MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2adedgspth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2adedgspth 29779
Description: In a multigraph, two adjacent edges with different endvertices form a simple path of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
umgr2adedgwlk.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
umgr2adedgwlk.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
umgr2adedgwlk.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
umgr2adedgwlk.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
umgr2adedgwlk.g (𝜑𝐺 ∈ UMGraph)
umgr2adedgwlk.a (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
umgr2adedgwlk.j (𝜑 → (𝐼𝐽) = {𝐴, 𝐵})
umgr2adedgwlk.k (𝜑 → (𝐼𝐾) = {𝐵, 𝐶})
umgr2adedgspth.n (𝜑𝐴𝐶)
Assertion
Ref Expression
umgr2adedgspth (𝜑𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem umgr2adedgspth
StepHypRef Expression
1 umgr2adedgwlk.p . 2 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2 umgr2adedgwlk.f . 2 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3 umgr2adedgwlk.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ UMGraph)
4 umgr2adedgwlk.a . . . . 5 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
5 3anass 1092 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
63, 4, 5sylanbrc 581 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
7 umgr2adedgwlk.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
87umgr2adedgwlklem 29775 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
96, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
109simprd 494 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
119simpld 493 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
12 ssid 4004 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝐴, 𝐵}
13 umgr2adedgwlk.j . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝐽) = {𝐴, 𝐵})
1412, 13sseqtrrid 4035 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽))
15 ssid 4004 . . . 4 {𝐵, 𝐶} ⊆ {𝐵, 𝐶}
16 umgr2adedgwlk.k . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝐾) = {𝐵, 𝐶})
1715, 16sseqtrrid 4035 . . 3 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾))
1814, 17jca 510 . 2 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
19 eqid 2728 . 2 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
20 umgr2adedgwlk.i . 2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
21 fveq2 6902 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 𝐽 → (𝐼𝐾) = (𝐼𝐽))
2221eqcoms 2736 . . . . . . . 8 (𝐽 = 𝐾 → (𝐼𝐾) = (𝐼𝐽))
2322eqeq1d 2730 . . . . . . 7 (𝐽 = 𝐾 → ((𝐼𝐾) = {𝐵, 𝐶} ↔ (𝐼𝐽) = {𝐵, 𝐶}))
24 eqtr2 2752 . . . . . . . 8 (((𝐼𝐽) = {𝐵, 𝐶} ∧ (𝐼𝐽) = {𝐴, 𝐵}) → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
2524ex 411 . . . . . . 7 ((𝐼𝐽) = {𝐵, 𝐶} → ((𝐼𝐽) = {𝐴, 𝐵} → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵}))
2623, 25biimtrdi 252 . . . . . 6 (𝐽 = 𝐾 → ((𝐼𝐾) = {𝐵, 𝐶} → ((𝐼𝐽) = {𝐴, 𝐵} → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})))
2726com13 88 . . . . 5 ((𝐼𝐽) = {𝐴, 𝐵} → ((𝐼𝐾) = {𝐵, 𝐶} → (𝐽 = 𝐾 → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})))
2813, 16, 27sylc 65 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 = 𝐾 → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵}))
29 eqcom 2735 . . . . . 6 ({𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐶})
30 prcom 4741 . . . . . . 7 {𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐵}
3130eqeq2i 2741 . . . . . 6 ({𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐶} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵})
3229, 31bitri 274 . . . . 5 ({𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵})
3319, 7umgrpredgv 28973 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
3433simpld 493 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
3534ex 411 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
3619, 7umgrpredgv 28973 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
3736simprd 494 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
3837ex 411 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
3935, 38anim12d 607 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UMGraph → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
403, 4, 39sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
41 preqr1g 4858 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵} → 𝐴 = 𝐶))
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵} → 𝐴 = 𝐶))
43 umgr2adedgspth.n . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐶)
44 eqneqall 2948 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐶 → (𝐴𝐶𝐽𝐾))
4542, 43, 44syl6ci 71 . . . . 5 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵} → 𝐽𝐾))
4632, 45biimtrid 241 . . . 4 (𝜑 → ({𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} → 𝐽𝐾))
4728, 46syld 47 . . 3 (𝜑 → (𝐽 = 𝐾𝐽𝐾))
48 neqne 2945 . . 3 𝐽 = 𝐾𝐽𝐾)
4947, 48pm2.61d1 180 . 2 (𝜑𝐽𝐾)
501, 2, 10, 11, 18, 19, 20, 49, 432spthd 29772 1 (𝜑𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  wss 3949  {cpr 4634   class class class wbr 5152  cfv 6553  ⟨“cs2 14832  ⟨“cs3 14833  Vtxcvtx 28829  iEdgciedg 28830  Edgcedg 28880  UMGraphcumgr 28914  SPathscspths 29547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-s1 14586  df-s2 14839  df-s3 14840  df-edg 28881  df-umgr 28916  df-wlks 29433  df-trls 29526  df-spths 29551
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator