Theorem swapfiso 49247

Description: The swap functor is an isomorphism between product categories. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapfid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
swapfid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
swapfid.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
swapfid.t	⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
swapfiso.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
swapfiso.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
swapfiso.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
swapfiso.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
swapfiso.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
swapfiso	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) ∈ (𝑆𝐼𝑇))

Proof of Theorem swapfiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swapfid.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
2		swapfid.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
3	1, 2	swapfelvv 49225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) ∈ (V × V))
4		1st2nd2 7986	. . . 4 ⊢ ((𝐶 swapF 𝐷) ∈ (V × V) → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨(1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)), (2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷))⟩)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨(1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)), (2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷))⟩)
6		swapfid.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
7		swapfid.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
8	1, 2, 6, 7, 5	swapfffth 49245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐶 swapF 𝐷))((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇))(2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷)))
9		df-br 5103	. . . 4 ⊢ ((1st ‘(𝐶 swapF 𝐷))((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇))(2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷)) ↔ ⟨(1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)), (2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷))⟩ ∈ ((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇)))
10	8, 9	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)), (2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷))⟩ ∈ ((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇)))
11	5, 10	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) ∈ ((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇)))
12		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
13		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
14	5, 6, 7, 1, 2, 12, 13	swapf1f1o 49237	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)):(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇))
15		swapfiso.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
16		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
17		swapfiso.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
18		swapfiso.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
19	6, 1, 2	xpccat 18127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Cat)
20	18, 19	elind 4159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
21	15, 16, 17	catcbas 18039	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
22	20, 21	eleqtrrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐸))
23		swapfiso.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
24	7, 2, 1	xpccat 18127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Cat)
25	23, 24	elind 4159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
26	25, 21	eleqtrrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐸))
27		swapfiso.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐸)
28	15, 16, 12, 13, 17, 22, 26, 27	catciso 18049	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 swapF 𝐷) ∈ (𝑆𝐼𝑇) ↔ ((𝐶 swapF 𝐷) ∈ ((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇)) ∧ (1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)):(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇))))
29	11, 14, 28	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) ∈ (𝑆𝐼𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∩ cin 3910  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102   × cxp 5629  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1^st c1st 7945  2^nd c2nd 7946  Basecbs 17155  Catccat 17601  Isociso 17684   Full cful 17842   Faith cfth 17843  CatCatccatc 18036   ×_c cxpc 18105   swap_F cswapf 49221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-hom 17220  df-cco 17221  df-cat 17605  df-cid 17606  df-sect 17685  df-inv 17686  df-iso 17687  df-func 17796  df-idfu 17797  df-cofu 17798  df-full 17844  df-fth 17845  df-catc 18037  df-xpc 18109  df-swapf 49222

This theorem is referenced by:  swapciso  49248