Theorem umgr2adedgspth 28313

Description: In a multigraph, two adjacent edges with different endvertices form a simple path of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgr2adedgwlk.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
umgr2adedgwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
umgr2adedgwlk.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
umgr2adedgwlk.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
umgr2adedgwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
umgr2adedgwlk.a	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
umgr2adedgwlk.j	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵})
umgr2adedgwlk.k	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶})
umgr2adedgspth.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
umgr2adedgspth	⊢ (𝜑 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem umgr2adedgspth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2adedgwlk.p	. 2 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		umgr2adedgwlk.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		umgr2adedgwlk.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
4		umgr2adedgwlk.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
5		3anass 1094	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
6	3, 4, 5	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
7		umgr2adedgwlk.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
8	7	umgr2adedgwlklem 28309	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
9	6, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
10	9	simprd 496	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
11	9	simpld 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
12		ssid 3943	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝐴, 𝐵}
13		umgr2adedgwlk.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵})
14	12, 13	sseqtrrid 3974	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽))
15		ssid 3943	. . . 4 ⊢ {𝐵, 𝐶} ⊆ {𝐵, 𝐶}
16		umgr2adedgwlk.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶})
17	15, 16	sseqtrrid 3974	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾))
18	14, 17	jca 512	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
19		eqid 2738	. 2 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
20		umgr2adedgwlk.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
21		fveq2 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 = 𝐽 → (𝐼‘𝐾) = (𝐼‘𝐽))
22	21	eqcoms 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → (𝐼‘𝐾) = (𝐼‘𝐽))
23	22	eqeq1d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → ((𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶} ↔ (𝐼‘𝐽) = {𝐵, 𝐶}))
24		eqtr2 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼‘𝐽) = {𝐵, 𝐶} ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵}) → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
25	24	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼‘𝐽) = {𝐵, 𝐶} → ((𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵} → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵}))
26	23, 25	syl6bi 252	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → ((𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶} → ((𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵} → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})))
27	26	com13 88	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵} → ((𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶} → (𝐽 = 𝐾 → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})))
28	13, 16, 27	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 = 𝐾 → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵}))
29		eqcom 2745	. . . . . 6 ⊢ ({𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐶})
30		prcom 4668	. . . . . . 7 ⊢ {𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐵}
31	30	eqeq2i 2751	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐶} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵})
32	29, 31	bitri 274	. . . . 5 ⊢ ({𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵})
33	19, 7	umgrpredgv 27510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
34	33	simpld 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
35	34	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
36	19, 7	umgrpredgv 27510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
37	36	simprd 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
38	37	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
39	35, 38	anim12d 609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
40	3, 4, 39	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
41		preqr1g 4783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵} → 𝐴 = 𝐶))
42	40, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵} → 𝐴 = 𝐶))
43		umgr2adedgspth.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
44		eqneqall 2954	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 𝐶 → 𝐽 ≠ 𝐾))
45	42, 43, 44	syl6ci 71	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵} → 𝐽 ≠ 𝐾))
46	32, 45	syl5bi 241	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} → 𝐽 ≠ 𝐾))
47	28, 46	syld 47	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 = 𝐾 → 𝐽 ≠ 𝐾))
48		neqne 2951	. . 3 ⊢ (¬ 𝐽 = 𝐾 → 𝐽 ≠ 𝐾)
49	47, 48	pm2.61d1 180	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
50	1, 2, 10, 11, 18, 19, 20, 49, 43	2spthd 28306	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ⊆ wss 3887  {cpr 4563   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  ⟨“cs2 14554  ⟨“cs3 14555  Vtxcvtx 27366  iEdgciedg 27367  Edgcedg 27417  UMGraphcumgr 27451  SPathscspths 28081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-s3 14562  df-edg 27418  df-umgr 27453  df-wlks 27966  df-trls 28060  df-spths 28085

This theorem is referenced by: (None)