Theorem 2lgslem1 27332

Description: Lemma 1 for 2lgs 27345. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))}) = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))))

Distinct variable group:   𝑃,𝑖,𝑥

Proof of Theorem 2lgslem1

Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem1a 27329	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)})
2	1	fveq2d 6826	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))}) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)}))
3		ovex 7379	. . 3 ⊢ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ V
4	3	mptex 7157	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝑦 · 2)) ∈ V
5		f1oeq1 6751	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑦 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝑦 · 2)) → (𝑓:(((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)} ↔ (𝑦 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝑦 · 2)):(((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)}))
6		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) = (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))
7		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝑦 · 2)) = (𝑦 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝑦 · 2))
8	6, 7	2lgslem1b 27330	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝑦 · 2)):(((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)}
9	4, 5, 8	ceqsexv2d 3487	. . . 4 ⊢ ∃𝑓 𝑓:(((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)}
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∃𝑓 𝑓:(((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)})
11		hasheqf1oi 14258	. . 3 ⊢ ((((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ V → (∃𝑓 𝑓:(((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)} → (♯‘(((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)})))
12	3, 10, 11	mpsyl 68	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (♯‘(((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)}))
13		prmz 16586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
14	13	zred 12577	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
15		4re 12209	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 4 ∈ ℝ)
17		4ne0 12233	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 4 ≠ 0)
19	14, 16, 18	redivcld 11949	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
20	19	flcld 13702	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
22		oddm1d2 16271	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
23	13, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
24	23	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
25		2lgslem1c 27331	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
26		eluz2 12738	. . . 4 ⊢ (((𝑃 − 1) / 2) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(𝑃 / 4))) ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
27	21, 24, 25, 26	syl3anbrc 1344	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(𝑃 / 4))))
28		hashfzp1 14338	. . 3 ⊢ (((𝑃 − 1) / 2) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(𝑃 / 4))) → (♯‘(((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))) = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))))
29	27, 28	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (♯‘(((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))) = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))))
30	2, 12, 29	3eqtr2d 2772	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))}) = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  {crab 3395  Vcvv 3436   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   < clt 11146   ≤ cle 11147   − cmin 11344   / cdiv 11774  2c2 12180  4c4 12182  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407  ⌊cfl 13694   mod cmo 13773  ♯chash 14237   ∥ cdvds 16163  ℙcprime 16582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fl 13696  df-mod 13774  df-hash 14238  df-dvds 16164  df-prm 16583

This theorem is referenced by:  2lgs  27345