Theorem symg1hash 19565

Description: The symmetric group on a singleton has cardinality 1. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
symg1bas.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg1bas.0	⊢ 𝐴 = {𝐼}

Assertion

Ref	Expression
symg1hash	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐵) = 1)

Proof of Theorem symg1hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symg1bas.0	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝐼}
2		snfi 9049	. . . 4 ⊢ {𝐼} ∈ Fin
3	1, 2	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Fin
4		symg1bas.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
5		symg1bas.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	4, 5	symghash 19553	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐵) = (!‘(♯‘𝐴)))
7	3, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘𝐵) = (!‘(♯‘𝐴))
8	1	fveq2i 6876	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐴) = (♯‘{𝐼})
9		hashsng 14480	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐼}) = 1)
10	8, 9	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) = 1)
11	10	fveq2d 6877	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (!‘(♯‘𝐴)) = (!‘1))
12		fac1 14388	. . 3 ⊢ (!‘1) = 1
13	11, 12	eqtrdi 2811	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (!‘(♯‘𝐴)) = 1)
14	7, 13	eqtrid 2807	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐵) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4583  ‘cfv 6527  Fincfn 8951  1c1 11172  !cfa 14384  ♯chash 14441  Basecbs 17348  SymGrpcsymg 19544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-seq 14113  df-fac 14385  df-bc 14414  df-hash 14442  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-tset 17408  df-efmnd 19026  df-symg 19545

This theorem is used by: (None)