Theorem swapf2 49306

Description: The morphism part of the swap functor swaps the morphisms. (Contributed by Zhi Wang, 7-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapf1.o	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
swapf1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
swapf1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
swapf2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
swapf2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐷))
swapf2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍))
swapf2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊))

Assertion

Ref	Expression
swapf2	⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩)𝐺) = ⟨𝐺, 𝐹⟩)

Proof of Theorem swapf2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7344	. 2 ⊢ (𝐹(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩)𝐺) = ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩)‘⟨𝐹, 𝐺⟩)
2		swapf1.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
3		swapf1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
4		swapf1.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
5		swapf2.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
6		swapf2.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐷))
7		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝐶 ×c 𝐷) = (𝐶 ×c 𝐷)
8		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷)) = (Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷)))
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	swapf2val 49305	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩) = (𝑓 ∈ (⟨𝑋, 𝑌⟩(Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷))⟨𝑍, 𝑊⟩) ↦ ∪ ◡{𝑓}))
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩) → 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩)
11	10	sneqd 4583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩) → {𝑓} = {⟨𝐹, 𝐺⟩})
12	11	cnveqd 5810	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩) → ◡{𝑓} = ◡{⟨𝐹, 𝐺⟩})
13	12	unieqd 4867	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩) → ∪ ◡{𝑓} = ∪ ◡{⟨𝐹, 𝐺⟩})
14		opswap 6171	. . . 4 ⊢ ∪ ◡{⟨𝐹, 𝐺⟩} = ⟨𝐺, 𝐹⟩
15	13, 14	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩) → ∪ ◡{𝑓} = ⟨𝐺, 𝐹⟩)
16		swapf2.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍))
17		swapf2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊))
18	16, 17	opelxpd 5650	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)))
19		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
20		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
21		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
22		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
23		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷)) = (Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷))
24	7, 19, 20, 21, 22, 3, 4, 5, 6, 23	xpchom2 18087	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩(Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷))⟨𝑍, 𝑊⟩) = ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)))
25	18, 24	eleqtrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (⟨𝑋, 𝑌⟩(Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷))⟨𝑍, 𝑊⟩))
26		opex 5399	. . . 4 ⊢ ⟨𝐺, 𝐹⟩ ∈ V
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐺, 𝐹⟩ ∈ V)
28	9, 15, 25, 27	fvmptd 6931	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩)‘⟨𝐹, 𝐺⟩) = ⟨𝐺, 𝐹⟩)
29	1, 28	eqtrid 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩)𝐺) = ⟨𝐺, 𝐹⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  {csn 4571  ⟨cop 4577  ∪ cuni 4854   × cxp 5609  ^◡ccnv 5610  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  Hom chom 17167   ×_c cxpc 18069   swap_F cswapf 49291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-hom 17180  df-cco 17181  df-xpc 18073  df-swapf 49292

This theorem is referenced by:  swapfid  49311  cofuswapf2  49327