MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem1 26904
Description: Lemma 1 for 2lgs 26917. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))}) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))))
Distinct variable group:   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘ฅ

Proof of Theorem 2lgslem1
Dummy variables ๐‘“ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2lgslem1a 26901 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))} = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)})
21fveq2d 6895 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))}) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}))
3 ovex 7444 . . 3 (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ V
43mptex 7227 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ (๐‘ฆ ยท 2)) โˆˆ V
5 f1oeq1 6821 . . . . 5 (๐‘“ = (๐‘ฆ โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ (๐‘ฆ ยท 2)) โ†’ (๐‘“:(((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)} โ†” (๐‘ฆ โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ (๐‘ฆ ยท 2)):(((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}))
6 eqid 2732 . . . . . 6 (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
7 eqid 2732 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ (๐‘ฆ ยท 2)) = (๐‘ฆ โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ (๐‘ฆ ยท 2))
86, 72lgslem1b 26902 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ (๐‘ฆ ยท 2)):(((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}
94, 5, 8ceqsexv2d 3528 . . . 4 โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}
109a1i 11 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)})
11 hasheqf1oi 14313 . . 3 ((((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ V โ†’ (โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)} โ†’ (โ™ฏโ€˜(((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)})))
123, 10, 11mpsyl 68 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}))
13 prmz 16614 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
1413zred 12668 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
15 4re 12298 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„
1615a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 4 โˆˆ โ„)
17 4ne0 12322 . . . . . . . 8 4 โ‰  0
1817a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 4 โ‰  0)
1914, 16, 18redivcld 12044 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ / 4) โˆˆ โ„)
2019flcld 13765 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„ค)
2120adantr 481 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„ค)
22 oddm1d2 16305 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
2313, 22syl 17 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
2423biimpa 477 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
25 2lgslem1c 26903 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
26 eluz2 12830 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
2721, 24, 25, 26syl3anbrc 1343 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))))
28 hashfzp1 14393 . . 3 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))))
2927, 28syl 17 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))))
302, 12, 293eqtr2d 2778 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))}) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541  โˆƒwex 1781   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6542  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  2c2 12269  4c4 12271  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  ...cfz 13486  โŒŠcfl 13757   mod cmo 13836  โ™ฏchash 14292   โˆฅ cdvds 16199  โ„™cprime 16610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fl 13759  df-mod 13837  df-hash 14293  df-dvds 16200  df-prm 16611
This theorem is referenced by:  2lgs  26917
  Copyright terms: Public domain W3C validator