MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolysum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolysum 15941
Description: A sum for Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolysum ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (๐‘‹โ†‘๐‘))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘   ๐‘˜,๐‘‹

Proof of Theorem bpolysum
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2 nn0uz 12810 . . . 4 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
31, 2eleqtrdi 2844 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
4 elfzelz 13447 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
5 bccl 14228 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
61, 4, 5syl2an 597 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
76nn0cnd 12480 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
8 elfznn0 13540 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
9 simpr 486 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
10 bpolycl 15940 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
118, 9, 10syl2anr 598 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
12 fznn0sub 13479 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
1312adantl 483 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
14 nn0p1nn 12457 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„•)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„•)
1615nncnd 12174 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„‚)
1715nnne0d 12208 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1) โ‰  0)
1811, 16, 17divcld 11936 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)) โˆˆ โ„‚)
197, 18mulcld 11180 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚)
20 oveq2 7366 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐‘C๐‘˜) = (๐‘C๐‘))
21 oveq1 7365 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) = (๐‘ BernPoly ๐‘‹))
22 oveq2 7366 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ ๐‘))
2322oveq1d 7373 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘) + 1))
2421, 23oveq12d 7376 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)) = ((๐‘ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘) + 1)))
2520, 24oveq12d 7376 . . 3 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ((๐‘C๐‘) ยท ((๐‘ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘) + 1))))
263, 19, 25fsumm1 15641 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) + ((๐‘C๐‘) ยท ((๐‘ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘) + 1)))))
27 bcnn 14218 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘C๐‘) = 1)
2827adantr 482 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘C๐‘) = 1)
29 nn0cn 12428 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3029adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3130subidd 11505 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘) = 0)
3231oveq1d 7373 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘) + 1) = (0 + 1))
33 0p1e1 12280 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3432, 33eqtrdi 2789 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘) + 1) = 1)
3534oveq2d 7374 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘) + 1)) = ((๐‘ BernPoly ๐‘‹) / 1))
36 bpolycl 15940 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
3736div1d 11928 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ BernPoly ๐‘‹) / 1) = (๐‘ BernPoly ๐‘‹))
3835, 37eqtrd 2773 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘) + 1)) = (๐‘ BernPoly ๐‘‹))
3928, 38oveq12d 7376 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘C๐‘) ยท ((๐‘ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘) + 1))) = (1 ยท (๐‘ BernPoly ๐‘‹)))
4036mulid2d 11178 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท (๐‘ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘ BernPoly ๐‘‹))
4139, 40eqtrd 2773 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘C๐‘) ยท ((๐‘ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘) + 1))) = (๐‘ BernPoly ๐‘‹))
4241oveq2d 7374 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) + ((๐‘C๐‘) ยท ((๐‘ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘) + 1)))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) + (๐‘ BernPoly ๐‘‹)))
43 bpolyval 15937 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
4443eqcomd 2739 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = (๐‘ BernPoly ๐‘‹))
45 expcl 13991 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
4645ancoms 460 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‹โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
47 fzfid 13884 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
48 fzssp1 13490 . . . . . . . 8 (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โŠ† (0...((๐‘ โˆ’ 1) + 1))
49 ax-1cn 11114 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
50 npcan 11415 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
5130, 49, 50sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
5251oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0...((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = (0...๐‘))
5348, 52sseqtrid 3997 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โŠ† (0...๐‘))
5453sselda 3945 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘))
5554, 19syldan 592 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚)
5647, 55fsumcl 15623 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚)
5746, 56, 36subaddd 11535 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = (๐‘ BernPoly ๐‘‹) โ†” (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) + (๐‘ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘‹โ†‘๐‘)))
5844, 57mpbid 231 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) + (๐‘ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘‹โ†‘๐‘))
5926, 42, 583eqtrd 2777 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (๐‘‹โ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  ...cfz 13430  โ†‘cexp 13973  Ccbc 14208  ฮฃcsu 15576   BernPoly cbp 15934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-bpoly 15935
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator