Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dih1dimb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dih1dimb 40414
Description: Two expressions for a 1-dimensional subspace of vector space H (when 𝐹 is a nonzero vector i.e. non-identity translation). (Contributed by NM, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih1dimb.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dih1dimb.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dih1dimb.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimb.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimb.o 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
dih1dimb.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimb.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimb.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dih1dimb (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜πΉ)) = (π‘β€˜{⟨𝐹, π‘‚βŸ©}))
Distinct variable groups:   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐾   𝑇,β„Ž   β„Ž,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝑅(β„Ž)   π‘ˆ(β„Ž)   𝐹(β„Ž)   𝐻(β„Ž)   𝐼(β„Ž)   𝑁(β„Ž)   𝑂(β„Ž)
Proof of Theorem dih1dimb
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 dih1dimb.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 dih1dimb.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 dih1dimb.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 dih1dimb.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
62, 3, 4, 5trlcl 39338 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
7 eqid 2732 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
87, 3, 4, 5trlle 39358 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)π‘Š)
9 dih1dimb.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 eqid 2732 . . . 4 ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
112, 7, 3, 9, 10dihvalb 40411 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜πΉ)) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘…β€˜πΉ)))
121, 6, 8, 11syl12anc 835 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜πΉ)) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘…β€˜πΉ)))
13 dih1dimb.o . . 3 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
14 dih1dimb.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 dih1dimb.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
162, 3, 4, 5, 13, 14, 10, 15dib1dim2 40342 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘…β€˜πΉ)) = (π‘β€˜{⟨𝐹, π‘‚βŸ©}))
1712, 16eqtrd 2772 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜πΉ)) = (π‘β€˜{⟨𝐹, π‘‚βŸ©}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4628  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  Basecbs 17148  lecple 17208  LSpanclspn 20726  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275  trLctrl 39332  DVecHcdvh 40252  DIsoBcdib 40312  DIsoHcdih 40402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-0g 17391  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tendo 39929  df-edring 39931  df-disoa 40203  df-dvech 40253  df-dib 40313  df-dih 40403
This theorem is referenced by:  dih1dimb2  40415
  Copyright terms: Public domain W3C validator