MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem1 26745
Description: Lemma 1 for 2lgs 26758. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))}) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))))
Distinct variable group:   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘ฅ

Proof of Theorem 2lgslem1
Dummy variables ๐‘“ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2lgslem1a 26742 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))} = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)})
21fveq2d 6847 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))}) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}))
3 ovex 7391 . . 3 (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ V
43mptex 7174 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ (๐‘ฆ ยท 2)) โˆˆ V
5 f1oeq1 6773 . . . . 5 (๐‘“ = (๐‘ฆ โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ (๐‘ฆ ยท 2)) โ†’ (๐‘“:(((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)} โ†” (๐‘ฆ โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ (๐‘ฆ ยท 2)):(((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}))
6 eqid 2737 . . . . . 6 (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
7 eqid 2737 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ (๐‘ฆ ยท 2)) = (๐‘ฆ โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ (๐‘ฆ ยท 2))
86, 72lgslem1b 26743 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ (๐‘ฆ ยท 2)):(((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}
94, 5, 8ceqsexv2d 3498 . . . 4 โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}
109a1i 11 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)})
11 hasheqf1oi 14252 . . 3 ((((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ V โ†’ (โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)} โ†’ (โ™ฏโ€˜(((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)})))
123, 10, 11mpsyl 68 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}))
13 prmz 16552 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
1413zred 12608 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
15 4re 12238 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„
1615a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 4 โˆˆ โ„)
17 4ne0 12262 . . . . . . . 8 4 โ‰  0
1817a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 4 โ‰  0)
1914, 16, 18redivcld 11984 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ / 4) โˆˆ โ„)
2019flcld 13704 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„ค)
2120adantr 482 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„ค)
22 oddm1d2 16243 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
2313, 22syl 17 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
2423biimpa 478 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
25 2lgslem1c 26744 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
26 eluz2 12770 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
2721, 24, 25, 26syl3anbrc 1344 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))))
28 hashfzp1 14332 . . 3 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))))
2927, 28syl 17 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))))
302, 12, 293eqtr2d 2783 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))}) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆƒwrex 3074  {crab 3408  Vcvv 3446   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6496  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„cr 11051  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   ยท cmul 11057   < clt 11190   โ‰ค cle 11191   โˆ’ cmin 11386   / cdiv 11813  2c2 12209  4c4 12211  โ„คcz 12500  โ„คโ‰ฅcuz 12764  ...cfz 13425  โŒŠcfl 13696   mod cmo 13775  โ™ฏchash 14231   โˆฅ cdvds 16137  โ„™cprime 16548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fl 13698  df-mod 13776  df-hash 14232  df-dvds 16138  df-prm 16549
This theorem is referenced by:  2lgs  26758
  Copyright terms: Public domain W3C validator