Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dih1dimb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dih1dimb 37858
Description: Two expressions for a 1-dimensional subspace of vector space H (when 𝐹 is a nonzero vector i.e. non-identity translation). (Contributed by NM, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih1dimb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih1dimb.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1dimb.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimb.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimb.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dih1dimb.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimb.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimb.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dih1dimb (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))
Distinct variable groups:   𝐵,   ,𝐾   𝑇,   ,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑅()   𝑈()   𝐹()   𝐻()   𝐼()   𝑁()   𝑂()

Proof of Theorem dih1dimb
StepHypRef Expression
1 simpl 475 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dih1dimb.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 dih1dimb.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dih1dimb.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 dih1dimb.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
62, 3, 4, 5trlcl 36782 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
7 eqid 2771 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
87, 3, 4, 5trlle 36802 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)𝑊)
9 dih1dimb.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
10 eqid 2771 . . . 4 ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
112, 7, 3, 9, 10dihvalb 37855 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑅𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝐹)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)))
121, 6, 8, 11syl12anc 825 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)))
13 dih1dimb.o . . 3 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
14 dih1dimb.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
15 dih1dimb.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
162, 3, 4, 5, 13, 14, 10, 15dib1dim2 37786 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))
1712, 16eqtrd 2807 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  {csn 4435  cop 4441   class class class wbr 4925  cmpt 5004   I cid 5307  cres 5405  cfv 6185  Basecbs 16337  lecple 16426  LSpanclspn 19477  HLchlt 35968  LHypclh 36602  LTrncltrn 36719  trLctrl 36776  DVecHcdvh 37696  DIsoBcdib 37756  DIsoHcdih 37846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-riotaBAD 35571
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-tpos 7693  df-undef 7740  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-0g 16569  df-proset 17408  df-poset 17426  df-plt 17438  df-lub 17454  df-glb 17455  df-join 17456  df-meet 17457  df-p0 17519  df-p1 17520  df-lat 17526  df-clat 17588  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-oppr 19108  df-dvdsr 19126  df-unit 19127  df-invr 19157  df-dvr 19168  df-drng 19239  df-lmod 19370  df-lss 19438  df-lsp 19478  df-lvec 19609  df-oposet 35794  df-ol 35796  df-oml 35797  df-covers 35884  df-ats 35885  df-atl 35916  df-cvlat 35940  df-hlat 35969  df-llines 36116  df-lplanes 36117  df-lvols 36118  df-lines 36119  df-psubsp 36121  df-pmap 36122  df-padd 36414  df-lhyp 36606  df-laut 36607  df-ldil 36722  df-ltrn 36723  df-trl 36777  df-tendo 37373  df-edring 37375  df-disoa 37647  df-dvech 37697  df-dib 37757  df-dih 37847
This theorem is referenced by:  dih1dimb2  37859
  Copyright terms: Public domain W3C validator