MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1lgs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1lgs 27447
Description: The first supplement to the law of quadratic reciprocity. Negative one is a square mod an odd prime 𝑃 iff 𝑃≡1 (mod 4). See first case of theorem 9.4 in [ApostolNT] p. 181. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1lgs (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))

Proof of Theorem m1lgs
StepHypRef Expression
1 neg1z 12651 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℤ
2 oddprm 16844 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
32nnnn0d 12585 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
4 zexpcl 14114 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
51, 3, 4sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (-1↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
65peano2zd 12723 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ)
7 eldifi 4141 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
8 prmnn 16708 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
106, 9zmodcld 13929 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 12587 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ ℂ)
12 1cnd 11254 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 ∈ ℂ)
1311, 12, 12subaddd 11636 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃)))
14 2re 12338 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ∈ ℝ)
169nnrpd 13073 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ+)
17 0le2 12366 . . . . . . . 8 0 ≤ 2
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 0 ≤ 2)
19 oddprmgt2 16733 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 < 𝑃)
20 modid 13933 . . . . . . 7 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 𝑃)) → (2 mod 𝑃) = 2)
2115, 16, 18, 19, 20syl22anc 839 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 mod 𝑃) = 2)
22 df-2 12327 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
2321, 22eqtrdi 2791 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 mod 𝑃) = (1 + 1))
2423eqeq1d 2737 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 mod 𝑃) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ↔ (1 + 1) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃)))
25 eldifsni 4795 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
2625neneqd 2943 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑃 = 2)
27 prmuz2 16730 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
287, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
29 2prm 16726 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℙ
30 dvdsprm 16737 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 2 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 2 ↔ 𝑃 = 2))
3128, 29, 30sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ 2 ↔ 𝑃 = 2))
3226, 31mtbird 325 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑃 ∥ 2)
3332adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → ¬ 𝑃 ∥ 2)
34 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → 1 ∈ ℂ)
352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
36 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2))
37 oexpneg 16379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → (-1↑((𝑃 − 1) / 2)) = -(1↑((𝑃 − 1) / 2)))
3834, 35, 36, 37syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → (-1↑((𝑃 − 1) / 2)) = -(1↑((𝑃 − 1) / 2)))
3935nnzd 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
40 1exp 14129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ → (1↑((𝑃 − 1) / 2)) = 1)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → (1↑((𝑃 − 1) / 2)) = 1)
4241negeqd 11500 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → -(1↑((𝑃 − 1) / 2)) = -1)
4338, 42eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → (-1↑((𝑃 − 1) / 2)) = -1)
4443oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) = (-1 + 1))
45 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
46 neg1cn 12378 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ ℂ
47 1pneg1e0 12383 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + -1) = 0
4845, 46, 47addcomli 11451 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 + 1) = 0
4944, 48eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) = 0)
5049oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1)) = (2 − 0))
51 2cn 12339 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
5251subid1i 11579 . . . . . . . . . . 11 (2 − 0) = 2
5350, 52eqtrdi 2791 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1)) = 2)
5453breq2d 5160 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → (𝑃 ∥ (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 2))
5533, 54mtbird 325 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → ¬ 𝑃 ∥ (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1)))
5655ex 412 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ¬ 𝑃 ∥ (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1))))
5756con4d 115 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1)) → 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
58 2z 12647 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
5958a1i 11 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ∈ ℤ)
60 moddvds 16298 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ) → ((2 mod 𝑃) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1))))
619, 59, 6, 60syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 mod 𝑃) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1))))
62 4z 12649 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
63 4ne0 12372 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
64 nnm1nn0 12565 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
659, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6665nn0zd 12637 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
67 dvdsval2 16290 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ ℤ ∧ 4 ≠ 0 ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (4 ∥ (𝑃 − 1) ↔ ((𝑃 − 1) / 4) ∈ ℤ))
6862, 63, 66, 67mp3an12i 1464 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (4 ∥ (𝑃 − 1) ↔ ((𝑃 − 1) / 4) ∈ ℤ))
6965nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
7051a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ∈ ℂ)
71 2ne0 12368 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
7271a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 0)
7369, 70, 70, 72, 72divdiv1d 12072 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((𝑃 − 1) / 2) / 2) = ((𝑃 − 1) / (2 · 2)))
74 2t2e4 12428 . . . . . . . . . . 11 (2 · 2) = 4
7574oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 − 1) / (2 · 2)) = ((𝑃 − 1) / 4)
7673, 75eqtrdi 2791 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((𝑃 − 1) / 2) / 2) = ((𝑃 − 1) / 4))
7776eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((((𝑃 − 1) / 2) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑃 − 1) / 4) ∈ ℤ))
7868, 77bitr4d 282 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (4 ∥ (𝑃 − 1) ↔ (((𝑃 − 1) / 2) / 2) ∈ ℤ))
792nnzd 12638 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
80 dvdsval2 16290 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ) → (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (((𝑃 − 1) / 2) / 2) ∈ ℤ))
8158, 71, 79, 80mp3an12i 1464 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (((𝑃 − 1) / 2) / 2) ∈ ℤ))
8278, 81bitr4d 282 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (4 ∥ (𝑃 − 1) ↔ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
8357, 61, 823imtr4d 294 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 mod 𝑃) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) → 4 ∥ (𝑃 − 1)))
8446a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → -1 ∈ ℂ)
85 neg1ne0 12380 . . . . . . . . . . . 12 -1 ≠ 0
8685a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → -1 ≠ 0)
8758a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → 2 ∈ ℤ)
8878biimpa 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → (((𝑃 − 1) / 2) / 2) ∈ ℤ)
89 expmulz 14146 . . . . . . . . . . 11 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ (((𝑃 − 1) / 2) / 2) ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · (((𝑃 − 1) / 2) / 2))) = ((-1↑2)↑(((𝑃 − 1) / 2) / 2)))
9084, 86, 87, 88, 89syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → (-1↑(2 · (((𝑃 − 1) / 2) / 2))) = ((-1↑2)↑(((𝑃 − 1) / 2) / 2)))
912nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℂ)
9291, 70, 72divcan2d 12043 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 · (((𝑃 − 1) / 2) / 2)) = ((𝑃 − 1) / 2))
9392adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → (2 · (((𝑃 − 1) / 2) / 2)) = ((𝑃 − 1) / 2))
9493oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → (-1↑(2 · (((𝑃 − 1) / 2) / 2))) = (-1↑((𝑃 − 1) / 2)))
95 neg1sqe1 14232 . . . . . . . . . . . 12 (-1↑2) = 1
9695oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑2)↑(((𝑃 − 1) / 2) / 2)) = (1↑(((𝑃 − 1) / 2) / 2))
97 1exp 14129 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 − 1) / 2) / 2) ∈ ℤ → (1↑(((𝑃 − 1) / 2) / 2)) = 1)
9888, 97syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → (1↑(((𝑃 − 1) / 2) / 2)) = 1)
9996, 98eqtrid 2787 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → ((-1↑2)↑(((𝑃 − 1) / 2) / 2)) = 1)
10090, 94, 993eqtr3d 2783 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → (-1↑((𝑃 − 1) / 2)) = 1)
101100oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) = (1 + 1))
10222, 101eqtr4id 2794 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → 2 = ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1))
103102oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → (2 mod 𝑃) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃))
104103ex 412 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (4 ∥ (𝑃 − 1) → (2 mod 𝑃) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃)))
10583, 104impbid 212 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 mod 𝑃) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ↔ 4 ∥ (𝑃 − 1)))
10613, 24, 1053bitr2d 307 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = 1 ↔ 4 ∥ (𝑃 − 1)))
107 lgsval3 27374 . . . . 5 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (-1 /L 𝑃) = ((((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1))
1081, 107mpan 690 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (-1 /L 𝑃) = ((((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1))
109108eqeq1d 2737 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ ((((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = 1))
110 4nn 12347 . . . . 5 4 ∈ ℕ
111110a1i 11 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 4 ∈ ℕ)
112 prmz 16709 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1137, 112syl 17 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
114 1zzd 12646 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 ∈ ℤ)
115 moddvds 16298 . . . 4 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑃 mod 4) = (1 mod 4) ↔ 4 ∥ (𝑃 − 1)))
116111, 113, 114, 115syl3anc 1370 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 mod 4) = (1 mod 4) ↔ 4 ∥ (𝑃 − 1)))
117106, 109, 1163bitr4d 311 . 2 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = (1 mod 4)))
118 1re 11259 . . . 4 1 ∈ ℝ
119 nnrp 13044 . . . . 5 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
120110, 119ax-mp 5 . . . 4 4 ∈ ℝ+
121 0le1 11784 . . . 4 0 ≤ 1
122 1lt4 12440 . . . 4 1 < 4
123 modid 13933 . . . 4 (((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 4)) → (1 mod 4) = 1)
124118, 120, 121, 122, 123mp4an 693 . . 3 (1 mod 4) = 1
125124eqeq2i 2748 . 2 ((𝑃 mod 4) = (1 mod 4) ↔ (𝑃 mod 4) = 1)
126117, 125bitrdi 287 1 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  {csn 4631   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  4c4 12321  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032   mod cmo 13906  cexp 14099  cdvds 16287  cprime 16705   /L clgs 27353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-phi 16800  df-pc 16871  df-lgs 27354
This theorem is referenced by:  2sqlem11  27488  2sqblem  27490
  Copyright terms: Public domain W3C validator