Theorem zplusmodne 48119

Description: A nonnegative integer is not itself plus a positive integer modulo an integer greater than 1 and the positive integer. (Contributed by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zplusmodne	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ (𝐴 mod 𝑁))

Proof of Theorem zplusmodne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12924	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		elfzoelz 13700	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
6	3, 5	zaddcld 12716	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 + 𝐾) ∈ ℤ)
7	3	zcnd 12713	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	4	zcnd 12713	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
9	8	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℂ)
10	7, 9	pncan2d 11582	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾)
11		elfzo1 13754	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
12		nnge1 12275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
13	12	anim1i 627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁))
14	13	3adant2 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁))
15	11, 14	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁))
16	15	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁))
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁))
18		breq2 5115	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾 → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) ↔ 1 ≤ 𝐾))
19	18	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) ↔ 1 ≤ 𝐾))
20		breq1 5114	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾 → (((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) < 𝑁 ↔ 𝐾 < 𝑁))
21	20	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾) → (((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) < 𝑁 ↔ 𝐾 < 𝑁))
22	19, 21	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾) → ((1 ≤ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) < 𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
23	17, 22	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) < 𝑁))
24	10, 23	mpdan 700	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) < 𝑁))
25		difltmodne 48118	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ (𝐴 mod 𝑁))
26	2, 6, 3, 24, 25	syl121anc 1402	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ (𝐴 mod 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  1c1 11112   + caddc 11114   < clt 11254   ≤ cle 11255   − cmin 11452  ℕcn 12244  2c2 12306  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12874  ..^cfzo 13695   mod cmo 13916

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-mod 13917  df-dvds 16329

This theorem is used by:  addmodne  48120  zp1modne  48122  gpg5nbgrvtx13starlem2  48870