MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rddif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rddif 15379
Description: The difference between a real number and its nearest integer is less than or equal to one half. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
rddif (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))

Proof of Theorem rddif
StepHypRef Expression
1 halfcn 12481 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℂ
212timesi 12404 . . . . . . 7 (2 · (1 / 2)) = ((1 / 2) + (1 / 2))
3 2cn 12341 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
4 2ne0 12370 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
53, 4recidi 11998 . . . . . . 7 (2 · (1 / 2)) = 1
62, 5eqtr3i 2767 . . . . . 6 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
76oveq2i 7442 . . . . 5 ((𝐴 − (1 / 2)) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴 − (1 / 2)) + 1)
8 recn 11245 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
91a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℂ)
108, 9, 9nppcan3d 11647 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (1 / 2)) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = (𝐴 + (1 / 2)))
117, 10eqtr3id 2791 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (1 / 2)) + 1) = (𝐴 + (1 / 2)))
12 halfre 12480 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
13 readdcl 11238 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1412, 13mpan2 691 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
15 fllep1 13841 . . . . 5 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
1711, 16eqbrtrd 5165 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (1 / 2)) + 1) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
18 resubcl 11573 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 − (1 / 2)) ∈ ℝ)
1912, 18mpan2 691 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (1 / 2)) ∈ ℝ)
20 reflcl 13836 . . . . 5 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
2114, 20syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
22 1red 11262 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
2319, 21, 22leadd1d 11857 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (1 / 2)) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ↔ ((𝐴 − (1 / 2)) + 1) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1)))
2417, 23mpbird 257 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (1 / 2)) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
25 flle 13839 . . 3 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (𝐴 + (1 / 2)))
2614, 25syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (𝐴 + (1 / 2)))
27 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
2812a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
29 absdifle 15357 . . 3 (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2) ↔ ((𝐴 − (1 / 2)) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (𝐴 + (1 / 2)))))
3021, 27, 28, 29syl3anc 1373 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2) ↔ ((𝐴 − (1 / 2)) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (𝐴 + (1 / 2)))))
3124, 26, 30mpbir2and 713 1 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  cfl 13830  abscabs 15273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275
This theorem is referenced by:  absrdbnd  15380  rddif2  36478  dnibndlem11  36489  knoppcnlem4  36497  cntotbnd  37803
  Copyright terms: Public domain W3C validator