Theorem swapfiso 49530

Description: The swap functor is an isomorphism between product categories. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapfid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
swapfid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
swapfid.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
swapfid.t	⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
swapfiso.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
swapfiso.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
swapfiso.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
swapfiso.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
swapfiso.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
swapfiso	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) ∈ (𝑆𝐼𝑇))

Proof of Theorem swapfiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swapfid.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
2		swapfid.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
3	1, 2	swapfelvv 49508	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) ∈ (V × V))
4		1st2nd2 7972	. . . 4 ⊢ ((𝐶 swapF 𝐷) ∈ (V × V) → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨(1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)), (2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷))⟩)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨(1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)), (2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷))⟩)
6		swapfid.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
7		swapfid.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
8	1, 2, 6, 7, 5	swapfffth 49528	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐶 swapF 𝐷))((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇))(2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷)))
9		df-br 5099	. . . 4 ⊢ ((1st ‘(𝐶 swapF 𝐷))((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇))(2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷)) ↔ ⟨(1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)), (2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷))⟩ ∈ ((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇)))
10	8, 9	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)), (2nd ‘(𝐶 swapF 𝐷))⟩ ∈ ((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇)))
11	5, 10	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) ∈ ((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇)))
12		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
13		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
14	5, 6, 7, 1, 2, 12, 13	swapf1f1o 49520	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)):(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇))
15		swapfiso.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
16		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
17		swapfiso.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
18		swapfiso.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
19	6, 1, 2	xpccat 18113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Cat)
20	18, 19	elind 4152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
21	15, 16, 17	catcbas 18025	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
22	20, 21	eleqtrrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐸))
23		swapfiso.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
24	7, 2, 1	xpccat 18113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Cat)
25	23, 24	elind 4152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
26	25, 21	eleqtrrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐸))
27		swapfiso.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐸)
28	15, 16, 12, 13, 17, 22, 26, 27	catciso 18035	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 swapF 𝐷) ∈ (𝑆𝐼𝑇) ↔ ((𝐶 swapF 𝐷) ∈ ((𝑆 Full 𝑇) ∩ (𝑆 Faith 𝑇)) ∧ (1st ‘(𝐶 swapF 𝐷)):(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇))))
29	11, 14, 28	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) ∈ (𝑆𝐼𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∩ cin 3900  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098   × cxp 5622  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1^st c1st 7931  2^nd c2nd 7932  Basecbs 17136  Catccat 17587  Isociso 17670   Full cful 17828   Faith cfth 17829  CatCatccatc 18022   ×_c cxpc 18091   swap_F cswapf 49504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-hom 17201  df-cco 17202  df-cat 17591  df-cid 17592  df-sect 17671  df-inv 17672  df-iso 17673  df-func 17782  df-idfu 17783  df-cofu 17784  df-full 17830  df-fth 17831  df-catc 18023  df-xpc 18095  df-swapf 49505

This theorem is referenced by:  swapciso  49531