Theorem tususp 24645

Description: A constructed uniform space is a uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
tuslem.k	⊢ 𝐾 = (toUnifSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
tususp	⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝐾 ∈ UnifSp)

Proof of Theorem tususp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋))
2		tuslem.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (toUnifSp‘𝑈)
3	2	tususs 24643	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑈 = (UnifSt‘𝐾))
4	2	tusbas 24641	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
5	4	fveq2d 6920	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (UnifOn‘𝑋) = (UnifOn‘(Base‘𝐾)))
6	1, 3, 5	3eltr3d 2878	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (UnifSt‘𝐾) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝐾)))
7	2	tusunif 24642	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑈 = (UnifSet‘𝐾))
8	7	fveq2d 6920	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (unifTop‘𝑈) = (unifTop‘(UnifSet‘𝐾)))
9	2	tuslem 24640	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (𝑋 = (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 = (UnifSet‘𝐾) ∧ (unifTop‘𝑈) = (TopOpen‘𝐾)))
10	9	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (unifTop‘𝑈) = (TopOpen‘𝐾))
11	7, 3	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (UnifSet‘𝐾) = (UnifSt‘𝐾))
12	11	fveq2d 6920	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (unifTop‘(UnifSet‘𝐾)) = (unifTop‘(UnifSt‘𝐾)))
13	8, 10, 12	3eqtr3d 2806	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (TopOpen‘𝐾) = (unifTop‘(UnifSt‘𝐾)))
14		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15		eqid 2763	. . 3 ⊢ (UnifSt‘𝐾) = (UnifSt‘𝐾)
16		eqid 2763	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
17	14, 15, 16	isusp 24635	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ UnifSp ↔ ((UnifSt‘𝐾) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝐾)) ∧ (TopOpen‘𝐾) = (unifTop‘(UnifSt‘𝐾))))
18	6, 13, 17	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝐾 ∈ UnifSp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  UnifSetcunif 17482  TopOpenctopn 17642  UnifOncust 24574  unifTopcutop 24604  UnifStcuss 24627  UnifSpcusp 24628  toUnifSpctus 24629

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-tset 17492  df-unif 17496  df-rest 17643  df-topn 17644  df-ust 24575  df-utop 24605  df-uss 24630  df-usp 24631  df-tus 24632

This theorem is used by:  cmetcusp  25730