Theorem signsvtn 35213

Description: Adding a letter of a different sign as the highest coefficient changes the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0	⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvt.b	⊢ 𝐵 = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))

Assertion

Ref	Expression
signsvtn	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑉‘𝐹) − (𝑉‘𝐸)) = 1)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑏,𝑛,𝐴   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝐵(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   ⨣ (𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗, 𝑎, 𝑏)   𝑁(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝑉(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝑊(𝑗, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem signsvtn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsvf.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
2	1	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)))
3		signsvf.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
4		signsvf.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
5		signsvf.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6		signsv.p	. . . . . . 7 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
7		signsv.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
8		signsv.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
9		signsv.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
10	6, 7, 8, 9	signsvfn 35211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘0) ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
11	3, 4, 5, 10	syl21anc 851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
12	2, 11	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐹) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉‘𝐹) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
14		signsvt.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))
15		signsvf.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
16	15	oveq1i 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
17	16	fveq2i 6888	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1))
18	14, 17	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = ((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1))
19	18	oveq1i 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝐴) = (((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴)
20	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
21	20	eldifad 3911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐸 ∈ Word ℝ)
22	6, 7, 8, 9	signstf 35195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐸) ∈ Word ℝ)
23		wrdf 14663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇‘𝐸) ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐸):(0..^(♯‘(𝑇‘𝐸)))⟶ℝ)
24	21, 22, 23	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑇‘𝐸):(0..^(♯‘(𝑇‘𝐸)))⟶ℝ)
25		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
26	3, 25	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
27	26	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
28		lennncl 14679	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
29		fzo0end 13893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
30	27, 28, 29	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
31	6, 7, 8, 9	signstlen 35196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → (♯‘(𝑇‘𝐸)) = (♯‘𝐸))
32	21, 31	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (♯‘(𝑇‘𝐸)) = (♯‘𝐸))
33	32	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (0..^(♯‘(𝑇‘𝐸))) = (0..^(♯‘𝐸)))
34	30, 33	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑇‘𝐸))))
35	24, 34	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) ∈ ℝ)
36	18, 35	eqeltrid 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
37	36	recnd 11337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	5	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
39	38	recnd 11337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
40	37, 39	mulcomd 11330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
41		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
42	40, 41	eqbrtrd 5127	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐵 · 𝐴) < 0)
43	19, 42	eqbrtrrid 5141	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0)
44	43	iftrued 4490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0) = 1)
45	44	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)) = ((𝑉‘𝐸) + 1))
46	13, 45	eqtr2d 2797	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑉‘𝐸) + 1) = (𝑉‘𝐹))
47	6, 7, 8, 9	signsvvf 35208	. . . . . 6 ⊢ 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0
48	47	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0)
49	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
50	38	s1cld 14750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word ℝ)
51		ccatcl 14719	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word ℝ) → (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ Word ℝ)
52	21, 50, 51	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ Word ℝ)
53	49, 52	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
54	48, 53	ffvelcdmd 7085	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉‘𝐹) ∈ ℕ0)
55	54	nn0cnd 12669	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉‘𝐹) ∈ ℂ)
56	48, 21	ffvelcdmd 7085	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉‘𝐸) ∈ ℕ0)
57	56	nn0cnd 12669	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉‘𝐸) ∈ ℂ)
58		1cnd 11302	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 1 ∈ ℂ)
59	55, 57, 58	subaddd 11687	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (((𝑉‘𝐹) − (𝑉‘𝐸)) = 1 ↔ ((𝑉‘𝐸) + 1) = (𝑉‘𝐹)))
60	46, 59	mpbird 260	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑉‘𝐹) − (𝑉‘𝐸)) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3896  ∅c0 4279  ifcif 4482  {csn 4584  {cpr 4586  {ctp 4588  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   − cmin 11541  -cneg 11542  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ...cfz 13639  ..^cfzo 13788  ♯chash 14474  Word cword 14658   ++ cconcat 14715  ⟨“cs1 14742  sgncsgn 15239  Σcsu 15853  ndxcnx 17371  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428   Σ_g cgsu 17611

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-word 14659  df-lsw 14708  df-concat 14716  df-s1 14743  df-substr 14789  df-pfx 14821  df-sgn 15240  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mulg 19278  df-cntz 19531

This theorem is used by:  signsvfnn  35215