Theorem addmodne 47348

Description: The sum of a nonnegative integer and a positive integer modulo a number greater than both integers is not equal to the nonnegative integer. (Contributed by AV, 27-Aug-2025.) (Proof shortened by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
addmodne	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑀) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem addmodne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12526	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 2 ∈ ℤ)
3		nnz 12511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		1red 11135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
6		nnre 12154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		nnre 12154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
10		nnge1 12175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
11	10	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 1 ≤ 𝐵)
12		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐵 < 𝑀)
13	5, 7, 9, 11, 12	lelttrd 11293	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 1 < 𝑀)
14		1zzd 12525	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
15		zltp1le 12544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑀))
16	14, 3, 15	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (1 < 𝑀 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑀))
17		1p1e2 12267	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
18	17	breq1i 5102	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ 𝑀)
19	16, 18	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (1 < 𝑀 ↔ 2 ≤ 𝑀))
20	13, 19	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 2 ≤ 𝑀)
21	2, 4, 20	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀))
22	21	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀))
23		eluz2 12760	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀))
24	22, 23	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
25		nn0z 12515	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
26	25	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℤ)
27	26	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℤ)
28		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℕ)
29		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
30	28, 29, 12	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀))
31	30	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀))
32		elfzo1 13634	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀))
33	31, 32	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ (1..^𝑀))
34		zplusmodne 47347	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑀)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑀) ≠ (𝐴 mod 𝑀))
35	24, 27, 33, 34	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑀) ≠ (𝐴 mod 𝑀))
36		nnrp 12924	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ+)
37		nn0re 12412	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
39	36, 38	anim12ci 614	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
40	39	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
41		nn0ge0 12428	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
42	41	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀))
43	42	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀))
44		modid 13819	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐴)
45	40, 43, 44	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐴)
46	35, 45	neeqtrd 2994	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑀) ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℕcn 12147  2c2 12202  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12754  ℝ⁺crp 12912  ..^cfzo 13576   mod cmo 13792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-rp 12913  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-fl 13715  df-mod 13793  df-dvds 16183

This theorem is referenced by:  plusmod5ne  47349  gpgusgralem  48060  gpg3nbgrvtx0  48080