Theorem absdifle 15276

Description: The absolute value of a difference and 'less than or equal to' relation. (Contributed by Paul Chapman, 18-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
absdifle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ 𝐶 ↔ ((𝐵 − 𝐶) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝐶))))

Proof of Theorem absdifle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubcl 11453	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
2		absle 15273	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ 𝐶 ↔ (-𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐶)))
3	1, 2	stoic3 1778	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ 𝐶 ↔ (-𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐶)))
4		renegcl 11452	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ)
5		leaddsub2 11622	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 + -𝐶) ≤ 𝐴 ↔ -𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
6	4, 5	syl3an2 1165	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 + -𝐶) ≤ 𝐴 ↔ -𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
7	6	3comr 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + -𝐶) ≤ 𝐴 ↔ -𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
8		recn 11123	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
9		recn 11123	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
10		negsub 11437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
11	8, 9, 10	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
12	11	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
13	12	breq1d 5096	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + -𝐶) ≤ 𝐴 ↔ (𝐵 − 𝐶) ≤ 𝐴))
14	7, 13	bitr3d 281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐵 − 𝐶) ≤ 𝐴))
15		lesubadd2 11618	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
16	14, 15	anbi12d 633	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((-𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐶) ↔ ((𝐵 − 𝐶) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝐶))))
17	3, 16	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ 𝐶 ↔ ((𝐵 − 𝐶) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℂcc 11031  ℝcr 11032   + caddc 11036   ≤ cle 11175   − cmin 11372  -cneg 11373  abscabs 15191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193

This theorem is referenced by:  elicc4abs  15277  rddif  15298  absdifled  15394