝑁))
21		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
22		oveq2 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − 𝑁))
23	22	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁 − 𝑘) + 1) = ((𝑁 − 𝑁) + 1))
24	21, 23	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)) = ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1)))
25	20, 24	oveq12d 7423	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) = ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1))))
26	3, 19, 25	fsumm1 15767	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) + ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1)))))
27		bcnn 14330	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C𝑁) = 1)
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁C𝑁) = 1)
29		nn0cn 12511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
31	30	subidd 11582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝑁) = 0)
32	31	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑁) + 1) = (0 + 1))
33		0p1e1 12362	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
34	32, 33	eqtrdi 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑁) + 1) = 1)
35	34	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1)) = ((𝑁 BernPoly 𝑋) / 1))
36		bpolycl 16068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
37	36	div1d 12009	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / 1) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
38	35, 37	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1)) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
39	28, 38	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1))) = (1 · (𝑁 BernPoly 𝑋)))
40	36	mullidd 11253	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (1 · (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
41	39, 40	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1))) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
42	41	oveq2d 7421	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) + ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)))
43		bpolyval 16065	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
44	43	eqcomd 2741	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
45		expcl 14097	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑁) ∈ ℂ)
46	45	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋↑𝑁) ∈ ℂ)
47		fzfid 13991	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
48		fzssp1 13584	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
49		ax-1cn 11187	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
50		npcan 11491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
51	30, 49, 50	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
52	51	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
53	48, 52	sseqtrid 4001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
54	53	sselda 3958	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
55	54, 19	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
56	47, 55	fsumcl 15749	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
57	46, 56, 36	subaddd 11612	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))) = (𝑁 BernPoly 𝑋) ↔ (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑋↑𝑁)))
58	44, 57	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑋↑𝑁))
59	26, 42, 58	3eqtrd 2774	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) = (𝑋↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   − cmin 11466   / cdiv 11894  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ...cfz 13524  ↑cexp 14079  Ccbc 14320  Σcsu 15702   BernPoly cbp 16062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-bc 14321  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-sum 15703  df-bpoly 16063

This theorem is referenced by: (None)