Theorem addmodne 48145

Description: The sum of a nonnegative integer and a positive integer modulo a number greater than both integers is not equal to the nonnegative integer. (Contributed by AV, 27-Aug-2025.) (Proof shortened by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
addmodne	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑀) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem addmodne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12641	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 2 ∈ ℤ)
3		nnz 12627	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		1red 11224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
6		nnre 12255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		nnre 12255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
9	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
10		nnge1 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
11	10	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 1 ≤ 𝐵)
12		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐵 < 𝑀)
13	5, 7, 9, 11, 12	lelttrd 11383	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 1 < 𝑀)
14		1zzd 12640	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
15		zltp1le 12659	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑀))
16	14, 3, 15	syl2anr 609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (1 < 𝑀 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑀))
17		1p1e2 12379	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
18	17	breq1i 5118	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ 𝑀)
19	16, 18	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (1 < 𝑀 ↔ 2 ≤ 𝑀))
20	13, 19	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 2 ≤ 𝑀)
21	2, 4, 20	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀))
22	21	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀))
23		eluz2 12884	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀))
24	22, 23	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
25		nn0z 12630	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
26	25	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℤ)
27	26	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℤ)
28		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℕ)
29		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
30	28, 29, 12	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀))
31	30	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀))
32		elfzo1 13758	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀))
33	31, 32	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ (1..^𝑀))
34		zplusmodne 48144	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑀)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑀) ≠ (𝐴 mod 𝑀))
35	24, 27, 33, 34	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑀) ≠ (𝐴 mod 𝑀))
36		nnrp 13044	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ+)
37		nn0re 12528	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
38	37	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
39	36, 38	anim12ci 626	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
40	39	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
41		nn0ge0 12544	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
42	41	anim1i 627	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀))
43	42	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀))
44		modid 13947	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐴)
45	40, 43, 44	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐴)
46	35, 45	neeqtrd 3029	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝑀)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑀) ≠ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118   < clt 11258   ≤ cle 11259  ℕcn 12248  2c2 12310  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  ℝ⁺crp 13032  ..^cfzo 13699   mod cmo 13920

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-mod 13921  df-dvds 16333

This theorem is used by:  plusmod5ne  48146  gpgusgralem  48879  gpg3nbgrvtx0  48899