Theorem umgr2adedgspth 29885

Description: In a multigraph, two adjacent edges with different endvertices form a simple path of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgr2adedgwlk.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
umgr2adedgwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
umgr2adedgwlk.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
umgr2adedgwlk.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
umgr2adedgwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
umgr2adedgwlk.a	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
umgr2adedgwlk.j	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵})
umgr2adedgwlk.k	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶})
umgr2adedgspth.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
umgr2adedgspth	⊢ (𝜑 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem umgr2adedgspth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2adedgwlk.p	. 2 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		umgr2adedgwlk.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		umgr2adedgwlk.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
4		umgr2adedgwlk.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
5		3anass 1094	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
6	3, 4, 5	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
7		umgr2adedgwlk.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
8	7	umgr2adedgwlklem 29881	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
9	6, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
10	9	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
11	9	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
12		ssid 3972	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝐴, 𝐵}
13		umgr2adedgwlk.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵})
14	12, 13	sseqtrrid 3993	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽))
15		ssid 3972	. . . 4 ⊢ {𝐵, 𝐶} ⊆ {𝐵, 𝐶}
16		umgr2adedgwlk.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶})
17	15, 16	sseqtrrid 3993	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾))
18	14, 17	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
19		eqid 2730	. 2 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
20		umgr2adedgwlk.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
21		fveq2 6861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 = 𝐽 → (𝐼‘𝐾) = (𝐼‘𝐽))
22	21	eqcoms 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → (𝐼‘𝐾) = (𝐼‘𝐽))
23	22	eqeq1d 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → ((𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶} ↔ (𝐼‘𝐽) = {𝐵, 𝐶}))
24		eqtr2 2751	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼‘𝐽) = {𝐵, 𝐶} ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵}) → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
25	24	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼‘𝐽) = {𝐵, 𝐶} → ((𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵} → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵}))
26	23, 25	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → ((𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶} → ((𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵} → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})))
27	26	com13 88	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵} → ((𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶} → (𝐽 = 𝐾 → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})))
28	13, 16, 27	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 = 𝐾 → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵}))
29		eqcom 2737	. . . . . 6 ⊢ ({𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐶})
30		prcom 4699	. . . . . . 7 ⊢ {𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐵}
31	30	eqeq2i 2743	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐶} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵})
32	29, 31	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ({𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵})
33	19, 7	umgrpredgv 29074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
34	33	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
35	34	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
36	19, 7	umgrpredgv 29074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
37	36	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
38	37	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
39	35, 38	anim12d 609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
40	3, 4, 39	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
41		preqr1g 4819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵} → 𝐴 = 𝐶))
42	40, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵} → 𝐴 = 𝐶))
43		umgr2adedgspth.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
44		eqneqall 2937	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 𝐶 → 𝐽 ≠ 𝐾))
45	42, 43, 44	syl6ci 71	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵} → 𝐽 ≠ 𝐾))
46	32, 45	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} → 𝐽 ≠ 𝐾))
47	28, 46	syld 47	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 = 𝐾 → 𝐽 ≠ 𝐾))
48		neqne 2934	. . 3 ⊢ (¬ 𝐽 = 𝐾 → 𝐽 ≠ 𝐾)
49	47, 48	pm2.61d1 180	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
50	1, 2, 10, 11, 18, 19, 20, 49, 43	2spthd 29878	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ⊆ wss 3917  {cpr 4594   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  ⟨“cs2 14814  ⟨“cs3 14815  Vtxcvtx 28930  iEdgciedg 28931  Edgcedg 28981  UMGraphcumgr 29015  SPathscspths 29648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-s2 14821  df-s3 14822  df-edg 28982  df-umgr 29017  df-wlks 29534  df-trls 29627  df-spths 29652

This theorem is referenced by: (None)