Theorem signsvtn 34916

Description: Adding a letter of a different sign as the highest coefficient changes the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0	⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvt.b	⊢ 𝐵 = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))

Assertion

Ref	Expression
signsvtn	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑉‘𝐹) − (𝑉‘𝐸)) = 1)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑏,𝑛,𝐴   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvtn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsvf.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
2	1	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)))
3		signsvf.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
4		signsvf.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
5		signsvf.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6		signsv.p	. . . . . . 7 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
7		signsv.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
8		signsv.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
9		signsv.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
10	6, 7, 8, 9	signsvfn 34914	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘0) ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
11	3, 4, 5, 10	syl21anc 850	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
12	2, 11	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐹) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
13	12	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉‘𝐹) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
14		signsvt.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))
15		signsvf.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
16	15	oveq1i 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
17	16	fveq2i 6885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1))
18	14, 17	eqtri 2792	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = ((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1))
19	18	oveq1i 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝐴) = (((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴)
20	3	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
21	20	eldifad 3925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐸 ∈ Word ℝ)
22	6, 7, 8, 9	signstf 34898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐸) ∈ Word ℝ)
23		wrdf 14555	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇‘𝐸) ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐸):(0..^(♯‘(𝑇‘𝐸)))⟶ℝ)
24	21, 22, 23	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑇‘𝐸):(0..^(♯‘(𝑇‘𝐸)))⟶ℝ)
25		eldifsn 4758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
26	3, 25	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
27	26	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
28		lennncl 14571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
29		fzo0end 13787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
30	27, 28, 29	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
31	6, 7, 8, 9	signstlen 34899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → (♯‘(𝑇‘𝐸)) = (♯‘𝐸))
32	21, 31	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (♯‘(𝑇‘𝐸)) = (♯‘𝐸))
33	32	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (0..^(♯‘(𝑇‘𝐸))) = (0..^(♯‘𝐸)))
34	30, 33	eleqtrrd 2872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑇‘𝐸))))
35	24, 34	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) ∈ ℝ)
36	18, 35	eqeltrid 2873	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
37	36	recnd 11237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	5	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
39	38	recnd 11237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
40	37, 39	mulcomd 11230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
41		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
42	40, 41	eqbrtrd 5137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐵 · 𝐴) < 0)
43	19, 42	eqbrtrrid 5151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0)
44	43	iftrued 4500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0) = 1)
45	44	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)) = ((𝑉‘𝐸) + 1))
46	13, 45	eqtr2d 2805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑉‘𝐸) + 1) = (𝑉‘𝐹))
47	6, 7, 8, 9	signsvvf 34911	. . . . . 6 ⊢ 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0
48	47	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0)
49	1	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
50	38	s1cld 14641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word ℝ)
51		ccatcl 14611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word ℝ) → (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ Word ℝ)
52	21, 50, 51	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ Word ℝ)
53	49, 52	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
54	48, 53	ffvelcdmd 7081	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉‘𝐹) ∈ ℕ0)
55	54	nn0cnd 12567	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉‘𝐹) ∈ ℂ)
56	48, 21	ffvelcdmd 7081	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉‘𝐸) ∈ ℕ0)
57	56	nn0cnd 12567	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉‘𝐸) ∈ ℂ)
58		1cnd 11202	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 1 ∈ ℂ)
59	55, 57, 58	subaddd 11587	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (((𝑉‘𝐹) − (𝑉‘𝐸)) = 1 ↔ ((𝑉‘𝐸) + 1) = (𝑉‘𝐹)))
60	46, 59	mpbird 260	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑉‘𝐹) − (𝑉‘𝐸)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∖ cdif 3910  ∅c0 4294  ifcif 4492  {csn 4594  {cpr 4596  {ctp 4598  ⟨cop 4600   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   < clt 11243   − cmin 11441  -cneg 11442  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504  ...cfz 13535  ..^cfzo 13682  ♯chash 14366  Word cword 14550   ++ cconcat 14607  ⟨“cs1 14633  sgncsgn 15123  Σcsu 15737  ndxcnx 17253  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310   Σ_g cgsu 17493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-word 14551  df-lsw 14600  df-concat 14608  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-sgn 15124  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-sum 15738  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mulg 19134  df-cntz 19387

This theorem is referenced by:  signsvfnn  34918