Theorem swapf2 49761

Description: The morphism part of the swap functor swaps the morphisms. (Contributed by Zhi Wang, 7-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapf1.o	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
swapf1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
swapf1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
swapf2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
swapf2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐷))
swapf2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍))
swapf2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊))

Assertion

Ref	Expression
swapf2	⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩)𝐺) = ⟨𝐺, 𝐹⟩)

Proof of Theorem swapf2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7363	. 2 ⊢ (𝐹(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩)𝐺) = ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩)‘⟨𝐹, 𝐺⟩)
2		swapf1.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
3		swapf1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
4		swapf1.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
5		swapf2.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
6		swapf2.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐷))
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐶 ×c 𝐷) = (𝐶 ×c 𝐷)
8		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷)) = (Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷)))
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	swapf2val 49760	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩) = (𝑓 ∈ (⟨𝑋, 𝑌⟩(Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷))⟨𝑍, 𝑊⟩) ↦ ∪ ◡{𝑓}))
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩) → 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩)
11	10	sneqd 4580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩) → {𝑓} = {⟨𝐹, 𝐺⟩})
12	11	cnveqd 5824	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩) → ◡{𝑓} = ◡{⟨𝐹, 𝐺⟩})
13	12	unieqd 4864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩) → ∪ ◡{𝑓} = ∪ ◡{⟨𝐹, 𝐺⟩})
14		opswap 6187	. . . 4 ⊢ ∪ ◡{⟨𝐹, 𝐺⟩} = ⟨𝐺, 𝐹⟩
15	13, 14	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = ⟨𝐹, 𝐺⟩) → ∪ ◡{𝑓} = ⟨𝐺, 𝐹⟩)
16		swapf2.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍))
17		swapf2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊))
18	16, 17	opelxpd 5663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)))
19		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
20		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
21		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
22		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
23		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷)) = (Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷))
24	7, 19, 20, 21, 22, 3, 4, 5, 6, 23	xpchom2 18143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩(Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷))⟨𝑍, 𝑊⟩) = ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)))
25	18, 24	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (⟨𝑋, 𝑌⟩(Hom ‘(𝐶 ×c 𝐷))⟨𝑍, 𝑊⟩))
26		opex 5411	. . . 4 ⊢ ⟨𝐺, 𝐹⟩ ∈ V
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐺, 𝐹⟩ ∈ V)
28	9, 15, 25, 27	fvmptd 6949	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩)‘⟨𝐹, 𝐺⟩) = ⟨𝐺, 𝐹⟩)
29	1, 28	eqtrid 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩)𝐺) = ⟨𝐺, 𝐹⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  {csn 4568  ⟨cop 4574  ∪ cuni 4851   × cxp 5622  ^◡ccnv 5623  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  Hom chom 17222   ×_c cxpc 18125   swap_F cswapf 49746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-hom 17235  df-cco 17236  df-xpc 18129  df-swapf 49747

This theorem is referenced by:  swapfid  49766  cofuswapf2  49782