MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symg1hash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symg1hash 18023
Description: The symmetric group on a singleton has cardinality 1. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
symg1bas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg1bas.0 𝐴 = {𝐼}
Assertion
Ref Expression
symg1hash (𝐼𝑉 → (♯‘𝐵) = 1)

Proof of Theorem symg1hash
StepHypRef Expression
1 symg1bas.0 . . . 4 𝐴 = {𝐼}
2 snfi 8195 . . . 4 {𝐼} ∈ Fin
31, 2eqeltri 2846 . . 3 𝐴 ∈ Fin
4 symg1bas.1 . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
5 symg1bas.2 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
64, 5symghash 18013 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐵) = (!‘(♯‘𝐴)))
73, 6ax-mp 5 . 2 (♯‘𝐵) = (!‘(♯‘𝐴))
81fveq2i 6336 . . . . 5 (♯‘𝐴) = (♯‘{𝐼})
9 hashsng 13362 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (♯‘{𝐼}) = 1)
108, 9syl5eq 2817 . . . 4 (𝐼𝑉 → (♯‘𝐴) = 1)
1110fveq2d 6337 . . 3 (𝐼𝑉 → (!‘(♯‘𝐴)) = (!‘1))
12 fac1 13269 . . 3 (!‘1) = 1
1311, 12syl6eq 2821 . 2 (𝐼𝑉 → (!‘(♯‘𝐴)) = 1)
147, 13syl5eq 2817 1 (𝐼𝑉 → (♯‘𝐵) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  {csn 4317  cfv 6032  Fincfn 8110  1c1 10140  !cfa 13265  chash 13322  Basecbs 16065  SymGrpcsymg 18005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-2o 7715  df-oadd 7718  df-er 7897  df-map 8012  df-pm 8013  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-card 8966  df-cda 9193  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-7 11287  df-8 11288  df-9 11289  df-n0 11496  df-xnn0 11567  df-z 11581  df-uz 11890  df-fz 12535  df-seq 13010  df-fac 13266  df-bc 13295  df-hash 13323  df-struct 16067  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-base 16071  df-plusg 16163  df-tset 16169  df-symg 18006
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator