Theorem swapfiso 49317

Description: The swap functor is an isomorphism between product categories. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapfid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
swapfid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
swapfid.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
swapfid.t	⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
swapfiso.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
swapfiso.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
swapfiso.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
swapfiso.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
swapfiso.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
swapfiso	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) ∈ (𝑆𝐼𝑇))

Proof of Theorem swapfiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swapfid.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
2		swapfid.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
3	1, 2	swapfelvv 49295	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) ∈ (V × V))
4		1st2nd2 7955	. . . 4 ⊢ ((𝐶 swapF 𝐷) ∈ (V × V) → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨(1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)), (2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷))⟩)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨(1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)), (2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷))⟩)
6		swapfid.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
7		swapfid.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
8	1, 2, 6, 7, 5	swapfffth 49315	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐶 swapF 𝐷))((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇))(2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷)))
9		df-br 5087	. . . 4 ⊢ ((1st ‘(𝐶 swapF 𝐷))((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇))(2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷)) ↔ ⟨(1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)), (2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷))⟩ ∈ ((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇)))
10	8, 9	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)), (2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷))⟩ ∈ ((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇)))
11	5, 10	eqeltrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) ∈ ((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇)))
12		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
13		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
14	5, 6, 7, 1, 2, 12, 13	swapf1f1o 49307	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)):(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇))
15		swapfiso.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
16		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
17		swapfiso.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
18		swapfiso.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
19	6, 1, 2	xpccat 18091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Cat)
20	18, 19	elind 4145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
21	15, 16, 17	catcbas 18003	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
22	20, 21	eleqtrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐸))
23		swapfiso.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
24	7, 2, 1	xpccat 18091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Cat)
25	23, 24	elind 4145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
26	25, 21	eleqtrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐸))
27		swapfiso.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐸)
28	15, 16, 12, 13, 17, 22, 26, 27	catciso 18013	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 swapF 𝐷) ∈ (𝑆𝐼𝑇) ↔ ((𝐶 swapF 𝐷) ∈ ((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇)) ∧ (1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)):(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇))))
29	11, 14, 28	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) ∈ (𝑆𝐼𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∩ cin 3896  ⟨cop 4577   class class class wbr 5086   × cxp 5609  –1-1-onto→wf1o 6475  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  1^st c1st 7914  2^nd c2nd 7915  Basecbs 17115  Catccat 17565  Isociso 17648   Full cful 17806   Faith cfth 17807  CatCatccatc 18000   ×_c cxpc 18069   swap_F cswapf 49291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-hom 17180  df-cco 17181  df-cat 17569  df-cid 17570  df-sect 17649  df-inv 17650  df-iso 17651  df-func 17760  df-idfu 17761  df-cofu 17762  df-full 17808  df-fth 17809  df-catc 18001  df-xpc 18073  df-swapf 49292

This theorem is referenced by:  swapciso  49318