Theorem bpolysum 16018

Description: A sum for Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpolysum	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) = (𝑋↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋

Proof of Theorem bpolysum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0uz 12826	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtrdi 2847	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
4		elfzelz 13478	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
5		bccl 14284	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
6	1, 4, 5	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 12500	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
8		elfznn0 13574	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
10		bpolycl 16017	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	syl2anr 598	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
12		fznn0sub 13510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
14		nn0p1nn 12476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
16	15	nncnd 12190	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
17	15	nnne0d 12227	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) + 1) ≠ 0)
18	11, 16, 17	divcld 11931	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
19	7, 18	mulcld 11165	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
20		oveq2 7375	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C𝑁))
21		oveq1 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
22		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − 𝑁))
23	22	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁 − 𝑘) + 1) = ((𝑁 − 𝑁) + 1))
24	21, 23	oveq12d 7385	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)) = ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1)))
25	20, 24	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) = ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1))))
26	3, 19, 25	fsumm1 15713	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) + ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1)))))
27		bcnn 14274	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C𝑁) = 1)
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁C𝑁) = 1)
29		nn0cn 12447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
31	30	subidd 11493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝑁) = 0)
32	31	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑁) + 1) = (0 + 1))
33		0p1e1 12298	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
34	32, 33	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑁) + 1) = 1)
35	34	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1)) = ((𝑁 BernPoly 𝑋) / 1))
36		bpolycl 16017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
37	36	div1d 11923	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / 1) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
38	35, 37	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1)) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
39	28, 38	oveq12d 7385	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1))) = (1 · (𝑁 BernPoly 𝑋)))
40	36	mullidd 11163	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (1 · (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
41	39, 40	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1))) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
42	41	oveq2d 7383	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) + ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)))
43		bpolyval 16014	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
44	43	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
45		expcl 14041	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑁) ∈ ℂ)
46	45	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋↑𝑁) ∈ ℂ)
47		fzfid 13935	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
48		fzssp1 13521	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
49		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
50		npcan 11402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
51	30, 49, 50	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
52	51	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
53	48, 52	sseqtrid 3965	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
54	53	sselda 3922	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
55	54, 19	syldan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
56	47, 55	fsumcl 15695	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
57	46, 56, 36	subaddd 11523	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))) = (𝑁 BernPoly 𝑋) ↔ (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑋↑𝑁)))
58	44, 57	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑋↑𝑁))
59	26, 42, 58	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) = (𝑋↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ...cfz 13461  ↑cexp 14023  Ccbc 14264  Σcsu 15648   BernPoly cbp 16011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-bpoly 16012

This theorem is referenced by: (None)