Theorem addmodne 47319

Description: The sum of a nonnegative integer and a positive integer modulo a number greater than both integers is not equal to the nonnegative integer. (Contributed by AV, 27-Aug-2025.) (Proof shortened by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
addmodne	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑀) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem addmodne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12645	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 2 ∈ ℤ)
3		nnz 12630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		1red 11258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
6		nnre 12269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		nnre 12269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
10		nnge1 12290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
11	10	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 1 ≤ 𝐵)
12		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐵 < 𝑀)
13	5, 7, 9, 11, 12	lelttrd 11415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 1 < 𝑀)
14		1zzd 12644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
15		zltp1le 12663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑀))
16	14, 3, 15	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (1 < 𝑀 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑀))
17		1p1e2 12387	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
18	17	breq1i 5148	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ 𝑀)
19	16, 18	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (1 < 𝑀 ↔ 2 ≤ 𝑀))
20	13, 19	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 2 ≤ 𝑀)
21	2, 4, 20	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀))
22	21	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀))
23		eluz2 12880	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀))
24	22, 23	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
25		nn0z 12634	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
26	25	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℤ)
27	26	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℤ)
28		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℕ)
29		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
30	28, 29, 12	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀))
31	30	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀))
32		elfzo1 13748	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀))
33	31, 32	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ (1..^𝑀))
34		zplusmodne 47318	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑀)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑀) ≠ (𝐴 mod 𝑀))
35	24, 27, 33, 34	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑀) ≠ (𝐴 mod 𝑀))
36		nnrp 13042	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ+)
37		nn0re 12531	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
39	36, 38	anim12ci 614	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
40	39	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
41		nn0ge0 12547	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
42	41	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀))
43	42	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀))
44		modid 13932	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐴)
45	40, 43, 44	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐴)
46	35, 45	neeqtrd 3009	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑀) ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2939   class class class wbr 5141  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429  ℝcr 11150  0cc0 11151  1c1 11152   + caddc 11154   < clt 11291   ≤ cle 11292  ℕcn 12262  2c2 12317  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12874  ℝ⁺crp 13030  ..^cfzo 13690   mod cmo 13905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228  ax-pre-sup 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-div 11917  df-nn 12263  df-2 12325  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12875  df-rp 13031  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-dvds 16287

This theorem is referenced by:  plusmod5ne  47320  gpgusgralem  47984  gpg3nbgrvtx0  48005