Theorem addmodne 47704

Description: The sum of a nonnegative integer and a positive integer modulo a number greater than both integers is not equal to the nonnegative integer. (Contributed by AV, 27-Aug-2025.) (Proof shortened by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
addmodne	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑀) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem addmodne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12535	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 2 ∈ ℤ)
3		nnz 12521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		1red 11145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
6		nnre 12164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	ad2antrl 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		nnre 12164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
10		nnge1 12185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
11	10	ad2antrl 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 1 ≤ 𝐵)
12		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐵 < 𝑀)
13	5, 7, 9, 11, 12	lelttrd 11303	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 1 < 𝑀)
14		1zzd 12534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
15		zltp1le 12553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑀))
16	14, 3, 15	syl2anr 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (1 < 𝑀 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑀))
17		1p1e2 12277	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
18	17	breq1i 5107	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ 𝑀)
19	16, 18	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (1 < 𝑀 ↔ 2 ≤ 𝑀))
20	13, 19	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 2 ≤ 𝑀)
21	2, 4, 20	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀))
22	21	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀))
23		eluz2 12769	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀))
24	22, 23	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
25		nn0z 12524	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
26	25	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℤ)
27	26	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℤ)
28		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℕ)
29		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
30	28, 29, 12	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀))
31	30	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀))
32		elfzo1 13640	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀))
33	31, 32	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ (1..^𝑀))
34		zplusmodne 47703	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑀)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑀) ≠ (𝐴 mod 𝑀))
35	24, 27, 33, 34	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑀) ≠ (𝐴 mod 𝑀))
36		nnrp 12929	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ+)
37		nn0re 12422	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
39	36, 38	anim12ci 615	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
40	39	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
41		nn0ge0 12438	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
42	41	anim1i 616	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀))
43	42	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀))
44		modid 13828	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐴)
45	40, 43, 44	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐴)
46	35, 45	neeqtrd 3002	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑀) ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℕcn 12157  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ℝ⁺crp 12917  ..^cfzo 13582   mod cmo 13801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-dvds 16192

This theorem is referenced by:  plusmod5ne  47705  gpgusgralem  48416  gpg3nbgrvtx0  48436