Theorem wlkp1lem3 27945

Description: Lemma for wlkp1 27951. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})

Assertion

Ref	Expression
wlkp1lem3	⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))

Proof of Theorem wlkp1lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkp1.u	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
2		wlkp1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
4	3	fveq1d 6758	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑁))
5		wlkp1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
6	5	fvexi 6770	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ V
7		wlkp1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
8		wlkp1.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
9		wlkp1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
10	9	wlkf 27884	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
11		lencl 14164	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
12		wrddm 14152	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
13		fzonel 13329	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))
14	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑁 = (♯‘𝐹))
15		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹))) → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
16	14, 15	eleq12d 2833	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑁 ∈ dom 𝐹 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
17	13, 16	mtbiri 326	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹))) → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹)
18	11, 12, 17	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹)
19	8, 10, 18	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹)
20		fsnunfv 7041	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑁) = 𝐵)
21	6, 7, 19, 20	mp3an2i 1464	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑁) = 𝐵)
22	4, 21	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = 𝐵)
23	1, 22	fveq12d 6763	1 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  {csn 4558  {cpr 4560  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  Fun wfun 6412  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  0cc0 10802  ℕ₀cn0 12163  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145  Vtxcvtx 27269  iEdgciedg 27270  Edgcedg 27320  Walkscwlks 27866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-wlks 27869

This theorem is referenced by:  wlkp1lem7  27949  wlkp1lem8  27950