MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3a 25689
Description: Lemma for 2lgslem3a1 25693. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3a ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝐾))

Proof of Theorem 2lgslem3a
StepHypRef Expression
1 2lgslem2.n . . 3 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2 oveq1 6981 . . . . 5 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 1) − 1))
32oveq1d 6989 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2))
4 fvoveq1 6997 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)))
53, 4oveq12d 6992 . . 3 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))))
61, 5syl5eq 2819 . 2 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))))
7 8nn0 11730 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
9 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)
108, 9nn0mulcld 11770 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 11767 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
12 pncan1 10863 . . . . . . 7 ((8 · 𝐾) ∈ ℂ → (((8 · 𝐾) + 1) − 1) = (8 · 𝐾))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) − 1) = (8 · 𝐾))
1413oveq1d 6989 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) = ((8 · 𝐾) / 2))
15 4cn 11524 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
16 2cn 11513 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
17 4t2e8 11613 . . . . . . . . . . 11 (4 · 2) = 8
1815, 16, 17mulcomli 10447 . . . . . . . . . 10 (2 · 4) = 8
1918eqcomi 2780 . . . . . . . . 9 8 = (2 · 4)
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (2 · 4))
2120oveq1d 6989 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((2 · 4) · 𝐾))
2216a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
2315a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
24 nn0cn 11716 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
2522, 23, 24mulassd 10461 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 4) · 𝐾) = (2 · (4 · 𝐾)))
2621, 25eqtrd 2807 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = (2 · (4 · 𝐾)))
2726oveq1d 6989 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 2) = ((2 · (4 · 𝐾)) / 2))
28 4nn0 11726 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
2928a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
3029, 9nn0mulcld 11770 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
3130nn0cnd 11767 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
32 2ne0 11549 . . . . . . 7 2 ≠ 0
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
3431, 22, 33divcan3d 11220 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (4 · 𝐾)) / 2) = (4 · 𝐾))
3514, 27, 343eqtrd 2811 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) = (4 · 𝐾))
36 1cnd 10432 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
37 4ne0 11553 . . . . . . . . . 10 4 ≠ 0
3815, 37pm3.2i 463 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
40 divdir 11122 . . . . . . . 8 (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)))
4111, 36, 39, 40syl3anc 1352 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)))
42 8cn 11540 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℂ
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
44 div23 11116 . . . . . . . . . 10 ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
4543, 24, 39, 44syl3anc 1352 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
4617eqcomi 2780 . . . . . . . . . . . . 13 8 = (4 · 2)
4746oveq1i 6984 . . . . . . . . . . . 12 (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
4816, 15, 37divcan3i 11185 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 2) / 4) = 2
4947, 48eqtri 2795 . . . . . . . . . . 11 (8 / 4) = 2
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
5150oveq1d 6989 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
5245, 51eqtrd 2807 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
5352oveq1d 6989 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 / 4)))
5441, 53eqtrd 2807 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = ((2 · 𝐾) + (1 / 4)))
5554fveq2d 6500 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))))
56 1lt4 11621 . . . . . 6 1 < 4
57 2nn0 11724 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
5857a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
5958, 9nn0mulcld 11770 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
6059nn0zd 11896 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
61 1nn0 11723 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
6261a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
63 4nn 11522 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
6463a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
65 adddivflid 13001 . . . . . . 7 (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾)))
6660, 62, 64, 65syl3anc 1352 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾)))
6756, 66mpbii 225 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾))
6855, 67eqtrd 2807 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)) = (2 · 𝐾))
6935, 68oveq12d 6992 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) = ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)))
70 2t2e4 11609 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
7170eqcomi 2780 . . . . . . 7 4 = (2 · 2)
7271a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
7372oveq1d 6989 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
7422, 22, 24mulassd 10461 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
7573, 74eqtrd 2807 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
7675oveq1d 6989 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
7759nn0cnd 11767 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
78 2txmxeqx 11585 . . . 4 ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
7977, 78syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
8069, 76, 793eqtrd 2811 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) = (2 · 𝐾))
816, 80sylan9eqr 2829 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  wne 2960   class class class wbr 4925  cfv 6185  (class class class)co 6974  cc 10331  0cc0 10333  1c1 10334   + caddc 10336   · cmul 10338   < clt 10472  cmin 10668   / cdiv 11096  cn 11437  2c2 11493  4c4 11495  8c8 11499  0cn0 11705  cz 11791  cfl 12973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-sup 8699  df-inf 8700  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-rp 12203  df-fl 12975
This theorem is referenced by:  2lgslem3a1  25693
  Copyright terms: Public domain W3C validator