Theorem bpolysum 15691

Description: A sum for Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpolysum	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) = (𝑋↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋

Proof of Theorem bpolysum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0uz 12549	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtrdi 2849	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
4		elfzelz 13185	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
5		bccl 13964	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
6	1, 4, 5	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 12225	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
8		elfznn0 13278	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
10		bpolycl 15690	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	syl2anr 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
12		fznn0sub 13217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
14		nn0p1nn 12202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
16	15	nncnd 11919	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
17	15	nnne0d 11953	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) + 1) ≠ 0)
18	11, 16, 17	divcld 11681	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
19	7, 18	mulcld 10926	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
20		oveq2 7263	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C𝑁))
21		oveq1 7262	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
22		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − 𝑁))
23	22	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁 − 𝑘) + 1) = ((𝑁 − 𝑁) + 1))
24	21, 23	oveq12d 7273	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)) = ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1)))
25	20, 24	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) = ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1))))
26	3, 19, 25	fsumm1 15391	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) + ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1)))))
27		bcnn 13954	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C𝑁) = 1)
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁C𝑁) = 1)
29		nn0cn 12173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
31	30	subidd 11250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝑁) = 0)
32	31	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑁) + 1) = (0 + 1))
33		0p1e1 12025	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
34	32, 33	eqtrdi 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑁) + 1) = 1)
35	34	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1)) = ((𝑁 BernPoly 𝑋) / 1))
36		bpolycl 15690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
37	36	div1d 11673	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / 1) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
38	35, 37	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1)) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
39	28, 38	oveq12d 7273	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1))) = (1 · (𝑁 BernPoly 𝑋)))
40	36	mulid2d 10924	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (1 · (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
41	39, 40	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1))) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
42	41	oveq2d 7271	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) + ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑁) + 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)))
43		bpolyval 15687	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
44	43	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
45		expcl 13728	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑁) ∈ ℂ)
46	45	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋↑𝑁) ∈ ℂ)
47		fzfid 13621	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
48		fzssp1 13228	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
49		ax-1cn 10860	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
50		npcan 11160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
51	30, 49, 50	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
52	51	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
53	48, 52	sseqtrid 3969	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
54	53	sselda 3917	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
55	54, 19	syldan 590	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
56	47, 55	fsumcl 15373	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
57	46, 56, 36	subaddd 11280	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))) = (𝑁 BernPoly 𝑋) ↔ (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑋↑𝑁)))
58	44, 57	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑋↑𝑁))
59	26, 42, 58	3eqtrd 2782	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) = (𝑋↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  ↑cexp 13710  Ccbc 13944  Σcsu 15325   BernPoly cbp 15684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-bpoly 15685

This theorem is referenced by: (None)