Theorem wlkp1lem3 28929

Description: Lemma for wlkp1 28935. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})

Assertion

Ref	Expression
wlkp1lem3	⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))

Proof of Theorem wlkp1lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkp1.u	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
2		wlkp1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
4	3	fveq1d 6893	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑁))
5		wlkp1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
6	5	fvexi 6905	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ V
7		wlkp1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
8		wlkp1.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
9		wlkp1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
10	9	wlkf 28868	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
11		lencl 14482	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
12		wrddm 14470	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
13		fzonel 13645	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))
14	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑁 = (♯‘𝐹))
15		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹))) → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
16	14, 15	eleq12d 2827	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑁 ∈ dom 𝐹 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
17	13, 16	mtbiri 326	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹))) → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹)
18	11, 12, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹)
19	8, 10, 18	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹)
20		fsnunfv 7184	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑁) = 𝐵)
21	6, 7, 19, 20	mp3an2i 1466	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑁) = 𝐵)
22	4, 21	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = 𝐵)
23	1, 22	fveq12d 6898	1 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∪ cun 3946   ⊆ wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  0cc0 11109  ℕ₀cn0 12471  ..^cfzo 13626  ♯chash 14289  Word cword 14463  Vtxcvtx 28253  iEdgciedg 28254  Edgcedg 28304  Walkscwlks 28850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-wlks 28853

This theorem is referenced by:  wlkp1lem7  28933  wlkp1lem8  28934