Theorem gpg5nbgrvtx13starlem2 48870

Description: Lemma 2 for gpg5nbgr3star 48879. (Contributed by AV, 8-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpg5nbgrvtx03starlem1.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpg5nbgrvtx03starlem1.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpg5nbgrvtx03starlem1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
gpg5nbgrvtx03starlem1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gpg5nbgrvtx13starlem2	⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸)

Proof of Theorem gpg5nbgrvtx13starlem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5447	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
2		opex 5447	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
4		opex 5447	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, 𝑥⟩ ∈ V
5		opex 5447	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
7	3, 6	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
8		ax-1ne0 11180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 0
9	8	orci 879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
10		1ex 11214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
11		ovex 7449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ V
12	10, 11	opthne 5466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
13	9, 12	mpbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩
14	8	orci 879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
15	10, 11	opthne 5466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
16	14, 15	mpbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩
17	13, 16	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩))
19	18	orcd 887	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)))
20		prneimg 4821	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → (((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩}))
21	7, 19, 20	mpsyl 69	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
22	13	orci 879	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩)
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))
24	8	orci 879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
25		ovex 7449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ∈ V
26	10, 25	opthne 5466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
27	24, 26	mpbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩
28	27	olci 880	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩)
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))
30		opex 5447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V
31	4, 30	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)
32	3, 31	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V))
33		prneimg2 4822	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
34	32, 33	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
35	23, 29, 34	mpbir2and 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
36		gpg5nbgrvtx03starlem1.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
37		fvoveq1 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 = 5 → (⌈‘(𝑁 / 2)) = (⌈‘(5 / 2)))
38		ceil5half3 48116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3
39	37, 38	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 = 5 → (⌈‘(𝑁 / 2)) = 3)
40	39	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 = 5 → (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) = (1..^3))
41	36, 40	eqtrid 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝐽 = (1..^3))
42	41	eleq2d 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝐾 ∈ 𝐽 ↔ 𝐾 ∈ (1..^3)))
43	42	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ (1..^3))
44	43	anim1ci 628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^3)))
45		minusmodnep2tmod 48129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^3)) → ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ ((𝑋 + (2 · 𝐾)) mod 5))
46	44, 45	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ ((𝑋 + (2 · 𝐾)) mod 5))
47		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 = 5 → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 5))
48		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 = 5 → ((𝑋 + (2 · 𝐾)) mod 𝑁) = ((𝑋 + (2 · 𝐾)) mod 5))
49	47, 48	neeq12d 3021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = 5 → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + (2 · 𝐾)) mod 𝑁) ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ ((𝑋 + (2 · 𝐾)) mod 5)))
50	49	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + (2 · 𝐾)) mod 𝑁) ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ ((𝑋 + (2 · 𝐾)) mod 5)))
51	46, 50	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + (2 · 𝐾)) mod 𝑁))
52		zcn 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℂ)
53	52	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℂ)
54		elfzoelz 13700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
55	54, 36	eleq2s 2883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℤ)
56	55	zcnd 12713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℂ)
57	56	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
58	53, 57, 57	addassd 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 𝐾) + 𝐾) = (𝑋 + (𝐾 + 𝐾)))
59	57	2timesd 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (2 · 𝐾) = (𝐾 + 𝐾))
60	59	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
61	60	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 + (𝐾 + 𝐾)) = (𝑋 + (2 · 𝐾)))
62	58, 61	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 𝐾) + 𝐾) = (𝑋 + (2 · 𝐾)))
63	62	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (((𝑋 + 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + (2 · 𝐾)) mod 𝑁))
64	51, 63	neeqtrrd 3034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ (((𝑋 + 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
65		zre 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℝ)
66	65	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℝ)
67	55	zred 12712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℝ)
68	67	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
69	66, 68	readdcld 11249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 + 𝐾) ∈ ℝ)
70		5nn 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 5 ∈ ℕ
71		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ 5 ∈ ℕ))
72	70, 71	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ℕ)
73	72	nnrpd 13070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ℝ+)
74	73	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
75		modaddmod 13959	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = (((𝑋 + 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
76	69, 68, 74, 75	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = (((𝑋 + 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
77	64, 76	neeqtrrd 3034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))
78	77	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))
79		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) = (𝑥 + 𝐾))
80	79	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 → ((((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
81	80	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
82	78, 81	neeqtrd 3029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
83	82	olcd 888	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
84	83	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 → ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))))
85		orc 881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
86	85	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 → ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))))
87	84, 86	pm2.61ine 3043	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
88	10, 11	opthne 5466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
89		neirr 2969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 1 ≠ 1
90	89	biorfi 952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
91	88, 90	bitr4i 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
92	91	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
93	10, 25	opthne 5466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
94	89	biorfi 952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
95	93, 94	bitr4i 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
96	95	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
97	92, 96	orbi12d 932	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ↔ (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))))
98	87, 97	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩))
99		2z 12637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℤ
100	70	nnzi 12629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 5 ∈ ℤ
101		2re 12326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
102		5re 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 5 ∈ ℝ
103		2lt5 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 < 5
104	101, 102, 103	ltleii 11344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ≤ 5
105		eluz2 12880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 5))
106	99, 100, 104, 105	mpbir3an 1360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘2)
107		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 5 ∈ (ℤ≥‘2)))
108	106, 107	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
109	108	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
110		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℤ)
111	36	ceilhalfelfzo1 48104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))
112	72, 111	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))
113	112	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁))
114	113	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁))
115		zplusmodne 48119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ (𝑋 mod 𝑁))
116	109, 110, 114, 115	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ (𝑋 mod 𝑁))
117	56	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ ℂ)
118		npcan 11477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑋 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑋)
119	52, 117, 118	syl2anr 609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑋)
120	119	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (((𝑋 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = (𝑋 mod 𝑁))
121	116, 120	neeqtrrd 3034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ (((𝑋 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
122	54	zred 12712	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℝ)
123	122, 36	eleq2s 2883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℝ)
124	123	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
125	66, 124	resubcld 11653	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 − 𝐾) ∈ ℝ)
126		5rp 13035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ ℝ+
127		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ ℝ+ ↔ 5 ∈ ℝ+))
128	126, 127	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ℝ+)
129	128	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
130		modaddmod 13959	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = (((𝑋 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
131	125, 124, 129, 130	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = (((𝑋 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
132	121, 131	neeqtrrd 3034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))
133	132	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))
134		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) = (𝑥 + 𝐾))
135	134	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 → ((((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
136	135	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
137	133, 136	neeqtrd 3029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
138	137	orcd 887	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
139	138	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑥 → ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)))
140		olc 882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
141	140	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 → ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)))
142	139, 141	pm2.61ine 3043	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
143	10, 11	opthne 5466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
144	89	biorfi 952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
145	143, 144	bitr4i 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
146	145	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
147	10, 25	opthne 5466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
148	89	biorfi 952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
149	147, 148	bitr4i 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
150	149	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
151	146, 150	orbi12d 932	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ↔ (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)))
152	142, 151	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))
153		opex 5447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
154	30, 153	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
155	3, 154	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
156		prneimg2 4822	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∧ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))))
157	155, 156	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∧ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))))
158	98, 152, 157	mpbir2and 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
159	21, 35, 158	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
160	159	ralrimiva 3159	. . . 4 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
161		ralnex 3093	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
162		3ioran 1123	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
163		df-ne 2961	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
164		df-ne 2961	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
165		df-ne 2961	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
166	163, 164, 165	3anbi123i 1173	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
167	162, 166	bitr4i 281	. . . . . 6 ⊢ (¬ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
168	167	ralbii 3113	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
169	161, 168	bitr3i 280	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
170	160, 169	sylibr 237	. . 3 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
171		5eluz3 12919	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
172		eleq1 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ 5 ∈ (ℤ≥‘3)))
173	171, 172	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
174		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
175		gpg5nbgrvtx03starlem1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
176		gpg5nbgrvtx03starlem1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
177	174, 36, 175, 176	gpgedgel 48848	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
178	173, 177	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
179	178	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
180	170, 179	mtbird 328	. 2 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
181		df-nel 3067	. 2 ⊢ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
182	180, 181	sylibr 237	1 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∉ wnel 3066  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457  {cpr 4593  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116   ≤ cle 11255   − cmin 11452   / cdiv 11882  ℕcn 12244  2c2 12306  3c3 12307  5c5 12309  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12874  ℝ⁺crp 13028  ..^cfzo 13695  ⌈cceil 13838   mod cmo 13916  Vtxcvtx 29377  Edgcedg 29428   gPetersenGr cgpg 48838

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-ceil 13840  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112  df-hash 14381  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-dvds 16329  df-struct 17225  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-edgf 29370  df-iedg 29380  df-edg 29429  df-gpg 48839

This theorem is used by:  gpg5nbgr3star  48879