Theorem dih1dimb 39557

Description: Two expressions for a 1-dimensional subspace of vector space H (when 𝐹 is a nonzero vector i.e. non-identity translation). (Contributed by NM, 27-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1dimb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih1dimb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1dimb.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimb.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimb.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dih1dimb.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimb.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimb.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dih1dimb	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐾   𝑇,ℎ   ℎ,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑅(ℎ)   𝑈(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐻(ℎ)   𝐼(ℎ)   𝑁(ℎ)   𝑂(ℎ)

Proof of Theorem dih1dimb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 484	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dih1dimb.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		dih1dimb.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dih1dimb.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		dih1dimb.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	trlcl 38481	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐵)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	7, 3, 4, 5	trlle 38501	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹)(le‘𝐾)𝑊)
9		dih1dimb.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
11	2, 7, 3, 9, 10	dihvalb 39554	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘𝐹)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)))
12	1, 6, 8, 11	syl12anc 835	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)))
13		dih1dimb.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
14		dih1dimb.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
15		dih1dimb.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
16	2, 3, 4, 5, 13, 14, 10, 15	dib1dim2 39485	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))
17	12, 16	eqtrd 2777	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4578  ⟨cop 4584   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5180   I cid 5522   ↾ cres 5627  ‘cfv 6484  Basecbs 17010  lecple 17067  LSpanclspn 20339  HLchlt 37666  LHypclh 38301  LTrncltrn 38418  trLctrl 38475  DVecHcdvh 39395  DIsoBcdib 39455  DIsoHcdih 39545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-riotaBAD 37269

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-tpos 8117  df-undef 8164  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-map 8693  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-fz 13346  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-0g 17250  df-proset 18111  df-poset 18129  df-plt 18146  df-lub 18162  df-glb 18163  df-join 18164  df-meet 18165  df-p0 18241  df-p1 18242  df-lat 18248  df-clat 18315  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-grp 18677  df-minusg 18678  df-sbg 18679  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-oppr 19957  df-dvdsr 19978  df-unit 19979  df-invr 20009  df-dvr 20020  df-drng 20095  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-lsp 20340  df-lvec 20471  df-oposet 37492  df-ol 37494  df-oml 37495  df-covers 37582  df-ats 37583  df-atl 37614  df-cvlat 37638  df-hlat 37667  df-llines 37815  df-lplanes 37816  df-lvols 37817  df-lines 37818  df-psubsp 37820  df-pmap 37821  df-padd 38113  df-lhyp 38305  df-laut 38306  df-ldil 38421  df-ltrn 38422  df-trl 38476  df-tendo 39072  df-edring 39074  df-disoa 39346  df-dvech 39396  df-dib 39456  df-dih 39546

This theorem is referenced by:  dih1dimb2  39558