MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1lgs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1lgs 27432
Description: The first supplement to the law of quadratic reciprocity. Negative one is a square mod an odd prime 𝑃 iff 𝑃≡1 (mod 4). See first case of theorem 9.4 in [ApostolNT] p. 181. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1lgs (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))

Proof of Theorem m1lgs
StepHypRef Expression
1 neg1z 12653 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℤ
2 oddprm 16848 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
32nnnn0d 12587 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
4 zexpcl 14117 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
51, 3, 4sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (-1↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
65peano2zd 12725 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ)
7 eldifi 4131 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
8 prmnn 16711 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
106, 9zmodcld 13932 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 12589 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ ℂ)
12 1cnd 11256 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 ∈ ℂ)
1311, 12, 12subaddd 11638 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃)))
14 2re 12340 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ∈ ℝ)
169nnrpd 13075 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ+)
17 0le2 12368 . . . . . . . 8 0 ≤ 2
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 0 ≤ 2)
19 oddprmgt2 16736 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 < 𝑃)
20 modid 13936 . . . . . . 7 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 𝑃)) → (2 mod 𝑃) = 2)
2115, 16, 18, 19, 20syl22anc 839 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 mod 𝑃) = 2)
22 df-2 12329 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
2321, 22eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 mod 𝑃) = (1 + 1))
2423eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 mod 𝑃) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ↔ (1 + 1) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃)))
25 eldifsni 4790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
2625neneqd 2945 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑃 = 2)
27 prmuz2 16733 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
287, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
29 2prm 16729 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℙ
30 dvdsprm 16740 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 2 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 2 ↔ 𝑃 = 2))
3128, 29, 30sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ 2 ↔ 𝑃 = 2))
3226, 31mtbird 325 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑃 ∥ 2)
3332adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → ¬ 𝑃 ∥ 2)
34 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → 1 ∈ ℂ)
352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
36 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2))
37 oexpneg 16382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → (-1↑((𝑃 − 1) / 2)) = -(1↑((𝑃 − 1) / 2)))
3834, 35, 36, 37syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → (-1↑((𝑃 − 1) / 2)) = -(1↑((𝑃 − 1) / 2)))
3935nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
40 1exp 14132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ → (1↑((𝑃 − 1) / 2)) = 1)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → (1↑((𝑃 − 1) / 2)) = 1)
4241negeqd 11502 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → -(1↑((𝑃 − 1) / 2)) = -1)
4338, 42eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → (-1↑((𝑃 − 1) / 2)) = -1)
4443oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) = (-1 + 1))
45 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
46 neg1cn 12380 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ ℂ
47 1pneg1e0 12385 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + -1) = 0
4845, 46, 47addcomli 11453 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 + 1) = 0
4944, 48eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) = 0)
5049oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1)) = (2 − 0))
51 2cn 12341 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
5251subid1i 11581 . . . . . . . . . . 11 (2 − 0) = 2
5350, 52eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1)) = 2)
5453breq2d 5155 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → (𝑃 ∥ (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 2))
5533, 54mtbird 325 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → ¬ 𝑃 ∥ (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1)))
5655ex 412 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ¬ 𝑃 ∥ (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1))))
5756con4d 115 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1)) → 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
58 2z 12649 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
5958a1i 11 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ∈ ℤ)
60 moddvds 16301 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ) → ((2 mod 𝑃) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1))))
619, 59, 6, 60syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 mod 𝑃) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1))))
62 4z 12651 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
63 4ne0 12374 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
64 nnm1nn0 12567 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
659, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6665nn0zd 12639 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
67 dvdsval2 16293 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ ℤ ∧ 4 ≠ 0 ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (4 ∥ (𝑃 − 1) ↔ ((𝑃 − 1) / 4) ∈ ℤ))
6862, 63, 66, 67mp3an12i 1467 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (4 ∥ (𝑃 − 1) ↔ ((𝑃 − 1) / 4) ∈ ℤ))
6965nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
7051a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ∈ ℂ)
71 2ne0 12370 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
7271a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 0)
7369, 70, 70, 72, 72divdiv1d 12074 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((𝑃 − 1) / 2) / 2) = ((𝑃 − 1) / (2 · 2)))
74 2t2e4 12430 . . . . . . . . . . 11 (2 · 2) = 4
7574oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 − 1) / (2 · 2)) = ((𝑃 − 1) / 4)
7673, 75eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((𝑃 − 1) / 2) / 2) = ((𝑃 − 1) / 4))
7776eleq1d 2826 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((((𝑃 − 1) / 2) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑃 − 1) / 4) ∈ ℤ))
7868, 77bitr4d 282 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (4 ∥ (𝑃 − 1) ↔ (((𝑃 − 1) / 2) / 2) ∈ ℤ))
792nnzd 12640 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
80 dvdsval2 16293 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ) → (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (((𝑃 − 1) / 2) / 2) ∈ ℤ))
8158, 71, 79, 80mp3an12i 1467 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (((𝑃 − 1) / 2) / 2) ∈ ℤ))
8278, 81bitr4d 282 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (4 ∥ (𝑃 − 1) ↔ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
8357, 61, 823imtr4d 294 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 mod 𝑃) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) → 4 ∥ (𝑃 − 1)))
8446a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → -1 ∈ ℂ)
85 neg1ne0 12382 . . . . . . . . . . . 12 -1 ≠ 0
8685a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → -1 ≠ 0)
8758a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → 2 ∈ ℤ)
8878biimpa 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → (((𝑃 − 1) / 2) / 2) ∈ ℤ)
89 expmulz 14149 . . . . . . . . . . 11 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ (((𝑃 − 1) / 2) / 2) ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · (((𝑃 − 1) / 2) / 2))) = ((-1↑2)↑(((𝑃 − 1) / 2) / 2)))
9084, 86, 87, 88, 89syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → (-1↑(2 · (((𝑃 − 1) / 2) / 2))) = ((-1↑2)↑(((𝑃 − 1) / 2) / 2)))
912nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℂ)
9291, 70, 72divcan2d 12045 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 · (((𝑃 − 1) / 2) / 2)) = ((𝑃 − 1) / 2))
9392adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → (2 · (((𝑃 − 1) / 2) / 2)) = ((𝑃 − 1) / 2))
9493oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → (-1↑(2 · (((𝑃 − 1) / 2) / 2))) = (-1↑((𝑃 − 1) / 2)))
95 neg1sqe1 14235 . . . . . . . . . . . 12 (-1↑2) = 1
9695oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑2)↑(((𝑃 − 1) / 2) / 2)) = (1↑(((𝑃 − 1) / 2) / 2))
97 1exp 14132 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 − 1) / 2) / 2) ∈ ℤ → (1↑(((𝑃 − 1) / 2) / 2)) = 1)
9888, 97syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → (1↑(((𝑃 − 1) / 2) / 2)) = 1)
9996, 98eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → ((-1↑2)↑(((𝑃 − 1) / 2) / 2)) = 1)
10090, 94, 993eqtr3d 2785 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → (-1↑((𝑃 − 1) / 2)) = 1)
101100oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) = (1 + 1))
10222, 101eqtr4id 2796 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → 2 = ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1))
103102oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → (2 mod 𝑃) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃))
104103ex 412 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (4 ∥ (𝑃 − 1) → (2 mod 𝑃) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃)))
10583, 104impbid 212 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 mod 𝑃) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ↔ 4 ∥ (𝑃 − 1)))
10613, 24, 1053bitr2d 307 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = 1 ↔ 4 ∥ (𝑃 − 1)))
107 lgsval3 27359 . . . . 5 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (-1 /L 𝑃) = ((((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1))
1081, 107mpan 690 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (-1 /L 𝑃) = ((((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1))
109108eqeq1d 2739 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ ((((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = 1))
110 4nn 12349 . . . . 5 4 ∈ ℕ
111110a1i 11 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 4 ∈ ℕ)
112 prmz 16712 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1137, 112syl 17 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
114 1zzd 12648 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 ∈ ℤ)
115 moddvds 16301 . . . 4 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑃 mod 4) = (1 mod 4) ↔ 4 ∥ (𝑃 − 1)))
116111, 113, 114, 115syl3anc 1373 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 mod 4) = (1 mod 4) ↔ 4 ∥ (𝑃 − 1)))
117106, 109, 1163bitr4d 311 . 2 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = (1 mod 4)))
118 1re 11261 . . . 4 1 ∈ ℝ
119 nnrp 13046 . . . . 5 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
120110, 119ax-mp 5 . . . 4 4 ∈ ℝ+
121 0le1 11786 . . . 4 0 ≤ 1
122 1lt4 12442 . . . 4 1 < 4
123 modid 13936 . . . 4 (((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 4)) → (1 mod 4) = 1)
124118, 120, 121, 122, 123mp4an 693 . . 3 (1 mod 4) = 1
125124eqeq2i 2750 . 2 ((𝑃 mod 4) = (1 mod 4) ↔ (𝑃 mod 4) = 1)
126117, 125bitrdi 287 1 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  4c4 12323  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034   mod cmo 13909  cexp 14102  cdvds 16290  cprime 16708   /L clgs 27338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-phi 16803  df-pc 16875  df-lgs 27339
This theorem is referenced by:  2sqlem11  27473  2sqblem  27475
  Copyright terms: Public domain W3C validator