Theorem gzsumwsubmcl 13801

Description: Closure of the composite in any submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gzsumwsubmcl	⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (𝐺 Σgz 𝑊) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gzsumwsubmcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6093	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σgz 𝑊) = (𝐺 Σgz ∅))
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 = ∅) → (𝐺 Σgz 𝑊) = (𝐺 Σgz ∅))
3		submrcl 13778	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
4		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	4	gzsum0 13713	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐺 Σgz ∅) = (0g‘𝐺))
6	3, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺 Σgz ∅) = (0g‘𝐺))
7	6	ad2antrr 492	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 = ∅) → (𝐺 Σgz ∅) = (0g‘𝐺))
8	2, 7	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 = ∅) → (𝐺 Σgz 𝑊) = (0g‘𝐺))
9	4	subm0cl 13785	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
10	9	ad2antrr 492	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 = ∅) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
11	8, 10	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 = ∅) → (𝐺 Σgz 𝑊) ∈ 𝑆)
12		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
14	3	ad2antrr 492	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ Mnd)
15		lennncl 11324	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
16	15	adantll 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
17		nnm1nn0 9604	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
19		nn0uz 9957	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
20	18, 19	eleqtrdi 2331	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
21		wrdf 11310	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
22	21	ad2antlr 493	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
23	16	nnzd 9767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
24		fzoval 10555	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
26	25	feq2d 5521	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝑆))
27	22, 26	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝑆)
28	12	submss 13783	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
29	28	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
30	27, 29	fssd 5547	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝐺))
31	12, 13, 14, 20, 30	gzsumval2 13714	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σgz 𝑊) = (seq0((+g‘𝐺), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
32		fvexg 5714	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝑊‘𝑥) ∈ V)
33	32	ad4ant24 520	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝑊‘𝑥) ∈ V)
34	27	ffvelcdmda 5843	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘𝑥) ∈ 𝑆)
35	13	submcl 13786	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
36	35	3expb 1235	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
37	36	ad4ant14 518	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
38		ssv 3270	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ V
39	38	a1i 9	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ V)
40		simprl 535	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → 𝑥 ∈ V)
41	14	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → 𝐺 ∈ Mnd)
42		plusgslid 13466	. . . . . . 7 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
43	42	slotex 13379	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (+g‘𝐺) ∈ V)
44	41, 43	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (+g‘𝐺) ∈ V)
45		simprr 537	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → 𝑦 ∈ V)
46		ovexg 6119	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ (+g‘𝐺) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ V)
47	40, 44, 45, 46	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ V)
48	20, 33, 34, 37, 39, 47	seq3clss 10908	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (seq0((+g‘𝐺), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑆)
49	31, 48	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σgz 𝑊) ∈ 𝑆)
50		wrdfin 11323	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)
51		fin0or 7190	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (𝑊 = ∅ ∨ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑊))
52	50, 51	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 = ∅ ∨ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑊))
53		n0r 3535	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑊 → 𝑊 ≠ ∅)
54	53	orim2i 773	. . . 4 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∨ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑊) → (𝑊 = ∅ ∨ 𝑊 ≠ ∅))
55	52, 54	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 = ∅ ∨ 𝑊 ≠ ∅))
56	55	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (𝑊 = ∅ ∨ 𝑊 ≠ ∅))
57	11, 49, 56	mpjaodan 810	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (𝐺 Σgz 𝑊) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Fincfn 7022  0cc0 8179  1c1 8180   − cmin 8497  ℕcn 9304  ℕ₀cn0 9563  ℤcz 9644  ℤ_≥cuz 9921  ...cfz 10411  ..^cfzo 10549  seqcseq 10884  ♯chash 11214  Word cword 11304  Basecbs 13352  +_gcplusg 13431  0_gc0g 13610   Σ_gz cgzsu 13611  Mndcmnd 13729  SubMndcsubmnd 13765

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-ihash 11215  df-word 11305  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-0g 13612  df-gzsum 13613  df-submnd 13767

This theorem is used by:  gzsumwcl  13802