Theorem absdiflt 15128

Description: The absolute value of a difference and 'less than' relation. (Contributed by Paul Chapman, 18-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
absdiflt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐶 ↔ ((𝐵 − 𝐶) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐶))))

Proof of Theorem absdiflt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubcl 11386	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
2		abslt 15125	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐶 ↔ (-𝐶 < (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐶)))
3	1, 2	stoic3 1777	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐶 ↔ (-𝐶 < (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐶)))
4		renegcl 11385	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ)
5		ltaddsub2 11551	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 + -𝐶) < 𝐴 ↔ -𝐶 < (𝐴 − 𝐵)))
6	4, 5	syl3an2 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 + -𝐶) < 𝐴 ↔ -𝐶 < (𝐴 − 𝐵)))
7	6	3comr 1124	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + -𝐶) < 𝐴 ↔ -𝐶 < (𝐴 − 𝐵)))
8		recn 11062	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
9		recn 11062	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
10		negsub 11370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
11	8, 9, 10	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
12	11	3adant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
13	12	breq1d 5102	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + -𝐶) < 𝐴 ↔ (𝐵 − 𝐶) < 𝐴))
14	7, 13	bitr3d 280	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 < (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐵 − 𝐶) < 𝐴))
15		ltsubadd2 11547	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵) < 𝐶 ↔ 𝐴 < (𝐵 + 𝐶)))
16	14, 15	anbi12d 631	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((-𝐶 < (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐶) ↔ ((𝐵 − 𝐶) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐶))))
17	3, 16	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐶 ↔ ((𝐵 − 𝐶) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5092  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  ℂcc 10970  ℝcr 10971   + caddc 10975   < clt 11110   − cmin 11306  -cneg 11307  abscabs 15044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-sup 9299  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-seq 13823  df-exp 13884  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046

This theorem is referenced by:  absdifltd  15244  bl2ioo  24061  cnre2csqlem  32158