Theorem dih1dimb 41960

Description: Two expressions for a 1-dimensional subspace of vector space H (when 𝐹 is a nonzero vector i.e. non-identity translation). (Contributed by NM, 27-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1dimb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih1dimb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1dimb.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimb.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimb.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dih1dimb.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimb.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimb.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dih1dimb	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐾   𝑇,ℎ   ℎ,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑅(ℎ)   𝑈(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐻(ℎ)   𝐼(ℎ)   𝑁(ℎ)   𝑂(ℎ)

Proof of Theorem dih1dimb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dih1dimb.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		dih1dimb.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dih1dimb.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		dih1dimb.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	trlcl 40884	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐵)
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	7, 3, 4, 5	trlle 40904	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹)(le‘𝐾)𝑊)
9		dih1dimb.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
11	2, 7, 3, 9, 10	dihvalb 41957	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘𝐹)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)))
12	1, 6, 8, 11	syl12anc 849	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)))
13		dih1dimb.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
14		dih1dimb.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
15		dih1dimb.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
16	2, 3, 4, 5, 13, 14, 10, 15	dib1dim2 41888	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))
17	12, 16	eqtrd 2796	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  {csn 4588  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191   I cid 5555   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  Basecbs 17268  lecple 17316  LSpanclspn 21071  HLchlt 40070  LHypclh 40704  LTrncltrn 40821  trLctrl 40878  DVecHcdvh 41798  DIsoBcdib 41858  DIsoHcdih 41948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-riotaBAD 39673

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-undef 8268  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-0g 17493  df-proset 18349  df-poset 18368  df-plt 18383  df-lub 18399  df-glb 18400  df-join 18401  df-meet 18402  df-p0 18478  df-p1 18479  df-lat 18487  df-clat 18554  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-dvr 20482  df-drng 20814  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-lvec 21203  df-oposet 39896  df-ol 39898  df-oml 39899  df-covers 39986  df-ats 39987  df-atl 40018  df-cvlat 40042  df-hlat 40071  df-llines 40218  df-lplanes 40219  df-lvols 40220  df-lines 40221  df-psubsp 40223  df-pmap 40224  df-padd 40516  df-lhyp 40708  df-laut 40709  df-ldil 40824  df-ltrn 40825  df-trl 40879  df-tendo 41475  df-edring 41477  df-disoa 41749  df-dvech 41799  df-dib 41859  df-dih 41949

This theorem is referenced by:  dih1dimb2  41961