Theorem swapfiso 49036

Description: The swap functor is an isomorphism between product categories. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapfid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
swapfid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
swapfid.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
swapfid.t	⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
swapfiso.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
swapfiso.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
swapfiso.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
swapfiso.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
swapfiso.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
swapfiso	⊢ (𝜑 → (𝐶swapF𝐷) ∈ (𝑆𝐼𝑇))

Proof of Theorem swapfiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swapfid.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
2		swapfid.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
3	1, 2	swapfelvv 49014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶swapF𝐷) ∈ (V × V))
4		1st2nd2 8035	. . . 4 ⊢ ((𝐶swapF𝐷) ∈ (V × V) → (𝐶swapF𝐷) = ⟨(1st ‘(𝐶swapF𝐷)), (2nd ‘(𝐶swapF𝐷))⟩)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶swapF𝐷) = ⟨(1st ‘(𝐶swapF𝐷)), (2nd ‘(𝐶swapF𝐷))⟩)
6		swapfid.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
7		swapfid.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
8	1, 2, 6, 7, 5	swapfffth 49034	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐶swapF𝐷))((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇))(2nd ‘(𝐶swapF𝐷)))
9		df-br 5124	. . . 4 ⊢ ((1st ‘(𝐶swapF𝐷))((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇))(2nd ‘(𝐶swapF𝐷)) ↔ ⟨(1st ‘(𝐶swapF𝐷)), (2nd ‘(𝐶swapF𝐷))⟩ ∈ ((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇)))
10	8, 9	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(1st ‘(𝐶swapF𝐷)), (2nd ‘(𝐶swapF𝐷))⟩ ∈ ((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇)))
11	5, 10	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶swapF𝐷) ∈ ((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇)))
12		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
13		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
14	5, 6, 7, 1, 2, 12, 13	swapf1f1o 49026	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐶swapF𝐷)):(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇))
15		swapfiso.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
16		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
17		swapfiso.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
18		swapfiso.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
19	6, 1, 2	xpccat 18206	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Cat)
20	18, 19	elind 4180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
21	15, 16, 17	catcbas 18118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
22	20, 21	eleqtrrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐸))
23		swapfiso.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
24	7, 2, 1	xpccat 18206	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Cat)
25	23, 24	elind 4180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
26	25, 21	eleqtrrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐸))
27		swapfiso.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐸)
28	15, 16, 12, 13, 17, 22, 26, 27	catciso 18128	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶swapF𝐷) ∈ (𝑆𝐼𝑇) ↔ ((𝐶swapF𝐷) ∈ ((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇)) ∧ (1st ‘(𝐶swapF𝐷)):(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇))))
29	11, 14, 28	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶swapF𝐷) ∈ (𝑆𝐼𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463   ∩ cin 3930  ⟨cop 4612   class class class wbr 5123   × cxp 5663  –1-1-onto→wf1o 6540  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  1^st c1st 7994  2^nd c2nd 7995  Basecbs 17230  Catccat 17679  Isociso 17762   Full cful 17921   Faith cfth 17922  CatCatccatc 18115   ×_c cxpc 18184  swap_Fcswapf 49010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-map 8850  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-fz 13530  df-struct 17167  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-hom 17298  df-cco 17299  df-cat 17683  df-cid 17684  df-sect 17763  df-inv 17764  df-iso 17765  df-func 17875  df-idfu 17876  df-cofu 17877  df-full 17923  df-fth 17924  df-catc 18116  df-xpc 18188  df-swapf 49011

This theorem is referenced by:  swapciso  49037