Theorem isumclim 11464

Description: An infinite sum equals the value its series converges to. (Contributed by NM, 25-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumclim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumclim.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumclim.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumclim.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumclim.6	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isumclim	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumclim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumclim.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumclim.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		isumclim.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
4		isumclim.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	isum 11428	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
6		fclim 11337	. . . 4 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
7		ffun 5387	. . . 4 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ⇝
9		isumclim.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐵)
10		funbrfv 5575	. . 3 ⊢ (Fun ⇝ → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐵 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) = 𝐵))
11	8, 9, 10	mpsyl 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) = 𝐵)
12	5, 11	eqtrd 2222	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  dom cdm 4644  Fun wfun 5229  ⟶wf 5231  ‘cfv 5235  ℂcc 7840   + caddc 7845  ℤcz 9284  ℤ_≥cuz 9559  seqcseq 10478   ⇝ cli 11321  Σcsu 11396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-er 6560  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-ihash 10791  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322  df-sumdc 11397

This theorem is referenced by:  isummulc2  11469  isumadd  11474  isumsplit  11534  trirecip  11544  geolim2  11555  geoisum  11560  geoisumr  11561  geoisum1  11562  eftlub  11733  eflegeo  11744