Theorem zplusmodne 47334

Description: A nonnegative integer is not itself plus a positive integer modulo an integer greater than 1 and the positive integer. (Contributed by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zplusmodne	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ (𝐴 mod 𝑁))

Proof of Theorem zplusmodne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12853	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		elfzoelz 13626	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
6	3, 5	zaddcld 12648	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 + 𝐾) ∈ ℤ)
7	3	zcnd 12645	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	4	zcnd 12645	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
9	8	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℂ)
10	7, 9	pncan2d 11541	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾)
11		elfzo1 13679	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
12		nnge1 12215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
13	12	anim1i 615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁))
14	13	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁))
15	11, 14	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁))
16	15	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁))
18		breq2 5113	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾 → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) ↔ 1 ≤ 𝐾))
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) ↔ 1 ≤ 𝐾))
20		breq1 5112	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾 → (((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) < 𝑁 ↔ 𝐾 < 𝑁))
21	20	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾) → (((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) < 𝑁 ↔ 𝐾 < 𝑁))
22	19, 21	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾) → ((1 ≤ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) < 𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
23	17, 22	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) = 𝐾) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) < 𝑁))
24	10, 23	mpdan 687	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) < 𝑁))
25		difltmodne 47333	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) ∧ ((𝐴 + 𝐾) − 𝐴) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ (𝐴 mod 𝑁))
26	2, 6, 3, 24, 25	syl121anc 1377	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ (𝐴 mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℂcc 11072  1c1 11075   + caddc 11077   < clt 11214   ≤ cle 11215   − cmin 11411  ℕcn 12187  2c2 12242  ℤcz 12535  ℤ_≥cuz 12799  ..^cfzo 13621   mod cmo 13837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-mod 13838  df-dvds 16229

This theorem is referenced by:  addmodne  47335  zp1modne  47337  gpg5nbgrvtx13starlem2  48053