Theorem gpg5nbgrvtx13starlem2 48053

Description: Lemma 2 for gpg5nbgr3star 48062. (Contributed by AV, 8-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpg5nbgrvtx03starlem1.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpg5nbgrvtx03starlem1.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpg5nbgrvtx03starlem1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
gpg5nbgrvtx03starlem1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gpg5nbgrvtx13starlem2	⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸)

Proof of Theorem gpg5nbgrvtx13starlem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5426	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
2		opex 5426	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
4		opex 5426	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, 𝑥⟩ ∈ V
5		opex 5426	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
7	3, 6	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
8		ax-1ne0 11143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 0
9	8	orci 865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
10		1ex 11176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
11		ovex 7422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ V
12	10, 11	opthne 5444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
13	9, 12	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩
14	8	orci 865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
15	10, 11	opthne 5444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
16	14, 15	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩
17	13, 16	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩))
19	18	orcd 873	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)))
20		prneimg 4820	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → (((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩}))
21	7, 19, 20	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
22	13	orci 865	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩)
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))
24	8	orci 865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
25		ovex 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ∈ V
26	10, 25	opthne 5444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
27	24, 26	mpbir 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩
28	27	olci 866	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩)
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))
30		opex 5426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V
31	4, 30	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)
32	3, 31	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V))
33		prneimg2 4821	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
34	32, 33	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
35	23, 29, 34	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
36		gpg5nbgrvtx03starlem1.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
37		fvoveq1 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 = 5 → (⌈‘(𝑁 / 2)) = (⌈‘(5 / 2)))
38		ceil5half3 47331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3
39	37, 38	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 = 5 → (⌈‘(𝑁 / 2)) = 3)
40	39	oveq2d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 = 5 → (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) = (1..^3))
41	36, 40	eqtrid 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝐽 = (1..^3))
42	41	eleq2d 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝐾 ∈ 𝐽 ↔ 𝐾 ∈ (1..^3)))
43	42	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ (1..^3))
44	43	anim1ci 616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^3)))
45		minusmodnep2tmod 47344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^3)) → ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ ((𝑋 + (2 · 𝐾)) mod 5))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ ((𝑋 + (2 · 𝐾)) mod 5))
47		oveq2 7397	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 = 5 → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 5))
48		oveq2 7397	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 = 5 → ((𝑋 + (2 · 𝐾)) mod 𝑁) = ((𝑋 + (2 · 𝐾)) mod 5))
49	47, 48	neeq12d 2987	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = 5 → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + (2 · 𝐾)) mod 𝑁) ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ ((𝑋 + (2 · 𝐾)) mod 5)))
50	49	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + (2 · 𝐾)) mod 𝑁) ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ ((𝑋 + (2 · 𝐾)) mod 5)))
51	46, 50	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + (2 · 𝐾)) mod 𝑁))
52		zcn 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℂ)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℂ)
54		elfzoelz 13626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
55	54, 36	eleq2s 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℤ)
56	55	zcnd 12645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℂ)
57	56	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
58	53, 57, 57	addassd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 𝐾) + 𝐾) = (𝑋 + (𝐾 + 𝐾)))
59	57	2timesd 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (2 · 𝐾) = (𝐾 + 𝐾))
60	59	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
61	60	oveq2d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 + (𝐾 + 𝐾)) = (𝑋 + (2 · 𝐾)))
62	58, 61	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 𝐾) + 𝐾) = (𝑋 + (2 · 𝐾)))
63	62	oveq1d 7404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (((𝑋 + 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + (2 · 𝐾)) mod 𝑁))
64	51, 63	neeqtrrd 3000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ (((𝑋 + 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
65		zre 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℝ)
66	65	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℝ)
67	55	zred 12644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℝ)
68	67	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
69	66, 68	readdcld 11209	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 + 𝐾) ∈ ℝ)
70		5nn 12273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 5 ∈ ℕ
71		eleq1 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ 5 ∈ ℕ))
72	70, 71	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ℕ)
73	72	nnrpd 12999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ℝ+)
74	73	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
75		modaddmod 13880	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = (((𝑋 + 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
76	69, 68, 74, 75	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = (((𝑋 + 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
77	64, 76	neeqtrrd 3000	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))
78	77	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))
79		oveq1 7396	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) = (𝑥 + 𝐾))
80	79	oveq1d 7404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 → ((((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
81	80	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
82	78, 81	neeqtrd 2995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
83	82	olcd 874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
84	83	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 → ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))))
85		orc 867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
86	85	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 → ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))))
87	84, 86	pm2.61ine 3009	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
88	10, 11	opthne 5444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
89		neirr 2935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 1 ≠ 1
90	89	biorfi 938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
91	88, 90	bitr4i 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
92	91	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
93	10, 25	opthne 5444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
94	89	biorfi 938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
95	93, 94	bitr4i 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
96	95	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
97	92, 96	orbi12d 918	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ↔ (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))))
98	87, 97	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩))
99		2z 12571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℤ
100	70	nnzi 12563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 5 ∈ ℤ
101		2re 12261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
102		5re 12274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 5 ∈ ℝ
103		2lt5 12366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 < 5
104	101, 102, 103	ltleii 11303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ≤ 5
105		eluz2 12805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 5))
106	99, 100, 104, 105	mpbir3an 1342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘2)
107		eleq1 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 5 ∈ (ℤ≥‘2)))
108	106, 107	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
109	108	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
110		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℤ)
111	36	ceilhalfelfzo1 47321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))
112	72, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))
113	112	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁))
114	113	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁))
115		zplusmodne 47334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ (𝑋 mod 𝑁))
116	109, 110, 114, 115	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ (𝑋 mod 𝑁))
117	56	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ ℂ)
118		npcan 11436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑋 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑋)
119	52, 117, 118	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑋)
120	119	oveq1d 7404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (((𝑋 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = (𝑋 mod 𝑁))
121	116, 120	neeqtrrd 3000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ (((𝑋 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
122	54	zred 12644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℝ)
123	122, 36	eleq2s 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℝ)
124	123	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
125	66, 124	resubcld 11612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 − 𝐾) ∈ ℝ)
126		5rp 12964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ ℝ+
127		eleq1 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ ℝ+ ↔ 5 ∈ ℝ+))
128	126, 127	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ℝ+)
129	128	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
130		modaddmod 13880	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = (((𝑋 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
131	125, 124, 129, 130	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = (((𝑋 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
132	121, 131	neeqtrrd 3000	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))
133	132	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))
134		oveq1 7396	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) = (𝑥 + 𝐾))
135	134	oveq1d 7404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 → ((((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
136	135	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
137	133, 136	neeqtrd 2995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
138	137	orcd 873	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
139	138	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 → ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)))
140		olc 868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
141	140	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 → ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)))
142	139, 141	pm2.61ine 3009	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
143	10, 11	opthne 5444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
144	89	biorfi 938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
145	143, 144	bitr4i 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
146	145	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
147	10, 25	opthne 5444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
148	89	biorfi 938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
149	147, 148	bitr4i 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
150	149	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
151	146, 150	orbi12d 918	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ↔ (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)))
152	142, 151	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))
153		opex 5426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
154	30, 153	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
155	3, 154	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
156		prneimg2 4821	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∧ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))))
157	155, 156	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∧ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))))
158	98, 152, 157	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
159	21, 35, 158	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
160	159	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
161		ralnex 3056	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
162		3ioran 1105	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
163		df-ne 2927	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
164		df-ne 2927	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
165		df-ne 2927	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
166	163, 164, 165	3anbi123i 1155	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
167	162, 166	bitr4i 278	. . . . . 6 ⊢ (¬ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
168	167	ralbii 3076	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
169	161, 168	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
170	160, 169	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
171		5eluz3 12848	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
172		eleq1 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ 5 ∈ (ℤ≥‘3)))
173	171, 172	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
174		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
175		gpg5nbgrvtx03starlem1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
176		gpg5nbgrvtx03starlem1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
177	174, 36, 175, 176	gpgedgel 48031	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
178	173, 177	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
179	178	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
180	170, 179	mtbird 325	. 2 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
181		df-nel 3031	. 2 ⊢ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
182	180, 181	sylibr 234	1 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∉ wnel 3030  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450  {cpr 4593  ⟨cop 4597   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℂcc 11072  ℝcr 11073  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077   · cmul 11079   ≤ cle 11215   − cmin 11411   / cdiv 11841  ℕcn 12187  2c2 12242  3c3 12243  5c5 12245  ℤcz 12535  ℤ_≥cuz 12799  ℝ⁺crp 12957  ..^cfzo 13621  ⌈cceil 13759   mod cmo 13837  Vtxcvtx 28929  Edgcedg 28980   gPetersenGr cgpg 48021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-oadd 8440  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-xnn0 12522  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-rp 12958  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-ceil 13761  df-mod 13838  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14302  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-dvds 16229  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-edgf 28922  df-iedg 28932  df-edg 28981  df-gpg 48022

This theorem is referenced by:  gpg5nbgr3star  48062