MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkp1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkp1lem3 29708
Description: Lemma for wlkp1 29714. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b (𝜑𝐵𝑊)
wlkp1.c (𝜑𝐶𝑉)
wlkp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
Assertion
Ref Expression
wlkp1lem3 (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))

Proof of Theorem wlkp1lem3
StepHypRef Expression
1 wlkp1.u . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
2 wlkp1.h . . . . 5 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
32a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
43fveq1d 6909 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝑁) = ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑁))
5 wlkp1.n . . . . 5 𝑁 = (♯‘𝐹)
65fvexi 6921 . . . 4 𝑁 ∈ V
7 wlkp1.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
8 wlkp1.w . . . . 5 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
9 wlkp1.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
109wlkf 29647 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
11 lencl 14568 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
12 wrddm 14556 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
13 fzonel 13710 . . . . . . 7 ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))
145a1i 11 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑁 = (♯‘𝐹))
15 simpr 484 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹))) → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
1614, 15eleq12d 2833 . . . . . . 7 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑁 ∈ dom 𝐹 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
1713, 16mtbiri 327 . . . . . 6 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹))) → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹)
1811, 12, 17syl2anc 584 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹)
198, 10, 183syl 18 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹)
20 fsnunfv 7207 . . . 4 ((𝑁 ∈ V ∧ 𝐵𝑊 ∧ ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑁) = 𝐵)
216, 7, 19, 20mp3an2i 1465 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑁) = 𝐵)
224, 21eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → (𝐻𝑁) = 𝐵)
231, 22fveq12d 6914 1 (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cun 3961  wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633  cop 4637   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  Fun wfun 6557  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  0cc0 11153  0cn0 12524  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  Edgcedg 29079  Walkscwlks 29629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-wlks 29632
This theorem is referenced by:  wlkp1lem7  29712  wlkp1lem8  29713
  Copyright terms: Public domain W3C validator