Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvtn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem signsvtn 34257
Description: Adding a letter of a different sign as the highest coefficient changes the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
signsv.w π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
signsvf.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}))
signsvf.0 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜0) β‰  0)
signsvf.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝐸 ++ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ©))
signsvf.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n 𝑁 = (β™―β€˜πΈ)
signsvt.b 𝐡 = ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))
Assertion
Ref Expression
signsvtn ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ ((π‘‰β€˜πΉ) βˆ’ (π‘‰β€˜πΈ)) = 1)
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,π‘Š,𝑖,𝑛   𝑓,π‘Ž,𝑖,𝑗,𝑏,𝑛,𝐴   𝐸,π‘Ž,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑇,π‘Ž,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   𝐡(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,π‘Ž,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   π‘Š(𝑗,π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem signsvtn
StepHypRef Expression
1 signsvf.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝐸 ++ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ©))
21fveq2d 6906 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‰β€˜πΉ) = (π‘‰β€˜(𝐸 ++ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ©)))
3 signsvf.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}))
4 signsvf.0 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜0) β‰  0)
5 signsvf.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6 signsv.p . . . . . . 7 ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
7 signsv.w . . . . . . 7 π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
8 signsv.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
9 signsv.v . . . . . . 7 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
106, 7, 8, 9signsvfn 34255 . . . . . 6 (((𝐸 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΈβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (π‘‰β€˜(𝐸 ++ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ©)) = ((π‘‰β€˜πΈ) + if((((π‘‡β€˜πΈ)β€˜((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1)) Β· 𝐴) < 0, 1, 0)))
113, 4, 5, 10syl21anc 836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‰β€˜(𝐸 ++ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ©)) = ((π‘‰β€˜πΈ) + if((((π‘‡β€˜πΈ)β€˜((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1)) Β· 𝐴) < 0, 1, 0)))
122, 11eqtrd 2768 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‰β€˜πΉ) = ((π‘‰β€˜πΈ) + if((((π‘‡β€˜πΈ)β€˜((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1)) Β· 𝐴) < 0, 1, 0)))
1312adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (π‘‰β€˜πΉ) = ((π‘‰β€˜πΈ) + if((((π‘‡β€˜πΈ)β€˜((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1)) Β· 𝐴) < 0, 1, 0)))
14 signsvt.b . . . . . . . 8 𝐡 = ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))
15 signsvf.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (β™―β€˜πΈ)
1615oveq1i 7436 . . . . . . . . 9 (𝑁 βˆ’ 1) = ((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1)
1716fveq2i 6905 . . . . . . . 8 ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1))
1814, 17eqtri 2756 . . . . . . 7 𝐡 = ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1))
1918oveq1i 7436 . . . . . 6 (𝐡 Β· 𝐴) = (((π‘‡β€˜πΈ)β€˜((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1)) Β· 𝐴)
203adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ 𝐸 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}))
2120eldifad 3961 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ 𝐸 ∈ Word ℝ)
226, 7, 8, 9signstf 34239 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ Word ℝ β†’ (π‘‡β€˜πΈ) ∈ Word ℝ)
23 wrdf 14511 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘‡β€˜πΈ) ∈ Word ℝ β†’ (π‘‡β€˜πΈ):(0..^(β™―β€˜(π‘‡β€˜πΈ)))βŸΆβ„)
2421, 22, 233syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (π‘‡β€˜πΈ):(0..^(β™―β€˜(π‘‡β€˜πΈ)))βŸΆβ„)
25 eldifsn 4795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 β‰  βˆ…))
263, 25sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 β‰  βˆ…))
2726adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 β‰  βˆ…))
28 lennncl 14526 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΈ) ∈ β„•)
29 fzo0end 13766 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜πΈ) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΈ)))
3027, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ ((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΈ)))
316, 7, 8, 9signstlen 34240 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ Word ℝ β†’ (β™―β€˜(π‘‡β€˜πΈ)) = (β™―β€˜πΈ))
3221, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (β™―β€˜(π‘‡β€˜πΈ)) = (β™―β€˜πΈ))
3332oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (0..^(β™―β€˜(π‘‡β€˜πΈ))) = (0..^(β™―β€˜πΈ)))
3430, 33eleqtrrd 2832 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ ((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜(π‘‡β€˜πΈ))))
3524, 34ffvelcdmd 7100 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
3618, 35eqeltrid 2833 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3736recnd 11282 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
385adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3938recnd 11282 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4037, 39mulcomd 11275 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (𝐡 Β· 𝐴) = (𝐴 Β· 𝐡))
41 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) < 0)
4240, 41eqbrtrd 5174 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (𝐡 Β· 𝐴) < 0)
4319, 42eqbrtrrid 5188 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (((π‘‡β€˜πΈ)β€˜((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1)) Β· 𝐴) < 0)
4443iftrued 4540 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ if((((π‘‡β€˜πΈ)β€˜((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1)) Β· 𝐴) < 0, 1, 0) = 1)
4544oveq2d 7442 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ ((π‘‰β€˜πΈ) + if((((π‘‡β€˜πΈ)β€˜((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1)) Β· 𝐴) < 0, 1, 0)) = ((π‘‰β€˜πΈ) + 1))
4613, 45eqtr2d 2769 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ ((π‘‰β€˜πΈ) + 1) = (π‘‰β€˜πΉ))
476, 7, 8, 9signsvvf 34252 . . . . . 6 𝑉:Word β„βŸΆβ„•0
4847a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ 𝑉:Word β„βŸΆβ„•0)
491adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ 𝐹 = (𝐸 ++ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ©))
5038s1cld 14595 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ© ∈ Word ℝ)
51 ccatcl 14566 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ© ∈ Word ℝ) β†’ (𝐸 ++ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ©) ∈ Word ℝ)
5221, 50, 51syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (𝐸 ++ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ©) ∈ Word ℝ)
5349, 52eqeltrd 2829 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ 𝐹 ∈ Word ℝ)
5448, 53ffvelcdmd 7100 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (π‘‰β€˜πΉ) ∈ β„•0)
5554nn0cnd 12574 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (π‘‰β€˜πΉ) ∈ β„‚)
5648, 21ffvelcdmd 7100 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (π‘‰β€˜πΈ) ∈ β„•0)
5756nn0cnd 12574 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (π‘‰β€˜πΈ) ∈ β„‚)
58 1cnd 11249 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ 1 ∈ β„‚)
5955, 57, 58subaddd 11629 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ (((π‘‰β€˜πΉ) βˆ’ (π‘‰β€˜πΈ)) = 1 ↔ ((π‘‰β€˜πΈ) + 1) = (π‘‰β€˜πΉ)))
6046, 59mpbird 256 1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝐡) < 0) β†’ ((π‘‰β€˜πΉ) βˆ’ (π‘‰β€˜πΈ)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   βˆ– cdif 3946  βˆ…c0 4326  ifcif 4532  {csn 4632  {cpr 4634  {ctp 4636  βŸ¨cop 4638   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  β„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   Β· cmul 11153   < clt 11288   βˆ’ cmin 11484  -cneg 11485  β„•cn 12252  β„•0cn0 12512  ...cfz 13526  ..^cfzo 13669  β™―chash 14331  Word cword 14506   ++ cconcat 14562  βŸ¨β€œcs1 14587  sgncsgn 15075  Ξ£csu 15674  ndxcnx 17171  Basecbs 17189  +gcplusg 17242   Ξ£g cgsu 17431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-word 14507  df-lsw 14555  df-concat 14563  df-s1 14588  df-substr 14633  df-pfx 14663  df-sgn 15076  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-sum 15675  df-struct 17125  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mulg 19038  df-cntz 19282
This theorem is referenced by:  signsvfnn  34259
  Copyright terms: Public domain W3C validator