Theorem addmodne 47590

Description: The sum of a nonnegative integer and a positive integer modulo a number greater than both integers is not equal to the nonnegative integer. (Contributed by AV, 27-Aug-2025.) (Proof shortened by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
addmodne	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑀) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem addmodne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12523	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 2 ∈ ℤ)
3		nnz 12509	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		1red 11133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
6		nnre 12152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		nnre 12152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
10		nnge1 12173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
11	10	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 1 ≤ 𝐵)
12		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐵 < 𝑀)
13	5, 7, 9, 11, 12	lelttrd 11291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 1 < 𝑀)
14		1zzd 12522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
15		zltp1le 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑀))
16	14, 3, 15	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (1 < 𝑀 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑀))
17		1p1e2 12265	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
18	17	breq1i 5105	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ 𝑀)
19	16, 18	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (1 < 𝑀 ↔ 2 ≤ 𝑀))
20	13, 19	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 2 ≤ 𝑀)
21	2, 4, 20	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀))
22	21	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀))
23		eluz2 12757	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀))
24	22, 23	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
25		nn0z 12512	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
26	25	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℤ)
27	26	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℤ)
28		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℕ)
29		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
30	28, 29, 12	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀))
31	30	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀))
32		elfzo1 13628	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀))
33	31, 32	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ (1..^𝑀))
34		zplusmodne 47589	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑀)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑀) ≠ (𝐴 mod 𝑀))
35	24, 27, 33, 34	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑀) ≠ (𝐴 mod 𝑀))
36		nnrp 12917	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ+)
37		nn0re 12410	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
39	36, 38	anim12ci 614	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
40	39	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
41		nn0ge0 12426	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
42	41	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀))
43	42	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀))
44		modid 13816	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐴)
45	40, 43, 44	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐴)
46	35, 45	neeqtrd 3001	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑀) ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   < clt 11166   ≤ cle 11167  ℕcn 12145  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ℝ⁺crp 12905  ..^cfzo 13570   mod cmo 13789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-dvds 16180

This theorem is referenced by:  plusmod5ne  47591  gpgusgralem  48302  gpg3nbgrvtx0  48322