MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem7 16817
Description: Lemma for 4sq 16837. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4sqlem5.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
4sqlem5.4 ๐ต = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
Assertion
Ref Expression
4sqlem7 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2))

Proof of Theorem 4sqlem7
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2 4sqlem5.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
3 4sqlem5.4 . . . . . . 7 ๐ต = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
41, 2, 34sqlem5 16815 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
54simpld 496 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
65zred 12608 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
72nnrpd 12956 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
87rphalfcld 12970 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„+)
98rpred 12958 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„)
101, 2, 34sqlem6 16816 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘€ / 2) โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต < (๐‘€ / 2)))
1110simprd 497 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต < (๐‘€ / 2))
126, 9, 11ltled 11304 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค (๐‘€ / 2))
1310simpld 496 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘€ / 2) โ‰ค ๐ต)
149, 6, 13lenegcon1d 11738 . . 3 (๐œ‘ โ†’ -๐ต โ‰ค (๐‘€ / 2))
158rpge0d 12962 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘€ / 2))
16 lenegsq 15206 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘€ / 2)) โ†’ ((๐ต โ‰ค (๐‘€ / 2) โˆง -๐ต โ‰ค (๐‘€ / 2)) โ†” (๐ตโ†‘2) โ‰ค ((๐‘€ / 2)โ†‘2)))
176, 9, 15, 16syl3anc 1372 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โ‰ค (๐‘€ / 2) โˆง -๐ต โ‰ค (๐‘€ / 2)) โ†” (๐ตโ†‘2) โ‰ค ((๐‘€ / 2)โ†‘2)))
1812, 14, 17mpbi2and 711 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โ‰ค ((๐‘€ / 2)โ†‘2))
19 2cnd 12232 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2019sqvald 14049 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘2) = (2 ยท 2))
2120oveq2d 7374 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / (2โ†‘2)) = ((๐‘€โ†‘2) / (2 ยท 2)))
222nncnd 12170 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
23 2ne0 12258 . . . . 5 2 โ‰  0
2423a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
2522, 19, 24sqdivd 14065 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ / 2)โ†‘2) = ((๐‘€โ†‘2) / (2โ†‘2)))
2622sqcld 14050 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2726, 19, 19, 24, 24divdiv1d 11963 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) = ((๐‘€โ†‘2) / (2 ยท 2)))
2821, 25, 273eqtr4d 2787 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ / 2)โ†‘2) = (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2))
2918, 28breqtrd 5132 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„cr 11051  0cc0 11052   + caddc 11055   ยท cmul 11057   < clt 11190   โ‰ค cle 11191   โˆ’ cmin 11386  -cneg 11387   / cdiv 11813  โ„•cn 12154  2c2 12209  โ„คcz 12500   mod cmo 13775  โ†‘cexp 13968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122
This theorem is referenced by:  4sqlem15  16832  4sqlem16  16833  2sqlem8  26777
  Copyright terms: Public domain W3C validator