Theorem swapf2 49971

Description: The morphism part of the swap functor swaps the morphisms. (Contributed by Zhi Wang, 7-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapf1.o	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
swapf1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
swapf1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
swapf2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
swapf2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐷))
swapf2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍))
swapf2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊))

Assertion

Ref	Expression
swapf2	⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩)𝐺) = ⟨𝐺, 𝐹⟩)

Proof of Theorem swapf2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7414	. 2 ⊢ (𝐹(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩)𝐺) = ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩)‘⟨𝐹, 𝐺⟩)
2		swapf1.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
3		swapf1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
4		swapf1.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
5		swapf2.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
6		swapf2.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐷))
7		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝐶 ×c 𝐷) = (𝐶 ×c 𝐷)
8		eqidd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷)) = (Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷)))
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	swapf2val 49970	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩) = (𝑓 ∈ (⟨𝑋, 𝑌⟩(Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷))⟨𝑍, 𝑊⟩) ↦ ∪ ◡{𝑓}))
10		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩) → 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩)
11	10	sneqd 4606	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩) → {𝑓} = {⟨𝐹, 𝐺⟩})
12	11	cnveqd 5862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩) → ◡{𝑓} = ◡{⟨𝐹, 𝐺⟩})
13	12	unieqd 4889	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩) → ∪ ◡{𝑓} = ∪ ◡{⟨𝐹, 𝐺⟩})
14		opswap 6231	. . . 4 ⊢ ∪ ◡{⟨𝐹, 𝐺⟩} = ⟨𝐺, 𝐹⟩
15	13, 14	eqtrdi 2820	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩) → ∪ ◡{𝑓} = ⟨𝐺, 𝐹⟩)
16		swapf2.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍))
17		swapf2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊))
18	16, 17	opelxpd 5701	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)))
19		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
20		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
21		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
22		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
23		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷)) = (Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷))
24	7, 19, 20, 21, 22, 3, 4, 5, 6, 23	xpchom2 18242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩(Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷))⟨𝑍, 𝑊⟩) = ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)))
25	18, 24	eleqtrrd 2872	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (⟨𝑋, 𝑌⟩(Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷))⟨𝑍, 𝑊⟩))
26		opex 5446	. . . 4 ⊢ ⟨𝐺, 𝐹⟩ ∈ V
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐺, 𝐹⟩ ∈ V)
28	9, 15, 25, 27	fvmptd 6998	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩)‘⟨𝐹, 𝐺⟩) = ⟨𝐺, 𝐹⟩)
29	1, 28	eqtrid 2816	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩)𝐺) = ⟨𝐺, 𝐹⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  {csn 4594  ⟨cop 4600  ∪ cuni 4876   × cxp 5660  ^◡ccnv 5661  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  Hom chom 17321   ×_c cxpc 18224   swap_F cswapf 49956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-hom 17334  df-cco 17335  df-xpc 18228  df-swapf 49957

This theorem is referenced by:  swapfid  49976  cofuswapf2  49992