Theorem swapfiso 50738

Description: The swap functor is an isomorphism between product categories. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapfid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
swapfid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
swapfid.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
swapfid.t	⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
swapfiso.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
swapfiso.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
swapfiso.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
swapfiso.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
swapfiso.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
swapfiso	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) ∈ (𝑆𝐼𝑇))

Proof of Theorem swapfiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swapfid.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
2		swapfid.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
3	1, 2	swapfelvv 50716	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) ∈ (V × V))
4		1st2nd2 8074	. . . 4 ⊢ ((𝐶 swapF 𝐷) ∈ (V × V) → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨(1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)), (2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷))⟩)
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨(1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)), (2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷))⟩)
6		swapfid.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
7		swapfid.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
8	1, 2, 6, 7, 5	swapfffth 50736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐶 swapF 𝐷))((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇))(2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷)))
9		df-br 5109	. . . 4 ⊢ ((1st ‘(𝐶 swapF 𝐷))((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇))(2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷)) ↔ ⟨(1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)), (2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷))⟩ ∈ ((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇)))
10	8, 9	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)), (2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷))⟩ ∈ ((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇)))
11	5, 10	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) ∈ ((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇)))
12		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
13		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
14	5, 6, 7, 1, 2, 12, 13	swapf1f1o 50728	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)):(Base‘𝑆)⟶1-1onto(Base‘𝑇))
15		swapfiso.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
16		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
17		swapfiso.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
18		swapfiso.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
19	6, 1, 2	xpccat 18414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Cat)
20	18, 19	elind 4100	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
21	15, 16, 17	catcbas 18326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
22	20, 21	eleqtrrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐸))
23		swapfiso.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
24	7, 2, 1	xpccat 18414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Cat)
25	23, 24	elind 4100	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
26	25, 21	eleqtrrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐸))
27		swapfiso.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐸)
28	15, 16, 12, 13, 17, 22, 26, 27	catciso 18336	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 swapF 𝐷) ∈ (𝑆𝐼𝑇) ↔ ((𝐶 swapF 𝐷) ∈ ((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇)) ∧ (1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)):(Base‘𝑆)⟶1-1onto(Base‘𝑇))))
29	11, 14, 28	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) ∈ (𝑆𝐼𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∩ cin 4092  ⟨cop 4840   class class class wbr 5108   × cxp 5656  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  1^st c1st 8033  2^nd c2nd 8034  Basecbs 17431  Catccat 17888  Isociso 17971   Full cful 18129   Faith cfth 18130  CatCatccatc 18323   ×_c cxpc 18392   swap_F cswapf 50712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-hom 17497  df-cco 17498  df-cat 17892  df-cid 17893  df-sect 17972  df-inv 17973  df-iso 17974  df-func 18083  df-idfu 18084  df-cofu 18085  df-full 18131  df-fth 18132  df-catc 18324  df-xpc 18396  df-swapf 50713

This theorem is used by:  swapciso  50739