Theorem evlvar 22268

Description: Simple polynomial evaluation maps variables to projections. (Contributed by AV, 12-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlvar.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
evlvar.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑆)
evlvar.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evlvar.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
evlvar.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlvar.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
evlvar	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑉‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐼   𝑆,𝑔   𝑔,𝑊   𝑔,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝑉(𝑔)

Proof of Theorem evlvar

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)
2		evlvar.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵)) = (𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵))
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵)
5		evlvar.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
6		evlvar.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7		evlvar.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
8		crngring 20331	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
9	5	subrgid 20681	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
10	7, 8, 9	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
11		evlvar.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11	evlsvarsrng 22267	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵))‘𝑋)) = (𝑄‘((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵))‘𝑋)))
13	1, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11	evlsvar 22255	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵))‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))
14		evlvar.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑆)
15	14, 6, 10, 4	subrgmvr 22193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵)))
16	15	fveq1d 6883	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) = ((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵))‘𝑋))
17	16	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵))‘𝑋) = (𝑉‘𝑋))
18	17	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵))‘𝑋)) = (𝑄‘(𝑉‘𝑋)))
19	12, 13, 18	3eqtr3rd 2807	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑉‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  Basecbs 17273   ↾_s cress 17294  Ringcrg 20319  CRingccrg 20320  SubRingcsubrg 20677   mVar cmvr 22064   evalSub ces 22232   eval cevl 22233

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-seq 14043  df-hash 14372  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-hom 17338  df-cco 17339  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-prds 17504  df-pws 17506  df-mre 17642  df-mrc 17643  df-acs 17645  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-mhm 18845  df-submnd 18846  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-mulg 19138  df-subg 19193  df-ghm 19288  df-cntz 19391  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-srg 20273  df-ring 20321  df-cring 20322  df-rhm 20559  df-subrng 20654  df-subrg 20678  df-lmod 20992  df-lss 21062  df-lsp 21102  df-assa 22012  df-asp 22013  df-ascl 22014  df-psr 22068  df-mvr 22069  df-mpl 22070  df-evls 22234  df-evl 22235

This theorem is used by:  evlvarval  33940