Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvtn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsvtn 31463
Description: Adding a letter of a different sign as the highest coefficient changes the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvt.b 𝐵 = ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))
Assertion
Ref Expression
signsvtn ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑉𝐹) − (𝑉𝐸)) = 1)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑏,𝑛,𝐴   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvtn
StepHypRef Expression
1 signsvf.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
21fveq2d 6497 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉𝐹) = (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)))
3 signsvf.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
4 signsvf.0 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
5 signsvf.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 signsv.p . . . . . . 7 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
7 signsv.w . . . . . . 7 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
8 signsv.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
9 signsv.v . . . . . . 7 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
106, 7, 8, 9signsvfn 31461 . . . . . 6 (((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘0) ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
113, 4, 5, 10syl21anc 825 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
122, 11eqtrd 2808 . . . 4 (𝜑 → (𝑉𝐹) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
1312adantr 473 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉𝐹) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
14 signsvt.b . . . . . . . 8 𝐵 = ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))
15 signsvf.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (♯‘𝐸)
1615oveq1i 6980 . . . . . . . . 9 (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
1716fveq2i 6496 . . . . . . . 8 ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1))
1814, 17eqtri 2796 . . . . . . 7 𝐵 = ((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1))
1918oveq1i 6980 . . . . . 6 (𝐵 · 𝐴) = (((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴)
203adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
2120eldifad 3837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐸 ∈ Word ℝ)
226, 7, 8, 9signstf 31443 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ Word ℝ → (𝑇𝐸) ∈ Word ℝ)
23 wrdf 13667 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇𝐸) ∈ Word ℝ → (𝑇𝐸):(0..^(♯‘(𝑇𝐸)))⟶ℝ)
2421, 22, 233syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑇𝐸):(0..^(♯‘(𝑇𝐸)))⟶ℝ)
25 eldifsn 4587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
263, 25sylib 210 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
2726adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
28 lennncl 13685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
29 fzo0end 12937 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
3027, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
316, 7, 8, 9signstlen 31444 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ Word ℝ → (♯‘(𝑇𝐸)) = (♯‘𝐸))
3221, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (♯‘(𝑇𝐸)) = (♯‘𝐸))
3332oveq2d 6986 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (0..^(♯‘(𝑇𝐸))) = (0..^(♯‘𝐸)))
3430, 33eleqtrrd 2863 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑇𝐸))))
3524, 34ffvelrnd 6671 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) ∈ ℝ)
3618, 35syl5eqel 2864 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
3736recnd 10460 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
385adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3938recnd 10460 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4037, 39mulcomd 10453 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
41 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
4240, 41eqbrtrd 4945 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐵 · 𝐴) < 0)
4319, 42syl5eqbrr 4959 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0)
4443iftrued 4352 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0) = 1)
4544oveq2d 6986 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)) = ((𝑉𝐸) + 1))
4613, 45eqtr2d 2809 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑉𝐸) + 1) = (𝑉𝐹))
476, 7, 8, 9signsvvf 31458 . . . . . 6 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0
4847a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0)
491adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
5038s1cld 13756 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word ℝ)
51 ccatcl 13727 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word ℝ) → (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ Word ℝ)
5221, 50, 51syl2anc 576 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ Word ℝ)
5349, 52eqeltrd 2860 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
5448, 53ffvelrnd 6671 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉𝐹) ∈ ℕ0)
5554nn0cnd 11762 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉𝐹) ∈ ℂ)
5648, 21ffvelrnd 6671 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉𝐸) ∈ ℕ0)
5756nn0cnd 11762 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉𝐸) ∈ ℂ)
58 1cnd 10426 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 1 ∈ ℂ)
5955, 57, 58subaddd 10808 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (((𝑉𝐹) − (𝑉𝐸)) = 1 ↔ ((𝑉𝐸) + 1) = (𝑉𝐹)))
6046, 59mpbird 249 1 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑉𝐹) − (𝑉𝐸)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961  cdif 3822  c0 4173  ifcif 4344  {csn 4435  {cpr 4437  {ctp 4439  cop 4441   class class class wbr 4923  cmpt 5002  wf 6178  cfv 6182  (class class class)co 6970  cmpo 6972  cr 10326  0cc0 10327  1c1 10328   + caddc 10330   · cmul 10332   < clt 10466  cmin 10662  -cneg 10663  cn 11431  0cn0 11700  ...cfz 12701  ..^cfzo 12842  chash 13498  Word cword 13662   ++ cconcat 13723  ⟨“cs1 13748  sgncsgn 14296  Σcsu 14893  ndxcnx 16326  Basecbs 16329  +gcplusg 16411   Σg cgsu 16560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-supp 7627  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-sup 8693  df-oi 8761  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-n0 11701  df-xnn0 11773  df-z 11787  df-uz 12052  df-rp 12198  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-seq 13178  df-exp 13238  df-hash 13499  df-word 13663  df-lsw 13716  df-concat 13724  df-s1 13749  df-substr 13794  df-pfx 13843  df-sgn 14297  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-clim 14696  df-sum 14894  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-plusg 16424  df-0g 16561  df-gsum 16562  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-mulg 18002  df-cntz 18208
This theorem is referenced by:  signsvfnn  31465
  Copyright terms: Public domain W3C validator