Theorem tususp 24159

Description: A constructed uniform space is an uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
tuslem.k	⊢ 𝐾 = (toUnifSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
tususp	⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝐾 ∈ UnifSp)

Proof of Theorem tususp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋))
2		tuslem.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (toUnifSp‘𝑈)
3	2	tususs 24157	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑈 = (UnifSt‘𝐾))
4	2	tusbas 24155	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
5	4	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (UnifOn‘𝑋) = (UnifOn‘(Base‘𝐾)))
6	1, 3, 5	3eltr3d 2842	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (UnifSt‘𝐾) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝐾)))
7	2	tusunif 24156	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑈 = (UnifSet‘𝐾))
8	7	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (unifTop‘𝑈) = (unifTop‘(UnifSet‘𝐾)))
9	2	tuslem 24154	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (𝑋 = (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 = (UnifSet‘𝐾) ∧ (unifTop‘𝑈) = (TopOpen‘𝐾)))
10	9	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (unifTop‘𝑈) = (TopOpen‘𝐾))
11	7, 3	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (UnifSet‘𝐾) = (UnifSt‘𝐾))
12	11	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (unifTop‘(UnifSet‘𝐾)) = (unifTop‘(UnifSt‘𝐾)))
13	8, 10, 12	3eqtr3d 2772	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (TopOpen‘𝐾) = (unifTop‘(UnifSt‘𝐾)))
14		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15		eqid 2729	. . 3 ⊢ (UnifSt‘𝐾) = (UnifSt‘𝐾)
16		eqid 2729	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
17	14, 15, 16	isusp 24149	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ UnifSp ↔ ((UnifSt‘𝐾) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝐾)) ∧ (TopOpen‘𝐾) = (unifTop‘(UnifSt‘𝐾))))
18	6, 13, 17	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝐾 ∈ UnifSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  UnifSetcunif 17230  TopOpenctopn 17384  UnifOncust 24087  unifTopcutop 24118  UnifStcuss 24141  UnifSpcusp 24142  toUnifSpctus 24143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-tset 17239  df-unif 17243  df-rest 17385  df-topn 17386  df-ust 24088  df-utop 24119  df-uss 24144  df-usp 24145  df-tus 24146

This theorem is referenced by:  cmetcusp  25254