MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgrwlkvtxedg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgrwlkvtxedg 28001
Description: The pairs of connected vertices of a walk are edges in a pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 2-Jan-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wlkvtxedg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
upgrwlkvtxedg ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑃,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem upgrwlkvtxedg
StepHypRef Expression
1 eqid 2740 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2740 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
31, 2upgriswlk 27997 . . 3 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
4 wlkvtxedg.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (Edg‘𝐺)
52, 4upgredginwlk 27992 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝐸))
65ancoms 459 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝐸))
76imp 407 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝐸)
8 eleq1 2828 . . . . . . . . 9 ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝐸))
98eqcoms 2748 . . . . . . . 8 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝐸))
107, 9syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
1110ralimdva 3105 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
1211impancom 452 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐺 ∈ UPGraph → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
13123adant2 1130 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐺 ∈ UPGraph → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
1413com12 32 . . 3 (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
153, 14sylbid 239 . 2 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
1615imp 407 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  wral 3066  {cpr 4569   class class class wbr 5079  dom cdm 5589  wf 6427  cfv 6431  (class class class)co 7269  0cc0 10864  1c1 10865   + caddc 10867  ...cfz 13230  ..^cfzo 13373  chash 14034  Word cword 14207  Vtxcvtx 27356  iEdgciedg 27357  Edgcedg 27407  UPGraphcupgr 27440  Walkscwlks 27953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-1o 8282  df-2o 8283  df-oadd 8286  df-er 8473  df-map 8592  df-pm 8593  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-fin 8712  df-dju 9652  df-card 9690  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-n0 12226  df-xnn0 12298  df-z 12312  df-uz 12574  df-fz 13231  df-fzo 13374  df-hash 14035  df-word 14208  df-edg 27408  df-uhgr 27418  df-upgr 27442  df-wlks 27956
This theorem is referenced by:  umgrwlknloop  28005  wlknewwlksn  28240  upgr3v3e3cycl  28532  upgr4cycl4dv4e  28537
  Copyright terms: Public domain W3C validator