Theorem absdifle 15348

Description: The absolute value of a difference and 'less than or equal to' relation. (Contributed by Paul Chapman, 18-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
absdifle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ 𝐶 ↔ ((𝐵 − 𝐶) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝐶))))

Proof of Theorem absdifle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubcl 11497	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
2		absle 15345	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ 𝐶 ↔ (-𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐶)))
3	1, 2	stoic3 1798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ 𝐶 ↔ (-𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐶)))
4		renegcl 11496	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ)
5		leaddsub2 11666	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 + -𝐶) ≤ 𝐴 ↔ -𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
6	4, 5	syl3an2 1178	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 + -𝐶) ≤ 𝐴 ↔ -𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
7	6	3comr 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + -𝐶) ≤ 𝐴 ↔ -𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
8		recn 11165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
9		recn 11165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
10		negsub 11481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
11	8, 9, 10	syl2an 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
12	11	3adant1 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
13	12	breq1d 5112	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + -𝐶) ≤ 𝐴 ↔ (𝐵 − 𝐶) ≤ 𝐴))
14	7, 13	bitr3d 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐵 − 𝐶) ≤ 𝐴))
15		lesubadd2 11662	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
16	14, 15	anbi12d 641	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((-𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐶) ↔ ((𝐵 − 𝐶) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝐶))))
17	3, 16	bitrd 281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ 𝐶 ↔ ((𝐵 − 𝐶) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  ℝcr 11074   + caddc 11078   ≤ cle 11219   − cmin 11416  -cneg 11417  abscabs 15263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-sup 9390  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-seq 14017  df-exp 14077  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265

This theorem is referenced by:  elicc4abs  15349  rddif  15370  absdifled  15466