Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvtn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem signsvtn 33583
Description: Adding a letter of a different sign as the highest coefficient changes the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
signsv.w π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
signsvf.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}))
signsvf.0 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜0) β‰  0)
signsvf.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝐸 ++ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ©))
signsvf.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n 𝑁 = (β™―β€˜πΈ)
signsvt.b 𝐡 = ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))
Assertion
Ref Expression
signsvtn ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ ((π‘‰β€˜πΉ) βˆ’ (π‘‰β€˜πΈ)) = 1)
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,π‘Š,𝑖,𝑛   𝑓,π‘Ž,𝑖,𝑗,𝑏,𝑛,𝐴   𝐸,π‘Ž,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑇,π‘Ž,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   𝐡(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,π‘Ž,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   π‘Š(𝑗,π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem signsvtn
StepHypRef Expression
1 signsvf.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝐸 ++ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ©))
21fveq2d 6892 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‰β€˜πΉ) = (π‘‰β€˜(𝐸 ++ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ©)))
3 signsvf.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}))
4 signsvf.0 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜0) β‰  0)
5 signsvf.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6 signsv.p . . . . . . 7 ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
7 signsv.w . . . . . . 7 π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
8 signsv.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
9 signsv.v . . . . . . 7 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
106, 7, 8, 9signsvfn 33581 . . . . . 6 (((𝐸 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΈβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (π‘‰β€˜(𝐸 ++ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ©)) = ((π‘‰β€˜πΈ) + if((((π‘‡β€˜πΈ)β€˜((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1)) Β· 𝐴) < 0, 1, 0)))
113, 4, 5, 10syl21anc 836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‰β€˜(𝐸 ++ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ©)) = ((π‘‰β€˜πΈ) + if((((π‘‡β€˜πΈ)β€˜((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1)) Β· 𝐴) < 0, 1, 0)))
122, 11eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‰β€˜πΉ) = ((π‘‰β€˜πΈ) + if((((π‘‡β€˜πΈ)β€˜((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1)) Β· 𝐴) < 0, 1, 0)))
1312adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (π‘‰β€˜πΉ) = ((π‘‰β€˜πΈ) + if((((π‘‡β€˜πΈ)β€˜((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1)) Β· 𝐴) < 0, 1, 0)))
14 signsvt.b . . . . . . . 8 𝐡 = ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))
15 signsvf.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (β™―β€˜πΈ)
1615oveq1i 7415 . . . . . . . . 9 (𝑁 βˆ’ 1) = ((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1)
1716fveq2i 6891 . . . . . . . 8 ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1))
1814, 17eqtri 2760 . . . . . . 7 𝐡 = ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1))
1918oveq1i 7415 . . . . . 6 (𝐡 Β· 𝐴) = (((π‘‡β€˜πΈ)β€˜((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1)) Β· 𝐴)
203adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ 𝐸 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}))
2120eldifad 3959 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ 𝐸 ∈ Word ℝ)
226, 7, 8, 9signstf 33565 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ Word ℝ β†’ (π‘‡β€˜πΈ) ∈ Word ℝ)
23 wrdf 14465 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘‡β€˜πΈ) ∈ Word ℝ β†’ (π‘‡β€˜πΈ):(0..^(β™―β€˜(π‘‡β€˜πΈ)))βŸΆβ„)
2421, 22, 233syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (π‘‡β€˜πΈ):(0..^(β™―β€˜(π‘‡β€˜πΈ)))βŸΆβ„)
25 eldifsn 4789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 β‰  βˆ…))
263, 25sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 β‰  βˆ…))
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 β‰  βˆ…))
28 lennncl 14480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΈ) ∈ β„•)
29 fzo0end 13720 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜πΈ) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΈ)))
3027, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ ((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΈ)))
316, 7, 8, 9signstlen 33566 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ Word ℝ β†’ (β™―β€˜(π‘‡β€˜πΈ)) = (β™―β€˜πΈ))
3221, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (β™―β€˜(π‘‡β€˜πΈ)) = (β™―β€˜πΈ))
3332oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (0..^(β™―β€˜(π‘‡β€˜πΈ))) = (0..^(β™―β€˜πΈ)))
3430, 33eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ ((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜(π‘‡β€˜πΈ))))
3524, 34ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
3618, 35eqeltrid 2837 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3736recnd 11238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
385adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3938recnd 11238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4037, 39mulcomd 11231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (𝐡 Β· 𝐴) = (𝐴 Β· 𝐡))
41 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) < 0)
4240, 41eqbrtrd 5169 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (𝐡 Β· 𝐴) < 0)
4319, 42eqbrtrrid 5183 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (((π‘‡β€˜πΈ)β€˜((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1)) Β· 𝐴) < 0)
4443iftrued 4535 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ if((((π‘‡β€˜πΈ)β€˜((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1)) Β· 𝐴) < 0, 1, 0) = 1)
4544oveq2d 7421 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ ((π‘‰β€˜πΈ) + if((((π‘‡β€˜πΈ)β€˜((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1)) Β· 𝐴) < 0, 1, 0)) = ((π‘‰β€˜πΈ) + 1))
4613, 45eqtr2d 2773 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ ((π‘‰β€˜πΈ) + 1) = (π‘‰β€˜πΉ))
476, 7, 8, 9signsvvf 33578 . . . . . 6 𝑉:Word β„βŸΆβ„•0
4847a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ 𝑉:Word β„βŸΆβ„•0)
491adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ 𝐹 = (𝐸 ++ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ©))
5038s1cld 14549 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ© ∈ Word ℝ)
51 ccatcl 14520 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ© ∈ Word ℝ) β†’ (𝐸 ++ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ©) ∈ Word ℝ)
5221, 50, 51syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (𝐸 ++ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ©) ∈ Word ℝ)
5349, 52eqeltrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ 𝐹 ∈ Word ℝ)
5448, 53ffvelcdmd 7084 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (π‘‰β€˜πΉ) ∈ β„•0)
5554nn0cnd 12530 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (π‘‰β€˜πΉ) ∈ β„‚)
5648, 21ffvelcdmd 7084 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (π‘‰β€˜πΈ) ∈ β„•0)
5756nn0cnd 12530 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (π‘‰β€˜πΈ) ∈ β„‚)
58 1cnd 11205 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ 1 ∈ β„‚)
5955, 57, 58subaddd 11585 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (((π‘‰β€˜πΉ) βˆ’ (π‘‰β€˜πΈ)) = 1 ↔ ((π‘‰β€˜πΈ) + 1) = (π‘‰β€˜πΉ)))
6046, 59mpbird 256 1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ ((π‘‰β€˜πΉ) βˆ’ (π‘‰β€˜πΈ)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3944  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627  {cpr 4629  {ctp 4631  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   < clt 11244   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  β™―chash 14286  Word cword 14460   ++ cconcat 14516  βŸ¨β€œcs1 14541  sgncsgn 15029  Ξ£csu 15628  ndxcnx 17122  Basecbs 17140  +gcplusg 17193   Ξ£g cgsu 17382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-word 14461  df-lsw 14509  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-sgn 15030  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mulg 18945  df-cntz 19175
This theorem is referenced by:  signsvfnn  33585
  Copyright terms: Public domain W3C validator