Theorem swapf2 49025

Description: The morphism part of the swap functor swaps the morphisms. (Contributed by Zhi Wang, 7-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapf1.o	⊢ (𝜑 → (𝐶swapF𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
swapf1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
swapf1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
swapf2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
swapf2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐷))
swapf2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍))
swapf2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊))

Assertion

Ref	Expression
swapf2	⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩)𝐺) = ⟨𝐺, 𝐹⟩)

Proof of Theorem swapf2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7416	. 2 ⊢ (𝐹(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩)𝐺) = ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩)‘⟨𝐹, 𝐺⟩)
2		swapf1.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶swapF𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
3		swapf1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
4		swapf1.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
5		swapf2.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
6		swapf2.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐷))
7		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝐶 ×c 𝐷) = (𝐶 ×c 𝐷)
8		eqidd 2735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷)) = (Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷)))
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	swapf2val 49024	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩) = (𝑓 ∈ (⟨𝑋, 𝑌⟩(Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷))⟨𝑍, 𝑊⟩) ↦ ∪ ◡{𝑓}))
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩) → 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩)
11	10	sneqd 4618	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩) → {𝑓} = {⟨𝐹, 𝐺⟩})
12	11	cnveqd 5866	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩) → ◡{𝑓} = ◡{⟨𝐹, 𝐺⟩})
13	12	unieqd 4900	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩) → ∪ ◡{𝑓} = ∪ ◡{⟨𝐹, 𝐺⟩})
14		opswap 6229	. . . 4 ⊢ ∪ ◡{⟨𝐹, 𝐺⟩} = ⟨𝐺, 𝐹⟩
15	13, 14	eqtrdi 2785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩) → ∪ ◡{𝑓} = ⟨𝐺, 𝐹⟩)
16		swapf2.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍))
17		swapf2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊))
18	16, 17	opelxpd 5704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)))
19		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
20		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
21		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
22		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
23		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷)) = (Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷))
24	7, 19, 20, 21, 22, 3, 4, 5, 6, 23	xpchom2 18202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩(Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷))⟨𝑍, 𝑊⟩) = ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)))
25	18, 24	eleqtrrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (⟨𝑋, 𝑌⟩(Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷))⟨𝑍, 𝑊⟩))
26		opex 5449	. . . 4 ⊢ ⟨𝐺, 𝐹⟩ ∈ V
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐺, 𝐹⟩ ∈ V)
28	9, 15, 25, 27	fvmptd 7003	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩)‘⟨𝐹, 𝐺⟩) = ⟨𝐺, 𝐹⟩)
29	1, 28	eqtrid 2781	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩)𝐺) = ⟨𝐺, 𝐹⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463  {csn 4606  ⟨cop 4612  ∪ cuni 4887   × cxp 5663  ^◡ccnv 5664  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Basecbs 17230  Hom chom 17285   ×_c cxpc 18184  swap_Fcswapf 49010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-fz 13530  df-struct 17167  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-hom 17298  df-cco 17299  df-xpc 18188  df-swapf 49011

This theorem is referenced by:  swapfid  49030  cofuswapf2  49040