![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > 4sqlem7 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for 4sq 16837. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
4sqlem5.2 | โข (๐ โ ๐ด โ โค) |
4sqlem5.3 | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
4sqlem5.4 | โข ๐ต = (((๐ด + (๐ / 2)) mod ๐) โ (๐ / 2)) |
Ref | Expression |
---|---|
4sqlem7 | โข (๐ โ (๐ตโ2) โค (((๐โ2) / 2) / 2)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 4sqlem5.2 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ด โ โค) | |
2 | 4sqlem5.3 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
3 | 4sqlem5.4 | . . . . . . 7 โข ๐ต = (((๐ด + (๐ / 2)) mod ๐) โ (๐ / 2)) | |
4 | 1, 2, 3 | 4sqlem5 16815 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ต โ โค โง ((๐ด โ ๐ต) / ๐) โ โค)) |
5 | 4 | simpld 496 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ โค) |
6 | 5 | zred 12608 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
7 | 2 | nnrpd 12956 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โ+) |
8 | 7 | rphalfcld 12970 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ / 2) โ โ+) |
9 | 8 | rpred 12958 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ / 2) โ โ) |
10 | 1, 2, 3 | 4sqlem6 16816 | . . . . 5 โข (๐ โ (-(๐ / 2) โค ๐ต โง ๐ต < (๐ / 2))) |
11 | 10 | simprd 497 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต < (๐ / 2)) |
12 | 6, 9, 11 | ltled 11304 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โค (๐ / 2)) |
13 | 10 | simpld 496 | . . . 4 โข (๐ โ -(๐ / 2) โค ๐ต) |
14 | 9, 6, 13 | lenegcon1d 11738 | . . 3 โข (๐ โ -๐ต โค (๐ / 2)) |
15 | 8 | rpge0d 12962 | . . . 4 โข (๐ โ 0 โค (๐ / 2)) |
16 | lenegsq 15206 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ โง (๐ / 2) โ โ โง 0 โค (๐ / 2)) โ ((๐ต โค (๐ / 2) โง -๐ต โค (๐ / 2)) โ (๐ตโ2) โค ((๐ / 2)โ2))) | |
17 | 6, 9, 15, 16 | syl3anc 1372 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ต โค (๐ / 2) โง -๐ต โค (๐ / 2)) โ (๐ตโ2) โค ((๐ / 2)โ2))) |
18 | 12, 14, 17 | mpbi2and 711 | . 2 โข (๐ โ (๐ตโ2) โค ((๐ / 2)โ2)) |
19 | 2cnd 12232 | . . . . 5 โข (๐ โ 2 โ โ) | |
20 | 19 | sqvald 14049 | . . . 4 โข (๐ โ (2โ2) = (2 ยท 2)) |
21 | 20 | oveq2d 7374 | . . 3 โข (๐ โ ((๐โ2) / (2โ2)) = ((๐โ2) / (2 ยท 2))) |
22 | 2 | nncnd 12170 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
23 | 2ne0 12258 | . . . . 5 โข 2 โ 0 | |
24 | 23 | a1i 11 | . . . 4 โข (๐ โ 2 โ 0) |
25 | 22, 19, 24 | sqdivd 14065 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ / 2)โ2) = ((๐โ2) / (2โ2))) |
26 | 22 | sqcld 14050 | . . . 4 โข (๐ โ (๐โ2) โ โ) |
27 | 26, 19, 19, 24, 24 | divdiv1d 11963 | . . 3 โข (๐ โ (((๐โ2) / 2) / 2) = ((๐โ2) / (2 ยท 2))) |
28 | 21, 25, 27 | 3eqtr4d 2787 | . 2 โข (๐ โ ((๐ / 2)โ2) = (((๐โ2) / 2) / 2)) |
29 | 18, 28 | breqtrd 5132 | 1 โข (๐ โ (๐ตโ2) โค (((๐โ2) / 2) / 2)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2944 class class class wbr 5106 (class class class)co 7358 โcr 11051 0cc0 11052 + caddc 11055 ยท cmul 11057 < clt 11190 โค cle 11191 โ cmin 11386 -cneg 11387 / cdiv 11813 โcn 12154 2c2 12209 โคcz 12500 mod cmo 13775 โcexp 13968 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11108 ax-resscn 11109 ax-1cn 11110 ax-icn 11111 ax-addcl 11112 ax-addrcl 11113 ax-mulcl 11114 ax-mulrcl 11115 ax-mulcom 11116 ax-addass 11117 ax-mulass 11118 ax-distr 11119 ax-i2m1 11120 ax-1ne0 11121 ax-1rid 11122 ax-rnegex 11123 ax-rrecex 11124 ax-cnre 11125 ax-pre-lttri 11126 ax-pre-lttrn 11127 ax-pre-ltadd 11128 ax-pre-mulgt0 11129 ax-pre-sup 11130 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3409 df-v 3448 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-er 8649 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-sup 9379 df-inf 9380 df-pnf 11192 df-mnf 11193 df-xr 11194 df-ltxr 11195 df-le 11196 df-sub 11388 df-neg 11389 df-div 11814 df-nn 12155 df-2 12217 df-3 12218 df-n0 12415 df-z 12501 df-uz 12765 df-rp 12917 df-fl 13698 df-mod 13776 df-seq 13908 df-exp 13969 df-cj 14985 df-re 14986 df-im 14987 df-sqrt 15121 df-abs 15122 |
This theorem is referenced by: 4sqlem15 16832 4sqlem16 16833 2sqlem8 26777 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |