MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1lgs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1lgs 27234
Description: The first supplement to the law of quadratic reciprocity. Negative one is a square mod an odd prime ๐‘ƒ iff ๐‘ƒโ‰ก1 (mod 4). See first case of theorem 9.4 in [ApostolNT] p. 181. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1lgs (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((-1 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 4) = 1))

Proof of Theorem m1lgs
StepHypRef Expression
1 neg1z 12605 . . . . . . . . 9 -1 โˆˆ โ„ค
2 oddprm 16750 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
32nnnn0d 12539 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
4 zexpcl 14049 . . . . . . . . 9 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
51, 3, 4sylancr 586 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
65peano2zd 12676 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆˆ โ„ค)
7 eldifi 4126 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
8 prmnn 16618 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
106, 9zmodcld 13864 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0)
1110nn0cnd 12541 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
12 1cnd 11216 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1311, 12, 12subaddd 11596 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (((((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1) = 1 โ†” (1 + 1) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ)))
14 2re 12293 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
1514a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
169nnrpd 13021 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
17 0le2 12321 . . . . . . . 8 0 โ‰ค 2
1817a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 0 โ‰ค 2)
19 oddprmgt2 16643 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 2 < ๐‘ƒ)
20 modid 13868 . . . . . . 7 (((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค 2 โˆง 2 < ๐‘ƒ)) โ†’ (2 mod ๐‘ƒ) = 2)
2115, 16, 18, 19, 20syl22anc 836 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (2 mod ๐‘ƒ) = 2)
22 df-2 12282 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
2321, 22eqtrdi 2787 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (2 mod ๐‘ƒ) = (1 + 1))
2423eqeq1d 2733 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((2 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โ†” (1 + 1) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ)))
25 eldifsni 4793 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โ‰  2)
2625neneqd 2944 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ = 2)
27 prmuz2 16640 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
287, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
29 2prm 16636 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„™
30 dvdsprm 16647 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง 2 โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 2 โ†” ๐‘ƒ = 2))
3128, 29, 30sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 2 โ†” ๐‘ƒ = 2))
3226, 31mtbird 325 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 2)
3332adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 2)
34 1cnd 11216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
36 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
37 oexpneg 16295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = -(1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
3834, 35, 36, 37syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = -(1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
3935nnzd 12592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
40 1exp 14064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = 1)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = 1)
4241negeqd 11461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ -(1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = -1)
4338, 42eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = -1)
4443oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = (-1 + 1))
45 ax-1cn 11174 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„‚
46 neg1cn 12333 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 โˆˆ โ„‚
47 1pneg1e0 12338 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + -1) = 0
4845, 46, 47addcomli 11413 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 + 1) = 0
4944, 48eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = 0)
5049oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1)) = (2 โˆ’ 0))
51 2cn 12294 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„‚
5251subid1i 11539 . . . . . . . . . . 11 (2 โˆ’ 0) = 2
5350, 52eqtrdi 2787 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1)) = 2)
5453breq2d 5160 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ 2))
5533, 54mtbird 325 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1)))
5655ex 412 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1))))
5756con4d 115 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1)) โ†’ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
58 2z 12601 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„ค
5958a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
60 moddvds 16215 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง 2 โˆˆ โ„ค โˆง ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1))))
619, 59, 6, 60syl3anc 1370 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((2 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1))))
62 4z 12603 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„ค
63 4ne0 12327 . . . . . . . . 9 4 โ‰  0
64 nnm1nn0 12520 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
659, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
6665nn0zd 12591 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
67 dvdsval2 16207 . . . . . . . . 9 ((4 โˆˆ โ„ค โˆง 4 โ‰  0 โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 4) โˆˆ โ„ค))
6862, 63, 66, 67mp3an12i 1464 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 4) โˆˆ โ„ค))
6965nn0cnd 12541 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
7051a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
71 2ne0 12323 . . . . . . . . . . . 12 2 โ‰  0
7271a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 2 โ‰  0)
7369, 70, 70, 72, 72divdiv1d 12028 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / (2 ยท 2)))
74 2t2e4 12383 . . . . . . . . . . 11 (2 ยท 2) = 4
7574oveq2i 7423 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / (2 ยท 2)) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 4)
7673, 75eqtrdi 2787 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 4))
7776eleq1d 2817 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 4) โˆˆ โ„ค))
7868, 77bitr4d 282 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) โˆˆ โ„ค))
792nnzd 12592 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
80 dvdsval2 16207 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰  0 โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†” (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) โˆˆ โ„ค))
8158, 71, 79, 80mp3an12i 1464 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†” (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) โˆˆ โ„ค))
8278, 81bitr4d 282 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
8357, 61, 823imtr4d 294 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((2 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โ†’ 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
8446a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
85 neg1ne0 12335 . . . . . . . . . . . 12 -1 โ‰  0
8685a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ -1 โ‰  0)
8758a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
8878biimpa 476 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) โˆˆ โ„ค)
89 expmulz 14081 . . . . . . . . . . 11 (((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (-1โ†‘(2 ยท (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2))) = ((-1โ†‘2)โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)))
9084, 86, 87, 88, 89syl22anc 836 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (-1โ†‘(2 ยท (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2))) = ((-1โ†‘2)โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)))
912nncnd 12235 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„‚)
9291, 70, 72divcan2d 11999 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (2 ยท (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
9392adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (2 ยท (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
9493oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (-1โ†‘(2 ยท (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2))) = (-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
95 neg1sqe1 14167 . . . . . . . . . . . 12 (-1โ†‘2) = 1
9695oveq1i 7422 . . . . . . . . . . 11 ((-1โ†‘2)โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)) = (1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2))
97 1exp 14064 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)) = 1)
9888, 97syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)) = 1)
9996, 98eqtrid 2783 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ((-1โ†‘2)โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)) = 1)
10090, 94, 993eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = 1)
101100oveq1d 7427 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = (1 + 1))
10222, 101eqtr4id 2790 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ 2 = ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1))
103102oveq1d 7427 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (2 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ))
104103ex 412 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†’ (2 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ)))
10583, 104impbid 211 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((2 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โ†” 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
10613, 24, 1053bitr2d 307 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (((((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1) = 1 โ†” 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
107 lgsval3 27161 . . . . 5 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (-1 /L ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1))
1081, 107mpan 687 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (-1 /L ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1))
109108eqeq1d 2733 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((-1 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” ((((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1) = 1))
110 4nn 12302 . . . . 5 4 โˆˆ โ„•
111110a1i 11 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 4 โˆˆ โ„•)
112 prmz 16619 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
1137, 112syl 17 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
114 1zzd 12600 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
115 moddvds 16215 . . . 4 ((4 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ mod 4) = (1 mod 4) โ†” 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
116111, 113, 114, 115syl3anc 1370 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ mod 4) = (1 mod 4) โ†” 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
117106, 109, 1163bitr4d 311 . 2 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((-1 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 4) = (1 mod 4)))
118 1re 11221 . . . 4 1 โˆˆ โ„
119 nnrp 12992 . . . . 5 (4 โˆˆ โ„• โ†’ 4 โˆˆ โ„+)
120110, 119ax-mp 5 . . . 4 4 โˆˆ โ„+
121 0le1 11744 . . . 4 0 โ‰ค 1
122 1lt4 12395 . . . 4 1 < 4
123 modid 13868 . . . 4 (((1 โˆˆ โ„ โˆง 4 โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค 1 โˆง 1 < 4)) โ†’ (1 mod 4) = 1)
124118, 120, 121, 122, 123mp4an 690 . . 3 (1 mod 4) = 1
125124eqeq2i 2744 . 2 ((๐‘ƒ mod 4) = (1 mod 4) โ†” (๐‘ƒ mod 4) = 1)
126117, 125bitrdi 287 1 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((-1 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 4) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   โˆ– cdif 3945  {csn 4628   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11114  โ„cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   ยท cmul 11121   < clt 11255   โ‰ค cle 11256   โˆ’ cmin 11451  -cneg 11452   / cdiv 11878  โ„•cn 12219  2c2 12274  4c4 12276  โ„•0cn0 12479  โ„คcz 12565  โ„คโ‰ฅcuz 12829  โ„+crp 12981   mod cmo 13841  โ†‘cexp 14034   โˆฅ cdvds 16204  โ„™cprime 16615   /L clgs 27140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-phi 16706  df-pc 16777  df-lgs 27141
This theorem is referenced by:  2sqlem11  27275  2sqblem  27277
  Copyright terms: Public domain W3C validator