MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem7 16982
Description: Lemma for 4sq 17002. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
Assertion
Ref Expression
4sqlem7 (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))

Proof of Theorem 4sqlem7
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 4sqlem5.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 4sqlem5.4 . . . . . . 7 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
41, 2, 34sqlem5 16980 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
54simpld 494 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
65zred 12722 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
72nnrpd 13075 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
87rphalfcld 13089 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ+)
98rpred 13077 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
101, 2, 34sqlem6 16981 . . . . 5 (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵𝐵 < (𝑀 / 2)))
1110simprd 495 . . . 4 (𝜑𝐵 < (𝑀 / 2))
126, 9, 11ltled 11409 . . 3 (𝜑𝐵 ≤ (𝑀 / 2))
1310simpld 494 . . . 4 (𝜑 → -(𝑀 / 2) ≤ 𝐵)
149, 6, 13lenegcon1d 11845 . . 3 (𝜑 → -𝐵 ≤ (𝑀 / 2))
158rpge0d 13081 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 / 2))
16 lenegsq 15359 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 / 2)) → ((𝐵 ≤ (𝑀 / 2) ∧ -𝐵 ≤ (𝑀 / 2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2)))
176, 9, 15, 16syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 ≤ (𝑀 / 2) ∧ -𝐵 ≤ (𝑀 / 2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2)))
1812, 14, 17mpbi2and 712 . 2 (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2))
19 2cnd 12344 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2019sqvald 14183 . . . 4 (𝜑 → (2↑2) = (2 · 2))
2120oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → ((𝑀↑2) / (2↑2)) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
222nncnd 12282 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
23 2ne0 12370 . . . . 5 2 ≠ 0
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ≠ 0)
2522, 19, 24sqdivd 14199 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 / 2)↑2) = ((𝑀↑2) / (2↑2)))
2622sqcld 14184 . . . 4 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
2726, 19, 19, 24, 24divdiv1d 12074 . . 3 (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
2821, 25, 273eqtr4d 2787 . 2 (𝜑 → ((𝑀 / 2)↑2) = (((𝑀↑2) / 2) / 2))
2918, 28breqtrd 5169 1 (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  cz 12613   mod cmo 13909  cexp 14102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275
This theorem is referenced by:  4sqlem15  16997  4sqlem16  16998  2sqlem8  27470
  Copyright terms: Public domain W3C validator