MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgrwlkvtxedg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem upgrwlkvtxedg 29166
Description: The pairs of connected vertices of a walk are edges in a pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 2-Jan-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wlkvtxedg.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
upgrwlkvtxedg ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   𝑃,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝐸(π‘˜)
Proof of Theorem upgrwlkvtxedg
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . 4 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eqid 2731 . . . 4 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
31, 2upgriswlk 29162 . . 3 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})))
4 wlkvtxedg.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
52, 4upgredginwlk 29157 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ)) β†’ (π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ 𝐸))
65ancoms 458 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) β†’ (π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ 𝐸))
76imp 406 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ 𝐸)
8 eleq1 2820 . . . . . . . . 9 ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ 𝐸))
98eqcoms 2739 . . . . . . . 8 (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ 𝐸))
107, 9syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸))
1110ralimdva 3166 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸))
1211impancom 451 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))}) β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸))
13123adant2 1130 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))}) β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸))
1413com12 32 . . 3 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))}) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸))
153, 14sylbid 239 . 2 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸))
1615imp 406 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  {cpr 4631   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632  β™―chash 14295  Word cword 14469  Vtxcvtx 28520  iEdgciedg 28521  Edgcedg 28571  UPGraphcupgr 28604  Walkscwlks 29117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-edg 28572  df-uhgr 28582  df-upgr 28606  df-wlks 29120
This theorem is referenced by:  umgrwlknloop  29170  wlknewwlksn  29405  upgr3v3e3cycl  29697  upgr4cycl4dv4e  29702
  Copyright terms: Public domain W3C validator