MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quart Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quart 26366
Description: The quartic equation, writing out all roots using square and cube root functions so that only direct substitutions remain, and we can actually claim to have a "quartic equation". Naturally, this theorem is ridiculously long (see quartfull 34156) if all the substitutions are performed. This is Metamath 100 proof #46. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
quart.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
quart.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
quart.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
quart.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
quart.e (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = -(๐ด / 4))
quart.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = (๐ต โˆ’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2))))
quart.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = ((๐ถ โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ†‘3) / 8)))
quart.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = ((๐ท โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆ’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)))))
quart.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = ((๐‘ƒโ†‘2) + (12 ยท ๐‘…)))
quart.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = ((-(2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆ’ (27 ยท (๐‘„โ†‘2))) + (72 ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘…))))
quart.w (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š = (โˆšโ€˜((๐‘‰โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3)))))
quart.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† = ((โˆšโ€˜๐‘€) / 2))
quart.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = -((((2 ยท ๐‘ƒ) + ๐‘‡) + (๐‘ˆ / ๐‘‡)) / 3))
quart.t (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ = (((๐‘‰ + ๐‘Š) / 2)โ†‘๐‘(1 / 3)))
quart.t0 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
quart.m0 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
quart.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = (โˆšโ€˜((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) + ((๐‘„ / 4) / ๐‘†))))
quart.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ = (โˆšโ€˜((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) โˆ’ ((๐‘„ / 4) / ๐‘†))))
Assertion
Ref Expression
quart (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘4) + (๐ด ยท (๐‘‹โ†‘3))) + ((๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐ถ ยท ๐‘‹) + ๐ท))) = 0 โ†” ((๐‘‹ = ((๐ธ โˆ’ ๐‘†) + ๐ผ) โˆจ ๐‘‹ = ((๐ธ โˆ’ ๐‘†) โˆ’ ๐ผ)) โˆจ (๐‘‹ = ((๐ธ + ๐‘†) + ๐ฝ) โˆจ ๐‘‹ = ((๐ธ + ๐‘†) โˆ’ ๐ฝ)))))

Proof of Theorem quart
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 quart.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 quart.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 quart.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4 quart.d . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
5 quart.p . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = (๐ต โˆ’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2))))
6 quart.q . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = ((๐ถ โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ†‘3) / 8)))
7 quart.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = ((๐ท โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆ’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)))))
8 quart.x . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
9 quart.e . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = -(๐ด / 4))
109oveq2d 7425 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (๐‘‹ โˆ’ -(๐ด / 4)))
11 4cn 12297 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„‚
1211a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
13 4ne0 12320 . . . . . . . 8 4 โ‰  0
1413a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 4 โ‰  0)
151, 12, 14divcld 11990 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / 4) โˆˆ โ„‚)
168, 15subnegd 11578 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ -(๐ด / 4)) = (๐‘‹ + (๐ด / 4)))
1710, 16eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (๐‘‹ + (๐ด / 4)))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17quart1 26361 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘4) + (๐ด ยท (๐‘‹โ†‘3))) + ((๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐ถ ยท ๐‘‹) + ๐ท))) = ((((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ)โ†‘4) + (๐‘ƒ ยท ((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ)โ†‘2))) + ((๐‘„ ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐ธ)) + ๐‘…)))
1918eqeq1d 2735 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘4) + (๐ด ยท (๐‘‹โ†‘3))) + ((๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐ถ ยท ๐‘‹) + ๐ท))) = 0 โ†” ((((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ)โ†‘4) + (๐‘ƒ ยท ((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ)โ†‘2))) + ((๐‘„ ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐ธ)) + ๐‘…)) = 0))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7quart1cl 26359 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚))
2120simp1d 1143 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
2220simp2d 1144 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
2315negcld 11558 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -(๐ด / 4) โˆˆ โ„‚)
249, 23eqeltrd 2834 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
258, 24subcld 11571 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
26 quart.u . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = ((๐‘ƒโ†‘2) + (12 ยท ๐‘…)))
27 quart.v . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = ((-(2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆ’ (27 ยท (๐‘„โ†‘2))) + (72 ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘…))))
28 quart.w . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š = (โˆšโ€˜((๐‘‰โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3)))))
29 quart.s . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† = ((โˆšโ€˜๐‘€) / 2))
30 quart.m . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = -((((2 ยท ๐‘ƒ) + ๐‘‡) + (๐‘ˆ / ๐‘‡)) / 3))
31 quart.t . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ = (((๐‘‰ + ๐‘Š) / 2)โ†‘๐‘(1 / 3)))
32 quart.t0 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
331, 2, 3, 4, 1, 9, 5, 6, 7, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32quartlem3 26364 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚))
3433simp1d 1143 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
3529oveq2d 7425 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘†) = (2 ยท ((โˆšโ€˜๐‘€) / 2)))
3633simp2d 1144 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3736sqrtcld 15384 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„‚)
38 2cnd 12290 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
39 2ne0 12316 . . . . . . . 8 2 โ‰  0
4039a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
4137, 38, 40divcan2d 11992 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((โˆšโ€˜๐‘€) / 2)) = (โˆšโ€˜๐‘€))
4235, 41eqtrd 2773 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘†) = (โˆšโ€˜๐‘€))
4342oveq1d 7424 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) = ((โˆšโ€˜๐‘€)โ†‘2))
4436sqsqrtd 15386 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘€)โ†‘2) = ๐‘€)
4543, 44eqtr2d 2774 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2))
46 quart.m0 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
47 quart.i . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = (โˆšโ€˜((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) + ((๐‘„ / 4) / ๐‘†))))
48 quart.j . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ = (โˆšโ€˜((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) โˆ’ ((๐‘„ / 4) / ๐‘†))))
491, 2, 3, 4, 1, 9, 5, 6, 7, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 46, 47, 48quartlem4 26365 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โ‰  0 โˆง ๐ผ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„‚))
5049simp2d 1144 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
5147oveq1d 7424 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ผโ†‘2) = ((โˆšโ€˜((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) + ((๐‘„ / 4) / ๐‘†)))โ†‘2))
5234sqcld 14109 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
5352negcld 11558 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘†โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
5421halfcld 12457 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ / 2) โˆˆ โ„‚)
5553, 54subcld 11571 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) โˆˆ โ„‚)
5622, 12, 14divcld 11990 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ / 4) โˆˆ โ„‚)
5749simp1d 1143 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โ‰  0)
5856, 34, 57divcld 11990 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ / 4) / ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
5955, 58addcld 11233 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) + ((๐‘„ / 4) / ๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
6059sqsqrtd 15386 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) + ((๐‘„ / 4) / ๐‘†)))โ†‘2) = ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) + ((๐‘„ / 4) / ๐‘†)))
6151, 60eqtrd 2773 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ผโ†‘2) = ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) + ((๐‘„ / 4) / ๐‘†)))
6220simp3d 1145 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
63 1cnd 11209 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
64 3z 12595 . . . . . 6 3 โˆˆ โ„ค
65 1exp 14057 . . . . . 6 (3 โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘3) = 1)
6664, 65mp1i 13 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1โ†‘3) = 1)
6733simp3d 1145 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
6867mullidd 11232 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐‘‡) = ๐‘‡)
6968oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘ƒ) + (1 ยท ๐‘‡)) = ((2 ยท ๐‘ƒ) + ๐‘‡))
7068oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ / (1 ยท ๐‘‡)) = (๐‘ˆ / ๐‘‡))
7169, 70oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘ƒ) + (1 ยท ๐‘‡)) + (๐‘ˆ / (1 ยท ๐‘‡))) = (((2 ยท ๐‘ƒ) + ๐‘‡) + (๐‘ˆ / ๐‘‡)))
7271oveq1d 7424 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘ƒ) + (1 ยท ๐‘‡)) + (๐‘ˆ / (1 ยท ๐‘‡))) / 3) = ((((2 ยท ๐‘ƒ) + ๐‘‡) + (๐‘ˆ / ๐‘‡)) / 3))
7372negeqd 11454 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -((((2 ยท ๐‘ƒ) + (1 ยท ๐‘‡)) + (๐‘ˆ / (1 ยท ๐‘‡))) / 3) = -((((2 ยท ๐‘ƒ) + ๐‘‡) + (๐‘ˆ / ๐‘‡)) / 3))
7430, 73eqtr4d 2776 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = -((((2 ยท ๐‘ƒ) + (1 ยท ๐‘‡)) + (๐‘ˆ / (1 ยท ๐‘‡))) / 3))
75 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅโ†‘3) = (1โ†‘3))
7675eqeq1d 2735 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐‘ฅโ†‘3) = 1 โ†” (1โ†‘3) = 1))
77 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‡) = (1 ยท ๐‘‡))
7877oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((2 ยท ๐‘ƒ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘‡)) = ((2 ยท ๐‘ƒ) + (1 ยท ๐‘‡)))
7977oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ˆ / (๐‘ฅ ยท ๐‘‡)) = (๐‘ˆ / (1 ยท ๐‘‡)))
8078, 79oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (((2 ยท ๐‘ƒ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘‡)) + (๐‘ˆ / (๐‘ฅ ยท ๐‘‡))) = (((2 ยท ๐‘ƒ) + (1 ยท ๐‘‡)) + (๐‘ˆ / (1 ยท ๐‘‡))))
8180oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((((2 ยท ๐‘ƒ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘‡)) + (๐‘ˆ / (๐‘ฅ ยท ๐‘‡))) / 3) = ((((2 ยท ๐‘ƒ) + (1 ยท ๐‘‡)) + (๐‘ˆ / (1 ยท ๐‘‡))) / 3))
8281negeqd 11454 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 1 โ†’ -((((2 ยท ๐‘ƒ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘‡)) + (๐‘ˆ / (๐‘ฅ ยท ๐‘‡))) / 3) = -((((2 ยท ๐‘ƒ) + (1 ยท ๐‘‡)) + (๐‘ˆ / (1 ยท ๐‘‡))) / 3))
8382eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘€ = -((((2 ยท ๐‘ƒ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘‡)) + (๐‘ˆ / (๐‘ฅ ยท ๐‘‡))) / 3) โ†” ๐‘€ = -((((2 ยท ๐‘ƒ) + (1 ยท ๐‘‡)) + (๐‘ˆ / (1 ยท ๐‘‡))) / 3)))
8476, 83anbi12d 632 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (((๐‘ฅโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘€ = -((((2 ยท ๐‘ƒ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘‡)) + (๐‘ˆ / (๐‘ฅ ยท ๐‘‡))) / 3)) โ†” ((1โ†‘3) = 1 โˆง ๐‘€ = -((((2 ยท ๐‘ƒ) + (1 ยท ๐‘‡)) + (๐‘ˆ / (1 ยท ๐‘‡))) / 3))))
8584rspcev 3613 . . . . 5 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((1โ†‘3) = 1 โˆง ๐‘€ = -((((2 ยท ๐‘ƒ) + (1 ยท ๐‘‡)) + (๐‘ˆ / (1 ยท ๐‘‡))) / 3))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘€ = -((((2 ยท ๐‘ƒ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘‡)) + (๐‘ˆ / (๐‘ฅ ยท ๐‘‡))) / 3)))
8663, 66, 74, 85syl12anc 836 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘€ = -((((2 ยท ๐‘ƒ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘‡)) + (๐‘ˆ / (๐‘ฅ ยท ๐‘‡))) / 3)))
87 2cn 12287 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„‚
88 mulcl 11194 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
8987, 21, 88sylancr 588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
9021sqcld 14109 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
91 mulcl 11194 . . . . . . 7 ((4 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
9211, 62, 91sylancr 588 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
9390, 92subcld 11571 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐‘…)) โˆˆ โ„‚)
9422sqcld 14109 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
9594negcld 11558 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘„โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
9631oveq1d 7424 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ†‘3) = ((((๐‘‰ + ๐‘Š) / 2)โ†‘๐‘(1 / 3))โ†‘3))
971, 2, 3, 4, 1, 9, 5, 6, 7, 26, 27, 28quartlem2 26363 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‰ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Š โˆˆ โ„‚))
9897simp2d 1144 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„‚)
9997simp3d 1145 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„‚)
10098, 99addcld 11233 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‰ + ๐‘Š) โˆˆ โ„‚)
101100halfcld 12457 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‰ + ๐‘Š) / 2) โˆˆ โ„‚)
102 3nn 12291 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„•
103 cxproot 26198 . . . . . . 7 ((((๐‘‰ + ๐‘Š) / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘‰ + ๐‘Š) / 2)โ†‘๐‘(1 / 3))โ†‘3) = ((๐‘‰ + ๐‘Š) / 2))
104101, 102, 103sylancl 587 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‰ + ๐‘Š) / 2)โ†‘๐‘(1 / 3))โ†‘3) = ((๐‘‰ + ๐‘Š) / 2))
10596, 104eqtrd 2773 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ†‘3) = ((๐‘‰ + ๐‘Š) / 2))
10628oveq1d 7424 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Šโ†‘2) = ((โˆšโ€˜((๐‘‰โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3))))โ†‘2))
10798sqcld 14109 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‰โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
10897simp1d 1143 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„‚)
109 3nn0 12490 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„•0
110 expcl 14045 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ˆ โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ˆโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
111108, 109, 110sylancl 587 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
112 mulcl 11194 . . . . . . . . 9 ((4 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
11311, 111, 112sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
114107, 113subcld 11571 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‰โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3))) โˆˆ โ„‚)
115114sqsqrtd 15386 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜((๐‘‰โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3))))โ†‘2) = ((๐‘‰โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
116106, 115eqtrd 2773 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Šโ†‘2) = ((๐‘‰โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
11721, 22, 62, 26, 27quartlem1 26362 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ = (((2 ยท ๐‘ƒ)โ†‘2) โˆ’ (3 ยท ((๐‘ƒโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐‘…)))) โˆง ๐‘‰ = (((2 ยท ((2 ยท ๐‘ƒ)โ†‘3)) โˆ’ (9 ยท ((2 ยท ๐‘ƒ) ยท ((๐‘ƒโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐‘…))))) + (27 ยท -(๐‘„โ†‘2)))))
118117simpld 496 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (((2 ยท ๐‘ƒ)โ†‘2) โˆ’ (3 ยท ((๐‘ƒโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐‘…)))))
119117simprd 497 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (((2 ยท ((2 ยท ๐‘ƒ)โ†‘3)) โˆ’ (9 ยท ((2 ยท ๐‘ƒ) ยท ((๐‘ƒโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐‘…))))) + (27 ยท -(๐‘„โ†‘2))))
12089, 93, 95, 36, 67, 105, 99, 116, 118, 119, 32mcubic 26352 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐‘ƒ) ยท (๐‘€โ†‘2))) + ((((๐‘ƒโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐‘…)) ยท ๐‘€) + -(๐‘„โ†‘2))) = 0 โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘€ = -((((2 ยท ๐‘ƒ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘‡)) + (๐‘ˆ / (๐‘ฅ ยท ๐‘‡))) / 3))))
12186, 120mpbird 257 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐‘ƒ) ยท (๐‘€โ†‘2))) + ((((๐‘ƒโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐‘…)) ยท ๐‘€) + -(๐‘„โ†‘2))) = 0)
12249simp3d 1145 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„‚)
12348oveq1d 7424 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝโ†‘2) = ((โˆšโ€˜((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) โˆ’ ((๐‘„ / 4) / ๐‘†)))โ†‘2))
12455, 58subcld 11571 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) โˆ’ ((๐‘„ / 4) / ๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
125124sqsqrtd 15386 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) โˆ’ ((๐‘„ / 4) / ๐‘†)))โ†‘2) = ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) โˆ’ ((๐‘„ / 4) / ๐‘†)))
126123, 125eqtrd 2773 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝโ†‘2) = ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) โˆ’ ((๐‘„ / 4) / ๐‘†)))
12721, 22, 25, 34, 45, 46, 50, 61, 62, 121, 122, 126dquart 26358 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ)โ†‘4) + (๐‘ƒ ยท ((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ)โ†‘2))) + ((๐‘„ ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐ธ)) + ๐‘…)) = 0 โ†” (((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (-๐‘† + ๐ผ) โˆจ (๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ)) โˆจ ((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (๐‘† + ๐ฝ) โˆจ (๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (๐‘† โˆ’ ๐ฝ)))))
12834negcld 11558 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -๐‘† โˆˆ โ„‚)
129128, 50addcld 11233 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-๐‘† + ๐ผ) โˆˆ โ„‚)
1308, 24, 129subaddd 11589 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (-๐‘† + ๐ผ) โ†” (๐ธ + (-๐‘† + ๐ผ)) = ๐‘‹))
13124, 34negsubd 11577 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ + -๐‘†) = (๐ธ โˆ’ ๐‘†))
132131oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ + -๐‘†) + ๐ผ) = ((๐ธ โˆ’ ๐‘†) + ๐ผ))
13324, 128, 50addassd 11236 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ + -๐‘†) + ๐ผ) = (๐ธ + (-๐‘† + ๐ผ)))
134132, 133eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ โˆ’ ๐‘†) + ๐ผ) = (๐ธ + (-๐‘† + ๐ผ)))
135134eqeq1d 2735 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธ โˆ’ ๐‘†) + ๐ผ) = ๐‘‹ โ†” (๐ธ + (-๐‘† + ๐ผ)) = ๐‘‹))
136130, 135bitr4d 282 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (-๐‘† + ๐ผ) โ†” ((๐ธ โˆ’ ๐‘†) + ๐ผ) = ๐‘‹))
137 eqcom 2740 . . . . 5 (((๐ธ โˆ’ ๐‘†) + ๐ผ) = ๐‘‹ โ†” ๐‘‹ = ((๐ธ โˆ’ ๐‘†) + ๐ผ))
138136, 137bitrdi 287 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (-๐‘† + ๐ผ) โ†” ๐‘‹ = ((๐ธ โˆ’ ๐‘†) + ๐ผ)))
139128, 50subcld 11571 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-๐‘† โˆ’ ๐ผ) โˆˆ โ„‚)
1408, 24, 139subaddd 11589 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ) โ†” (๐ธ + (-๐‘† โˆ’ ๐ผ)) = ๐‘‹))
141131oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ + -๐‘†) โˆ’ ๐ผ) = ((๐ธ โˆ’ ๐‘†) โˆ’ ๐ผ))
14224, 128, 50addsubassd 11591 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ + -๐‘†) โˆ’ ๐ผ) = (๐ธ + (-๐‘† โˆ’ ๐ผ)))
143141, 142eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ โˆ’ ๐‘†) โˆ’ ๐ผ) = (๐ธ + (-๐‘† โˆ’ ๐ผ)))
144143eqeq1d 2735 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธ โˆ’ ๐‘†) โˆ’ ๐ผ) = ๐‘‹ โ†” (๐ธ + (-๐‘† โˆ’ ๐ผ)) = ๐‘‹))
145140, 144bitr4d 282 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ) โ†” ((๐ธ โˆ’ ๐‘†) โˆ’ ๐ผ) = ๐‘‹))
146 eqcom 2740 . . . . 5 (((๐ธ โˆ’ ๐‘†) โˆ’ ๐ผ) = ๐‘‹ โ†” ๐‘‹ = ((๐ธ โˆ’ ๐‘†) โˆ’ ๐ผ))
147145, 146bitrdi 287 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ) โ†” ๐‘‹ = ((๐ธ โˆ’ ๐‘†) โˆ’ ๐ผ)))
148138, 147orbi12d 918 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (-๐‘† + ๐ผ) โˆจ (๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ)) โ†” (๐‘‹ = ((๐ธ โˆ’ ๐‘†) + ๐ผ) โˆจ ๐‘‹ = ((๐ธ โˆ’ ๐‘†) โˆ’ ๐ผ))))
14934, 122addcld 11233 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† + ๐ฝ) โˆˆ โ„‚)
1508, 24, 149subaddd 11589 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (๐‘† + ๐ฝ) โ†” (๐ธ + (๐‘† + ๐ฝ)) = ๐‘‹))
15124, 34, 122addassd 11236 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ + ๐‘†) + ๐ฝ) = (๐ธ + (๐‘† + ๐ฝ)))
152151eqeq1d 2735 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธ + ๐‘†) + ๐ฝ) = ๐‘‹ โ†” (๐ธ + (๐‘† + ๐ฝ)) = ๐‘‹))
153150, 152bitr4d 282 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (๐‘† + ๐ฝ) โ†” ((๐ธ + ๐‘†) + ๐ฝ) = ๐‘‹))
154 eqcom 2740 . . . . 5 (((๐ธ + ๐‘†) + ๐ฝ) = ๐‘‹ โ†” ๐‘‹ = ((๐ธ + ๐‘†) + ๐ฝ))
155153, 154bitrdi 287 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (๐‘† + ๐ฝ) โ†” ๐‘‹ = ((๐ธ + ๐‘†) + ๐ฝ)))
15634, 122subcld 11571 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆ’ ๐ฝ) โˆˆ โ„‚)
1578, 24, 156subaddd 11589 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (๐‘† โˆ’ ๐ฝ) โ†” (๐ธ + (๐‘† โˆ’ ๐ฝ)) = ๐‘‹))
15824, 34, 122addsubassd 11591 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ + ๐‘†) โˆ’ ๐ฝ) = (๐ธ + (๐‘† โˆ’ ๐ฝ)))
159158eqeq1d 2735 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธ + ๐‘†) โˆ’ ๐ฝ) = ๐‘‹ โ†” (๐ธ + (๐‘† โˆ’ ๐ฝ)) = ๐‘‹))
160157, 159bitr4d 282 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (๐‘† โˆ’ ๐ฝ) โ†” ((๐ธ + ๐‘†) โˆ’ ๐ฝ) = ๐‘‹))
161 eqcom 2740 . . . . 5 (((๐ธ + ๐‘†) โˆ’ ๐ฝ) = ๐‘‹ โ†” ๐‘‹ = ((๐ธ + ๐‘†) โˆ’ ๐ฝ))
162160, 161bitrdi 287 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (๐‘† โˆ’ ๐ฝ) โ†” ๐‘‹ = ((๐ธ + ๐‘†) โˆ’ ๐ฝ)))
163155, 162orbi12d 918 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (๐‘† + ๐ฝ) โˆจ (๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (๐‘† โˆ’ ๐ฝ)) โ†” (๐‘‹ = ((๐ธ + ๐‘†) + ๐ฝ) โˆจ ๐‘‹ = ((๐ธ + ๐‘†) โˆ’ ๐ฝ))))
164148, 163orbi12d 918 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (-๐‘† + ๐ผ) โˆจ (๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ)) โˆจ ((๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (๐‘† + ๐ฝ) โˆจ (๐‘‹ โˆ’ ๐ธ) = (๐‘† โˆ’ ๐ฝ))) โ†” ((๐‘‹ = ((๐ธ โˆ’ ๐‘†) + ๐ผ) โˆจ ๐‘‹ = ((๐ธ โˆ’ ๐‘†) โˆ’ ๐ผ)) โˆจ (๐‘‹ = ((๐ธ + ๐‘†) + ๐ฝ) โˆจ ๐‘‹ = ((๐ธ + ๐‘†) โˆ’ ๐ฝ)))))
16519, 127, 1643bitrd 305 1 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘4) + (๐ด ยท (๐‘‹โ†‘3))) + ((๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐ถ ยท ๐‘‹) + ๐ท))) = 0 โ†” ((๐‘‹ = ((๐ธ โˆ’ ๐‘†) + ๐ผ) โˆจ ๐‘‹ = ((๐ธ โˆ’ ๐‘†) โˆ’ ๐ผ)) โˆจ (๐‘‹ = ((๐ธ + ๐‘†) + ๐ฝ) โˆจ ๐‘‹ = ((๐ธ + ๐‘†) โˆ’ ๐ฝ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  6c6 12271  7c7 12272  8c8 12273  9c9 12274  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  cdc 12677  โ†‘cexp 14027  โˆšcsqrt 15180  โ†‘๐‘ccxp 26064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066
This theorem is referenced by:  quartfull  34156
  Copyright terms: Public domain W3C validator