Theorem 2spthd 27826

Description: A simple path of length 2 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.) (Revised by AV, 24-Jan-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2wlkd.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
2wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2trld.n	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
2spthd.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
2spthd	⊢ (𝜑 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 2spthd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		2wlkd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		2wlkd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
5		2wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
6		2wlkd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		2wlkd.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		2trld.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	2trld 27823	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10		2spthd.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
11		3anan32 1094	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))
12	4, 10, 11	sylanbrc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
13		funcnvs3 14323	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → Fun ◡⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
14	3, 12, 13	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
15	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
16	15	cnveqd 5715	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝑃 = ◡⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
17	16	funeqd 6357	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Fun ◡𝑃 ↔ Fun ◡⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))
18	14, 17	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑃)
19		isspth 27612	. 2 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
20	9, 18, 19	sylanbrc 586	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ⊆ wss 3858  {cpr 4524   class class class wbr 5032  ^◡ccnv 5523  Fun wfun 6329  ‘cfv 6335  ⟨“cs2 14250  ⟨“cs3 14251  Vtxcvtx 26888  iEdgciedg 26889  Trailsctrls 27579  SPathscspths 27601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-hash 13741  df-word 13914  df-concat 13970  df-s1 13997  df-s2 14257  df-s3 14258  df-wlks 27488  df-trls 27581  df-spths 27605

This theorem is referenced by:  2pthond  27827  umgr2adedgspth  27833