MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem7 16278
Description: Lemma for 4sq 16298. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
Assertion
Ref Expression
4sqlem7 (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))

Proof of Theorem 4sqlem7
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 4sqlem5.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 4sqlem5.4 . . . . . . 7 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
41, 2, 34sqlem5 16276 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
54simpld 498 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
65zred 12084 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
72nnrpd 12426 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
87rphalfcld 12440 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ+)
98rpred 12428 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
101, 2, 34sqlem6 16277 . . . . 5 (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵𝐵 < (𝑀 / 2)))
1110simprd 499 . . . 4 (𝜑𝐵 < (𝑀 / 2))
126, 9, 11ltled 10786 . . 3 (𝜑𝐵 ≤ (𝑀 / 2))
1310simpld 498 . . . 4 (𝜑 → -(𝑀 / 2) ≤ 𝐵)
149, 6, 13lenegcon1d 11220 . . 3 (𝜑 → -𝐵 ≤ (𝑀 / 2))
158rpge0d 12432 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 / 2))
16 lenegsq 14680 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 / 2)) → ((𝐵 ≤ (𝑀 / 2) ∧ -𝐵 ≤ (𝑀 / 2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2)))
176, 9, 15, 16syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 ≤ (𝑀 / 2) ∧ -𝐵 ≤ (𝑀 / 2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2)))
1812, 14, 17mpbi2and 711 . 2 (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2))
19 2cnd 11712 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2019sqvald 13512 . . . 4 (𝜑 → (2↑2) = (2 · 2))
2120oveq2d 7165 . . 3 (𝜑 → ((𝑀↑2) / (2↑2)) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
222nncnd 11650 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
23 2ne0 11738 . . . . 5 2 ≠ 0
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ≠ 0)
2522, 19, 24sqdivd 13528 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 / 2)↑2) = ((𝑀↑2) / (2↑2)))
2622sqcld 13513 . . . 4 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
2726, 19, 19, 24, 24divdiv1d 11445 . . 3 (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
2821, 25, 273eqtr4d 2869 . 2 (𝜑 → ((𝑀 / 2)↑2) = (((𝑀↑2) / 2) / 2))
2918, 28breqtrd 5078 1 (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014   class class class wbr 5052  (class class class)co 7149  cr 10534  0cc0 10535   + caddc 10538   · cmul 10540   < clt 10673  cle 10674  cmin 10868  -cneg 10869   / cdiv 11295  cn 11634  2c2 11689  cz 11978   mod cmo 13241  cexp 13434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595
This theorem is referenced by:  4sqlem15  16293  4sqlem16  16294  2sqlem8  26013
  Copyright terms: Public domain W3C validator