Theorem elfzo1 13740

Description: Membership in a half-open integer range based at 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo1	⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀))

Proof of Theorem elfzo1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzossnn 13739	. . . 4 ⊢ (1..^𝑀) ⊆ ℕ
2	1	sseli 3941	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		elfzouz2 13702	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluznn 12941	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
6		elfzolt2 13696	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
7	2, 5, 6	3jca 1144	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀))
8		nnuz 12900	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
9	8	eqimssi 4005	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1)
10	9	sseli 3941	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
11		nnz 12611	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
12		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → 𝑁 < 𝑀)
13	10, 11, 12	3anim123i 1167	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 𝑀))
14		elfzo2 13689	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 𝑀))
15	13, 14	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ (1..^𝑀))
16	7, 15	impbii 212	1 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11100   < clt 11242  ℕcn 12232  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  ..^cfzo 13681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682

This theorem is referenced by:  1elfzo1  13742  modfzo0difsn  13978  modsumfzodifsn  13979  cshwshashlem1  17154  cshwshashlem2  17155  pthdivtx  30016  pthdlem2lem  30056  crctcshwlkn0lem3  30101  crctcshwlkn0lem4  30102  crctcshwlkn0lem5  30103  crctcshwlkn0lem6  30104  crctcshwlkn0lem7  30105  clwwisshclwwslem  30305  fiunelros  34508  2tceilhalfelfzo1  47961  1elfzo1ceilhalf1  47966  difltmodne  47973  zplusmodne  47974  addmodne  47975  plusmod5ne  47976  minusmod5ne  47980  modmknepk  47993  mod2addne  47995  modm2nep1  47997  modm1nep2  47999  muldvdsfacgt  48011  iccpartlt  48061  nprmdvdsfacm1  48264  bgoldbtbndlem4  48461  gpgusgralem  48709  gpgedgvtx0  48714  gpgedgvtx1  48715  gpg3kgrtriexlem4  48739  gpg3kgrtriexlem6  48741