Theorem wlkp1lem3 29427

Description: Lemma for wlkp1 29433. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})

Assertion

Ref	Expression
wlkp1lem3	⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))

Proof of Theorem wlkp1lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkp1.u	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
2		wlkp1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
4	3	fveq1d 6884	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑁))
5		wlkp1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
6	5	fvexi 6896	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ V
7		wlkp1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
8		wlkp1.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
9		wlkp1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
10	9	wlkf 29366	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
11		lencl 14485	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
12		wrddm 14473	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
13		fzonel 13647	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))
14	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑁 = (♯‘𝐹))
15		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹))) → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
16	14, 15	eleq12d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑁 ∈ dom 𝐹 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
17	13, 16	mtbiri 327	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹))) → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹)
18	11, 12, 17	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹)
19	8, 10, 18	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹)
20		fsnunfv 7178	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑁) = 𝐵)
21	6, 7, 19, 20	mp3an2i 1462	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑁) = 𝐵)
22	4, 21	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = 𝐵)
23	1, 22	fveq12d 6889	1 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   ∪ cun 3939   ⊆ wss 3941  {csn 4621  {cpr 4623  ⟨cop 4627   class class class wbr 5139  dom cdm 5667  Fun wfun 6528  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  Fincfn 8936  0cc0 11107  ℕ₀cn0 12471  ..^cfzo 13628  ♯chash 14291  Word cword 14466  Vtxcvtx 28750  iEdgciedg 28751  Edgcedg 28801  Walkscwlks 29348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-hash 14292  df-word 14467  df-wlks 29351

This theorem is referenced by:  wlkp1lem7  29431  wlkp1lem8  29432