Theorem bpolysum 16026

Description: A sum for Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpolysum	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) = (𝑋↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋

Proof of Theorem bpolysum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0uz 12842	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtrdi 2839	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
4		elfzelz 13492	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
5		bccl 14294	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
6	1, 4, 5	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 12512	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
8		elfznn0 13588	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
10		bpolycl 16025	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
12		fznn0sub 13524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
14		nn0p1nn 12488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
16	15	nncnd 12209	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
17	15	nnne0d 12243	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) + 1) ≠ 0)
18	11, 16, 17	divcld 11965	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
19	7, 18	mulcld 11201	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
20		oveq2 7398	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C𝑁))
21		oveq1 7397	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
22		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − 𝑁))
23	22	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁 − 𝑘) + 1) = ((𝑁 − 𝑁) + 1))
24	21, 23	oveq12d 7408	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)) = ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1)))
25	20, 24	oveq12d 7408	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) = ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1))))
26	3, 19, 25	fsumm1 15724	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) + ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1)))))
27		bcnn 14284	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C𝑁) = 1)
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁C𝑁) = 1)
29		nn0cn 12459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
31	30	subidd 11528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝑁) = 0)
32	31	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑁) + 1) = (0 + 1))
33		0p1e1 12310	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
34	32, 33	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑁) + 1) = 1)
35	34	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1)) = ((𝑁 BernPoly 𝑋) / 1))
36		bpolycl 16025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
37	36	div1d 11957	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / 1) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
38	35, 37	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1)) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
39	28, 38	oveq12d 7408	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1))) = (1 · (𝑁 BernPoly 𝑋)))
40	36	mullidd 11199	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (1 · (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
41	39, 40	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1))) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
42	41	oveq2d 7406	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) + ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)))
43		bpolyval 16022	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
44	43	eqcomd 2736	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
45		expcl 14051	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑁) ∈ ℂ)
46	45	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋↑𝑁) ∈ ℂ)
47		fzfid 13945	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
48		fzssp1 13535	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
49		ax-1cn 11133	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
50		npcan 11437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
51	30, 49, 50	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
52	51	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
53	48, 52	sseqtrid 3992	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
54	53	sselda 3949	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
55	54, 19	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
56	47, 55	fsumcl 15706	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
57	46, 56, 36	subaddd 11558	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))) = (𝑁 BernPoly 𝑋) ↔ (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑋↑𝑁)))
58	44, 57	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑋↑𝑁))
59	26, 42, 58	3eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) = (𝑋↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475  ↑cexp 14033  Ccbc 14274  Σcsu 15659   BernPoly cbp 16019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-bpoly 16020

This theorem is referenced by: (None)