Theorem umgr2adedgspth 29930

Description: In a multigraph, two adjacent edges with different endvertices form a simple path of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgr2adedgwlk.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
umgr2adedgwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
umgr2adedgwlk.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
umgr2adedgwlk.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
umgr2adedgwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
umgr2adedgwlk.a	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
umgr2adedgwlk.j	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵})
umgr2adedgwlk.k	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶})
umgr2adedgspth.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
umgr2adedgspth	⊢ (𝜑 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem umgr2adedgspth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2adedgwlk.p	. 2 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		umgr2adedgwlk.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		umgr2adedgwlk.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
4		umgr2adedgwlk.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
5		3anass 1094	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
6	3, 4, 5	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
7		umgr2adedgwlk.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
8	7	umgr2adedgwlklem 29926	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
9	6, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
10	9	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
11	9	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
12		ssid 3981	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝐴, 𝐵}
13		umgr2adedgwlk.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵})
14	12, 13	sseqtrrid 4002	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽))
15		ssid 3981	. . . 4 ⊢ {𝐵, 𝐶} ⊆ {𝐵, 𝐶}
16		umgr2adedgwlk.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶})
17	15, 16	sseqtrrid 4002	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾))
18	14, 17	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
19		eqid 2735	. 2 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
20		umgr2adedgwlk.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
21		fveq2 6876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 = 𝐽 → (𝐼‘𝐾) = (𝐼‘𝐽))
22	21	eqcoms 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → (𝐼‘𝐾) = (𝐼‘𝐽))
23	22	eqeq1d 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → ((𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶} ↔ (𝐼‘𝐽) = {𝐵, 𝐶}))
24		eqtr2 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼‘𝐽) = {𝐵, 𝐶} ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵}) → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
25	24	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼‘𝐽) = {𝐵, 𝐶} → ((𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵} → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵}))
26	23, 25	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → ((𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶} → ((𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵} → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})))
27	26	com13 88	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵} → ((𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶} → (𝐽 = 𝐾 → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})))
28	13, 16, 27	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 = 𝐾 → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵}))
29		eqcom 2742	. . . . . 6 ⊢ ({𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐶})
30		prcom 4708	. . . . . . 7 ⊢ {𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐵}
31	30	eqeq2i 2748	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐶} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵})
32	29, 31	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ({𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵})
33	19, 7	umgrpredgv 29119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
34	33	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
35	34	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
36	19, 7	umgrpredgv 29119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
37	36	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
38	37	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
39	35, 38	anim12d 609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
40	3, 4, 39	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
41		preqr1g 4828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵} → 𝐴 = 𝐶))
42	40, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵} → 𝐴 = 𝐶))
43		umgr2adedgspth.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
44		eqneqall 2943	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 𝐶 → 𝐽 ≠ 𝐾))
45	42, 43, 44	syl6ci 71	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵} → 𝐽 ≠ 𝐾))
46	32, 45	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} → 𝐽 ≠ 𝐾))
47	28, 46	syld 47	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 = 𝐾 → 𝐽 ≠ 𝐾))
48		neqne 2940	. . 3 ⊢ (¬ 𝐽 = 𝐾 → 𝐽 ≠ 𝐾)
49	47, 48	pm2.61d1 180	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
50	1, 2, 10, 11, 18, 19, 20, 49, 43	2spthd 29923	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3926  {cpr 4603   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  ⟨“cs2 14860  ⟨“cs3 14861  Vtxcvtx 28975  iEdgciedg 28976  Edgcedg 29026  UMGraphcumgr 29060  SPathscspths 29693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-concat 14589  df-s1 14614  df-s2 14867  df-s3 14868  df-edg 29027  df-umgr 29062  df-wlks 29579  df-trls 29672  df-spths 29697

This theorem is referenced by: (None)