Theorem evlvar 22418

Description: Simple polynomial evaluation maps variables to projections. (Contributed by AV, 12-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlvar.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
evlvar.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑆)
evlvar.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evlvar.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
evlvar.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlvar.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
evlvar	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑉‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐼   𝑆,𝑔   𝑔,𝑊   𝑔,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝑉(𝑔)

Proof of Theorem evlvar

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)
2		evlvar.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵)) = (𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵))
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵)
5		evlvar.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
6		evlvar.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7		evlvar.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
8		crngring 20473	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
9	5	subrgid 20826	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
10	7, 8, 9	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
11		evlvar.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11	evlsvarsrng 22417	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵))‘𝑋)) = (𝑄‘((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵))‘𝑋)))
13	1, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11	evlsvar 22405	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵))‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))
14		evlvar.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑆)
15	14, 6, 10, 4	subrgmvr 22343	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵)))
16	15	fveq1d 6888	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) = ((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵))‘𝑋))
17	16	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵))‘𝑋) = (𝑉‘𝑋))
18	17	fveq2d 6890	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵))‘𝑋)) = (𝑄‘(𝑉‘𝑋)))
19	12, 13, 18	3eqtr3rd 2805	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑉‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ↑_m cmap 8848  Basecbs 17388   ↾_s cress 17409  Ringcrg 20460  CRingccrg 20461  SubRingcsubrg 20822   mVar cmvr 22214   evalSub ces 22382   eval cevl 22383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-ofr 7695  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8179  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-sup 9435  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-hash 14476  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-hom 17453  df-cco 17454  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-prds 17619  df-pws 17621  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-mhm 18979  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-mulg 19279  df-subg 19334  df-ghm 19429  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-srg 20414  df-ring 20462  df-cring 20463  df-rhm 20703  df-subrng 20799  df-subrg 20823  df-lmod 21138  df-lss 21208  df-lsp 21248  df-assa 22162  df-asp 22163  df-ascl 22164  df-psr 22218  df-mvr 22219  df-mpl 22220  df-evls 22384  df-evl 22385

This theorem is used by:  evlvarval  34174