Theorem zplusmodne 47970

Description: A nonnegative integer is not itself plus a positive integer modulo an integer greater than 1 and the positive integer. (Contributed by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zplusmodne	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ (𝐴 mod 𝑁))

Proof of Theorem zplusmodne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12908	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	3ad2ant1 1149	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simp2 1153	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		elfzoelz 13683	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	3ad2ant3 1151	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
6	3, 5	zaddcld 12700	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 + 𝐾) ∈ ℤ)
7	3	zcnd 12697	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	4	zcnd 12697	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
9	8	3ad2ant3 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℂ)
10	7, 9	pncan2d 11567	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾)
11		elfzo1 13737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
12		nnge1 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
13	12	anim1i 626	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁))
14	13	3adant2 1147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁))
15	11, 14	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁))
16	15	3ad2ant3 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁))
17	16	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁))
18		breq2 5114	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾 → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) ↔ 1 ≤ 𝐾))
19	18	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) ↔ 1 ≤ 𝐾))
20		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾 → (((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) < 𝑁 ↔ 𝐾 < 𝑁))
21	20	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾) → (((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) < 𝑁 ↔ 𝐾 < 𝑁))
22	19, 21	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾) → ((1 ≤ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) < 𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
23	17, 22	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) < 𝑁))
24	10, 23	mpdan 699	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) < 𝑁))
25		difltmodne 47969	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ (𝐴 mod 𝑁))
26	2, 6, 3, 24, 25	syl121anc 1400	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ (𝐴 mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5110  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  1c1 11097   + caddc 11099   < clt 11239   ≤ cle 11240   − cmin 11437  ℕcn 12229  2c2 12291  ℤcz 12587  ℤ_≥cuz 12858  ..^cfzo 13678   mod cmo 13898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-dvds 16307

This theorem is referenced by:  addmodne  47971  zp1modne  47973  gpg5nbgrvtx13starlem2  48721