Theorem rddif 15382

Description: The difference between a real number and its nearest integer is less than or equal to one half. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rddif	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))

Proof of Theorem rddif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfcn 12449	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
2	1	2timesi 12369	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (1 / 2)) = ((1 / 2) + (1 / 2))
3		2cn 12307	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		2ne0 12338	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
5	3, 4	recidi 11937	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
6	2, 5	eqtr3i 2790	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
7	6	oveq2i 7411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 − (1 / 2)) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴 − (1 / 2)) + 1)
8		recn 11178	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℂ)
10	8, 9, 9	nppcan3d 11584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (1 / 2)) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = (𝐴 + (1 / 2)))
11	7, 10	eqtr3id 2814	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (1 / 2)) + 1) = (𝐴 + (1 / 2)))
12		halfre 12448	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
13		readdcl 11171	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
14	12, 13	mpan2 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
15		fllep1 13825	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
16	14, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
17	11, 16	eqbrtrd 5127	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (1 / 2)) + 1) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
18		resubcl 11510	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 − (1 / 2)) ∈ ℝ)
19	12, 18	mpan2 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (1 / 2)) ∈ ℝ)
20		reflcl 13820	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
21	14, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
22		1red 11197	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
23	19, 21, 22	leadd1d 11796	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (1 / 2)) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ↔ ((𝐴 − (1 / 2)) + 1) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1)))
24	17, 23	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (1 / 2)) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
25		flle 13823	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (𝐴 + (1 / 2)))
26	14, 25	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (𝐴 + (1 / 2)))
27		id 23	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
28	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
29		absdifle 15360	. . 3 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2) ↔ ((𝐴 − (1 / 2)) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (𝐴 + (1 / 2)))))
30	21, 27, 28, 29	syl3anc 1394	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2) ↔ ((𝐴 − (1 / 2)) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (𝐴 + (1 / 2)))))
31	24, 26, 30	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   ≤ cle 11232   − cmin 11429   / cdiv 11859  2c2 12286  ⌊cfl 13814  abscabs 15275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fl 13816  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277

This theorem is referenced by:  absrdbnd  15383  rddif2  36928  dnibndlem11  36939  knoppcnlem4  36947  cntotbnd  38307