Theorem rddif 15364

Description: The difference between a real number and its nearest integer is less than or equal to one half. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rddif	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))

Proof of Theorem rddif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfcn 12460	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
2	1	2timesi 12383	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (1 / 2)) = ((1 / 2) + (1 / 2))
3		2cn 12320	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		2ne0 12349	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
5	3, 4	recidi 11977	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
6	2, 5	eqtr3i 2761	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
7	6	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 − (1 / 2)) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴 − (1 / 2)) + 1)
8		recn 11224	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℂ)
10	8, 9, 9	nppcan3d 11626	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (1 / 2)) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = (𝐴 + (1 / 2)))
11	7, 10	eqtr3id 2785	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (1 / 2)) + 1) = (𝐴 + (1 / 2)))
12		halfre 12459	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
13		readdcl 11217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
14	12, 13	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
15		fllep1 13823	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
17	11, 16	eqbrtrd 5146	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (1 / 2)) + 1) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
18		resubcl 11552	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 − (1 / 2)) ∈ ℝ)
19	12, 18	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (1 / 2)) ∈ ℝ)
20		reflcl 13818	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
21	14, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
22		1red 11241	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
23	19, 21, 22	leadd1d 11836	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (1 / 2)) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ↔ ((𝐴 − (1 / 2)) + 1) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1)))
24	17, 23	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (1 / 2)) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
25		flle 13821	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (𝐴 + (1 / 2)))
26	14, 25	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (𝐴 + (1 / 2)))
27		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
28	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
29		absdifle 15342	. . 3 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2) ↔ ((𝐴 − (1 / 2)) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (𝐴 + (1 / 2)))))
30	21, 27, 28, 29	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2) ↔ ((𝐴 − (1 / 2)) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (𝐴 + (1 / 2)))))
31	24, 26, 30	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   ≤ cle 11275   − cmin 11471   / cdiv 11899  2c2 12300  ⌊cfl 13812  abscabs 15258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260

This theorem is referenced by:  absrdbnd  15365  rddif2  36500  dnibndlem11  36511  knoppcnlem4  36519  cntotbnd  37825