MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolysum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolysum 16085
Description: A sum for Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolysum ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = (𝑋𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋

Proof of Theorem bpolysum
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0uz 12917 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
31, 2eleqtrdi 2848 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
4 elfzelz 13560 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
5 bccl 14357 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
61, 4, 5syl2an 596 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 12586 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
8 elfznn0 13656 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
10 bpolycl 16084 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
118, 9, 10syl2anr 597 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
12 fznn0sub 13592 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
1312adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
14 nn0p1nn 12562 . . . . . . 7 ((𝑁𝑘) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑘) + 1) ∈ ℕ)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) + 1) ∈ ℕ)
1615nncnd 12279 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) + 1) ∈ ℂ)
1715nnne0d 12313 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) + 1) ≠ 0)
1811, 16, 17divcld 12040 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
197, 18mulcld 11278 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
20 oveq2 7438 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C𝑁))
21 oveq1 7437 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
22 oveq2 7438 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝑁𝑘) = (𝑁𝑁))
2322oveq1d 7445 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁𝑘) + 1) = ((𝑁𝑁) + 1))
2421, 23oveq12d 7448 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1)))
2520, 24oveq12d 7448 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1))))
263, 19, 25fsumm1 15783 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) + ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1)))))
27 bcnn 14347 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C𝑁) = 1)
2827adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁C𝑁) = 1)
29 nn0cn 12533 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
3130subidd 11605 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁𝑁) = 0)
3231oveq1d 7445 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑁) + 1) = (0 + 1))
33 0p1e1 12385 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3432, 33eqtrdi 2790 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑁) + 1) = 1)
3534oveq2d 7446 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1)) = ((𝑁 BernPoly 𝑋) / 1))
36 bpolycl 16084 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
3736div1d 12032 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / 1) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
3835, 37eqtrd 2774 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1)) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
3928, 38oveq12d 7448 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1))) = (1 · (𝑁 BernPoly 𝑋)))
4036mullidd 11276 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (1 · (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
4139, 40eqtrd 2774 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1))) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
4241oveq2d 7446 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) + ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)))
43 bpolyval 16081 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
4443eqcomd 2740 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
45 expcl 14116 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑁) ∈ ℂ)
4645ancoms 458 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋𝑁) ∈ ℂ)
47 fzfid 14010 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
48 fzssp1 13603 . . . . . . . 8 (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
49 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
50 npcan 11514 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5130, 49, 50sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5251oveq2d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
5348, 52sseqtrid 4047 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
5453sselda 3994 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
5554, 19syldan 591 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
5647, 55fsumcl 15765 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
5746, 56, 36subaddd 11635 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = (𝑁 BernPoly 𝑋) ↔ (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑋𝑁)))
5844, 57mpbid 232 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑋𝑁))
5926, 42, 583eqtrd 2778 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = (𝑋𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  ...cfz 13543  cexp 14098  Ccbc 14337  Σcsu 15718   BernPoly cbp 16078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-bpoly 16079
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator