Theorem umgr2adedgspth 29981

Description: In a multigraph, two adjacent edges with different endvertices form a simple path of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgr2adedgwlk.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
umgr2adedgwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
umgr2adedgwlk.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
umgr2adedgwlk.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
umgr2adedgwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
umgr2adedgwlk.a	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
umgr2adedgwlk.j	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵})
umgr2adedgwlk.k	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶})
umgr2adedgspth.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
umgr2adedgspth	⊢ (𝜑 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem umgr2adedgspth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2adedgwlk.p	. 2 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		umgr2adedgwlk.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		umgr2adedgwlk.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
4		umgr2adedgwlk.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
5		3anass 1095	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
6	3, 4, 5	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
7		umgr2adedgwlk.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
8	7	umgr2adedgwlklem 29977	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
9	6, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
10	9	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
11	9	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
12		ssid 4031	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝐴, 𝐵}
13		umgr2adedgwlk.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵})
14	12, 13	sseqtrrid 4062	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽))
15		ssid 4031	. . . 4 ⊢ {𝐵, 𝐶} ⊆ {𝐵, 𝐶}
16		umgr2adedgwlk.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶})
17	15, 16	sseqtrrid 4062	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾))
18	14, 17	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
19		eqid 2740	. 2 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
20		umgr2adedgwlk.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
21		fveq2 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 = 𝐽 → (𝐼‘𝐾) = (𝐼‘𝐽))
22	21	eqcoms 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → (𝐼‘𝐾) = (𝐼‘𝐽))
23	22	eqeq1d 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → ((𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶} ↔ (𝐼‘𝐽) = {𝐵, 𝐶}))
24		eqtr2 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼‘𝐽) = {𝐵, 𝐶} ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵}) → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
25	24	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼‘𝐽) = {𝐵, 𝐶} → ((𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵} → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵}))
26	23, 25	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → ((𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶} → ((𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵} → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})))
27	26	com13 88	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵} → ((𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶} → (𝐽 = 𝐾 → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})))
28	13, 16, 27	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 = 𝐾 → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵}))
29		eqcom 2747	. . . . . 6 ⊢ ({𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐶})
30		prcom 4757	. . . . . . 7 ⊢ {𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐵}
31	30	eqeq2i 2753	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐶} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵})
32	29, 31	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ({𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵})
33	19, 7	umgrpredgv 29175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
34	33	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
35	34	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
36	19, 7	umgrpredgv 29175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
37	36	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
38	37	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
39	35, 38	anim12d 608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
40	3, 4, 39	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
41		preqr1g 4877	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵} → 𝐴 = 𝐶))
42	40, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵} → 𝐴 = 𝐶))
43		umgr2adedgspth.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
44		eqneqall 2957	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 𝐶 → 𝐽 ≠ 𝐾))
45	42, 43, 44	syl6ci 71	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵} → 𝐽 ≠ 𝐾))
46	32, 45	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} → 𝐽 ≠ 𝐾))
47	28, 46	syld 47	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 = 𝐾 → 𝐽 ≠ 𝐾))
48		neqne 2954	. . 3 ⊢ (¬ 𝐽 = 𝐾 → 𝐽 ≠ 𝐾)
49	47, 48	pm2.61d1 180	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
50	1, 2, 10, 11, 18, 19, 20, 49, 43	2spthd 29974	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ⊆ wss 3976  {cpr 4650   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  ⟨“cs2 14890  ⟨“cs3 14891  Vtxcvtx 29031  iEdgciedg 29032  Edgcedg 29082  UMGraphcumgr 29116  SPathscspths 29749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-s1 14644  df-s2 14897  df-s3 14898  df-edg 29083  df-umgr 29118  df-wlks 29635  df-trls 29728  df-spths 29753

This theorem is referenced by: (None)