Theorem sumeq12rdv 15758

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Dec-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumeq12rdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
sumeq12rdv.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
sumeq12rdv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐷)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem sumeq12rdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq12rdv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	sumeq1d 15751	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3		sumeq12rdv.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
4	3	sumeq2dv 15753	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐷)
5	2, 4	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Σcsu 15737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-seq 14038  df-sum 15738

This theorem is referenced by:  fsum0diag2  15834  bpolylem  16102  plyn0mulidp  26411  birthdaylem2  27083  dchrvmasumiflem1  27631  selberg2lem  27680  chpdifbndlem1  27683  logdivbnd  27686  pntrsumo1  27695  pntrlog2bndlem1  27707  pntrlog2bndlem2  27708  pntrlog2bndlem4  27710  pntlemo  27737  dvnmul  46584  dvnprodlem1  46587  elaa2lem  46874  altgsumbcALT  49053