ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumclim GIF version

Theorem isumclim 11538
Description: An infinite sum equals the value its series converges to. (Contributed by NM, 25-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumclim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumclim.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumclim.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumclim.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumclim.6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
isumclim (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumclim
StepHypRef Expression
1 isumclim.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumclim.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 isumclim.3 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
4 isumclim.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
51, 2, 3, 4isum 11502 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
6 fclim 11411 . . . 4 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
7 ffun 5394 . . . 4 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
86, 7ax-mp 5 . . 3 Fun ⇝
9 isumclim.6 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐵)
10 funbrfv 5583 . . 3 (Fun ⇝ → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐵 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) = 𝐵))
118, 9, 10mpsyl 65 . 2 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) = 𝐵)
125, 11eqtrd 2222 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4025  dom cdm 4651  Fun wfun 5236  wf 5238  cfv 5242  cc 7856   + caddc 7861  cz 9303  cuz 9578  seqcseq 10504  cli 11395  Σcsu 11470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4140  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612  ax-cnex 7949  ax-resscn 7950  ax-1cn 7951  ax-1re 7952  ax-icn 7953  ax-addcl 7954  ax-addrcl 7955  ax-mulcl 7956  ax-mulrcl 7957  ax-addcom 7958  ax-mulcom 7959  ax-addass 7960  ax-mulass 7961  ax-distr 7962  ax-i2m1 7963  ax-0lt1 7964  ax-1rid 7965  ax-0id 7966  ax-rnegex 7967  ax-precex 7968  ax-cnre 7969  ax-pre-ltirr 7970  ax-pre-ltwlin 7971  ax-pre-lttrn 7972  ax-pre-apti 7973  ax-pre-ltadd 7974  ax-pre-mulgt0 7975  ax-pre-mulext 7976  ax-arch 7977  ax-caucvg 7978
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-if 3554  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-tr 4124  df-id 4318  df-po 4321  df-iso 4322  df-iord 4391  df-on 4393  df-ilim 4394  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-isom 5251  df-riota 5861  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-1st 6180  df-2nd 6181  df-recs 6345  df-irdg 6410  df-frec 6431  df-1o 6456  df-oadd 6460  df-er 6574  df-en 6782  df-dom 6783  df-fin 6784  df-pnf 8042  df-mnf 8043  df-xr 8044  df-ltxr 8045  df-le 8046  df-sub 8178  df-neg 8179  df-reap 8580  df-ap 8587  df-div 8678  df-inn 8969  df-2 9027  df-3 9028  df-4 9029  df-n0 9227  df-z 9304  df-uz 9579  df-q 9671  df-rp 9706  df-fz 10061  df-fzo 10195  df-seqfrec 10505  df-exp 10584  df-ihash 10821  df-cj 10960  df-re 10961  df-im 10962  df-rsqrt 11116  df-abs 11117  df-clim 11396  df-sumdc 11471
This theorem is referenced by:  isummulc2  11543  isumadd  11548  isumsplit  11608  trirecip  11618  geolim2  11629  geoisum  11634  geoisumr  11635  geoisum1  11636  eftlub  11807  eflegeo  11818
  Copyright terms: Public domain W3C validator