Theorem 2lgslem1 25688

Description: Lemma 1 for 2lgs 25701. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))}) = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))))

Distinct variable group:   𝑃,𝑖,𝑥

Proof of Theorem 2lgslem1

Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem1a 25685	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)})
2	1	fveq2d 6501	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))}) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)}))
3		ovex 7007	. . 3 ⊢ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ V
4	3	mptex 6811	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝑦 · 2)) ∈ V
5		f1oeq1 6431	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑦 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝑦 · 2)) → (𝑓:(((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)} ↔ (𝑦 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝑦 · 2)):(((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)}))
6		eqid 2773	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) = (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))
7		eqid 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝑦 · 2)) = (𝑦 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝑦 · 2))
8	6, 7	2lgslem1b 25686	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝑦 · 2)):(((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)}
9	4, 5, 8	ceqsexv2d 3458	. . . 4 ⊢ ∃𝑓 𝑓:(((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)}
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∃𝑓 𝑓:(((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)})
11		hasheqf1oi 13526	. . 3 ⊢ ((((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ V → (∃𝑓 𝑓:(((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)} → (♯‘(((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)})))
12	3, 10, 11	mpsyl 68	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (♯‘(((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)}))
13		prmz 15874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
14	13	zred 11899	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
15		4re 11524	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 4 ∈ ℝ)
17		4ne0 11554	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 4 ≠ 0)
19	14, 16, 18	redivcld 11268	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
20	19	flcld 12982	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
21	20	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
22		oddm1d2 15568	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
23	13, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
24	23	biimpa 469	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
25		2lgslem1c 25687	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
26		eluz2 12063	. . . 4 ⊢ (((𝑃 − 1) / 2) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(𝑃 / 4))) ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
27	21, 24, 25, 26	syl3anbrc 1324	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(𝑃 / 4))))
28		hashfzp1 13604	. . 3 ⊢ (((𝑃 − 1) / 2) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(𝑃 / 4))) → (♯‘(((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))) = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))))
29	27, 28	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (♯‘(((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))) = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))))
30	2, 12, 29	3eqtr2d 2815	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))}) = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1508  ∃wex 1743   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2962  ∃wrex 3084  {crab 3087  Vcvv 3410   class class class wbr 4926   ↦ cmpt 5005  –1-1-onto→wf1o 6185  ‘cfv 6186  (class class class)co 6975  ℝcr 10333  0cc0 10334  1c1 10335   + caddc 10337   · cmul 10339   < clt 10473   ≤ cle 10474   − cmin 10669   / cdiv 11097  2c2 11494  4c4 11496  ℤcz 11792  ℤ_≥cuz 12057  ...cfz 12707  ⌊cfl 12974   mod cmo 13051  ♯chash 13504   ∥ cdvds 15466  ℙcprime 15870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411  ax-pre-sup 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-sup 8700  df-inf 8701  df-card 9161  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-4 11504  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-rp 12204  df-fz 12708  df-fl 12976  df-mod 13052  df-hash 13505  df-dvds 15467  df-prm 15871

This theorem is referenced by:  2lgs  25701