MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rddif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rddif 15080
Description: The difference between a real number and its nearest integer is less than or equal to one half. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
rddif (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))

Proof of Theorem rddif
StepHypRef Expression
1 halfcn 12216 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℂ
212timesi 12139 . . . . . . 7 (2 · (1 / 2)) = ((1 / 2) + (1 / 2))
3 2cn 12076 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
4 2ne0 12105 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
53, 4recidi 11734 . . . . . . 7 (2 · (1 / 2)) = 1
62, 5eqtr3i 2763 . . . . . 6 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
76oveq2i 7306 . . . . 5 ((𝐴 − (1 / 2)) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴 − (1 / 2)) + 1)
8 recn 10989 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
91a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℂ)
108, 9, 9nppcan3d 11387 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (1 / 2)) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = (𝐴 + (1 / 2)))
117, 10eqtr3id 2787 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (1 / 2)) + 1) = (𝐴 + (1 / 2)))
12 halfre 12215 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
13 readdcl 10982 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1412, 13mpan2 687 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
15 fllep1 13549 . . . . 5 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
1711, 16eqbrtrd 5099 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (1 / 2)) + 1) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
18 resubcl 11313 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 − (1 / 2)) ∈ ℝ)
1912, 18mpan2 687 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (1 / 2)) ∈ ℝ)
20 reflcl 13544 . . . . 5 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
2114, 20syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
22 1red 11004 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
2319, 21, 22leadd1d 11597 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (1 / 2)) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ↔ ((𝐴 − (1 / 2)) + 1) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1)))
2417, 23mpbird 256 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (1 / 2)) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
25 flle 13547 . . 3 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (𝐴 + (1 / 2)))
2614, 25syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (𝐴 + (1 / 2)))
27 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
2812a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
29 absdifle 15058 . . 3 (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2) ↔ ((𝐴 − (1 / 2)) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (𝐴 + (1 / 2)))))
3021, 27, 28, 29syl3anc 1369 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2) ↔ ((𝐴 − (1 / 2)) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (𝐴 + (1 / 2)))))
3124, 26, 30mpbir2and 709 1 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2101   class class class wbr 5077  cfv 6447  (class class class)co 7295  cc 10897  cr 10898  1c1 10900   + caddc 10902   · cmul 10904  cle 11038  cmin 11233   / cdiv 11660  2c2 12056  cfl 13538  abscabs 14973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-sup 9229  df-inf 9230  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-n0 12262  df-z 12348  df-uz 12611  df-rp 12759  df-fl 13540  df-seq 13750  df-exp 13811  df-cj 14838  df-re 14839  df-im 14840  df-sqrt 14974  df-abs 14975
This theorem is referenced by:  absrdbnd  15081  rddif2  34685  dnibndlem11  34696  knoppcnlem4  34704  cntotbnd  35982
  Copyright terms: Public domain W3C validator