Theorem elfzo1 13734

Description: Membership in a half-open integer range based at 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo1	⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀))

Proof of Theorem elfzo1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzossnn 13733	. . . 4 ⊢ (1..^𝑀) ⊆ ℕ
2	1	sseli 3959	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		elfzouz2 13696	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluznn 12939	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
6		elfzolt2 13690	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
7	2, 5, 6	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀))
8		nnuz 12900	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
9	8	eqimssi 4024	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1)
10	9	sseli 3959	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
11		nnz 12614	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
12		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → 𝑁 < 𝑀)
13	10, 11, 12	3anim123i 1151	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 𝑀))
14		elfzo2 13684	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 𝑀))
15	13, 14	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ (1..^𝑀))
16	7, 15	impbii 209	1 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11135   < clt 11274  ℕcn 12245  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ..^cfzo 13676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677

This theorem is referenced by:  modfzo0difsn  13966  modsumfzodifsn  13967  cshwshashlem1  17120  cshwshashlem2  17121  pthdivtx  29714  pthdlem2lem  29754  crctcshwlkn0lem3  29799  crctcshwlkn0lem4  29800  crctcshwlkn0lem5  29801  crctcshwlkn0lem6  29802  crctcshwlkn0lem7  29803  clwwisshclwwslem  30000  fiunelros  34210  2tceilhalfelfzo1  47328  1elfzo1ceilhalf1  47333  difltmodne  47338  zplusmodne  47339  addmodne  47340  plusmod5ne  47341  minusmod5ne  47345  iccpartlt  47405  bgoldbtbndlem4  47789  gpgusgralem  48027  gpgedgvtx0  48032  gpgedgvtx1  48033  gpg3nbgrvtxlem  48036  gpg3kgrtriexlem4  48055  gpg3kgrtriexlem6  48057  gpg5grlic  48060