MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3a 27136
Description: Lemma for 2lgslem3a1 27140. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n ๐‘ = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3a ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 1)) โ†’ ๐‘ = (2 ยท ๐พ))

Proof of Theorem 2lgslem3a
StepHypRef Expression
1 2lgslem2.n . . 3 ๐‘ = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))
2 oveq1 7419 . . . . 5 (๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 1) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) = (((8 ยท ๐พ) + 1) โˆ’ 1))
32oveq1d 7427 . . . 4 (๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 1) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) = ((((8 ยท ๐พ) + 1) โˆ’ 1) / 2))
4 fvoveq1 7435 . . . 4 (๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 1) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) = (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 1) / 4)))
53, 4oveq12d 7430 . . 3 (๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 1) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) = (((((8 ยท ๐พ) + 1) โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 1) / 4))))
61, 5eqtrid 2783 . 2 (๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 1) โ†’ ๐‘ = (((((8 ยท ๐พ) + 1) โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 1) / 4))))
7 8nn0 12500 . . . . . . . . . 10 8 โˆˆ โ„•0
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 8 โˆˆ โ„•0)
9 id 22 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
108, 9nn0mulcld 12542 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 ยท ๐พ) โˆˆ โ„•0)
1110nn0cnd 12539 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
12 pncan1 11643 . . . . . . 7 ((8 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((8 ยท ๐พ) + 1) โˆ’ 1) = (8 ยท ๐พ))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((8 ยท ๐พ) + 1) โˆ’ 1) = (8 ยท ๐พ))
1413oveq1d 7427 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((8 ยท ๐พ) + 1) โˆ’ 1) / 2) = ((8 ยท ๐พ) / 2))
15 4cn 12302 . . . . . . . . . . 11 4 โˆˆ โ„‚
16 2cn 12292 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
17 4t2e8 12385 . . . . . . . . . . 11 (4 ยท 2) = 8
1815, 16, 17mulcomli 11228 . . . . . . . . . 10 (2 ยท 4) = 8
1918eqcomi 2740 . . . . . . . . 9 8 = (2 ยท 4)
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 8 = (2 ยท 4))
2120oveq1d 7427 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 ยท ๐พ) = ((2 ยท 4) ยท ๐พ))
2216a1i 11 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2315a1i 11 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
24 nn0cn 12487 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
2522, 23, 24mulassd 11242 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท 4) ยท ๐พ) = (2 ยท (4 ยท ๐พ)))
2621, 25eqtrd 2771 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 ยท ๐พ) = (2 ยท (4 ยท ๐พ)))
2726oveq1d 7427 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((8 ยท ๐พ) / 2) = ((2 ยท (4 ยท ๐พ)) / 2))
28 4nn0 12496 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„•0
2928a1i 11 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โˆˆ โ„•0)
3029, 9nn0mulcld 12542 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 ยท ๐พ) โˆˆ โ„•0)
3130nn0cnd 12539 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
32 2ne0 12321 . . . . . . 7 2 โ‰  0
3332a1i 11 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โ‰  0)
3431, 22, 33divcan3d 12000 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท (4 ยท ๐พ)) / 2) = (4 ยท ๐พ))
3514, 27, 343eqtrd 2775 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((8 ยท ๐พ) + 1) โˆ’ 1) / 2) = (4 ยท ๐พ))
36 1cnd 11214 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
37 4ne0 12325 . . . . . . . . . 10 4 โ‰  0
3815, 37pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0)
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0))
40 divdir 11902 . . . . . . . 8 (((8 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0)) โ†’ (((8 ยท ๐พ) + 1) / 4) = (((8 ยท ๐พ) / 4) + (1 / 4)))
4111, 36, 39, 40syl3anc 1370 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((8 ยท ๐พ) + 1) / 4) = (((8 ยท ๐พ) / 4) + (1 / 4)))
42 8cn 12314 . . . . . . . . . . 11 8 โˆˆ โ„‚
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 8 โˆˆ โ„‚)
44 div23 11896 . . . . . . . . . 10 ((8 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0)) โ†’ ((8 ยท ๐พ) / 4) = ((8 / 4) ยท ๐พ))
4543, 24, 39, 44syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((8 ยท ๐พ) / 4) = ((8 / 4) ยท ๐พ))
4617eqcomi 2740 . . . . . . . . . . . . 13 8 = (4 ยท 2)
4746oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . 12 (8 / 4) = ((4 ยท 2) / 4)
4816, 15, 37divcan3i 11965 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ยท 2) / 4) = 2
4947, 48eqtri 2759 . . . . . . . . . . 11 (8 / 4) = 2
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 / 4) = 2)
5150oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((8 / 4) ยท ๐พ) = (2 ยท ๐พ))
5245, 51eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((8 ยท ๐พ) / 4) = (2 ยท ๐พ))
5352oveq1d 7427 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((8 ยท ๐พ) / 4) + (1 / 4)) = ((2 ยท ๐พ) + (1 / 4)))
5441, 53eqtrd 2771 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((8 ยท ๐พ) + 1) / 4) = ((2 ยท ๐พ) + (1 / 4)))
5554fveq2d 6895 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 1) / 4)) = (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐พ) + (1 / 4))))
56 1lt4 12393 . . . . . 6 1 < 4
57 2nn0 12494 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•0
5857a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
5958, 9nn0mulcld 12542 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐พ) โˆˆ โ„•0)
6059nn0zd 12589 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค)
61 1nn0 12493 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•0
6261a1i 11 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
63 4nn 12300 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„•
6463a1i 11 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โˆˆ โ„•)
65 adddivflid 13788 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„•0 โˆง 4 โˆˆ โ„•) โ†’ (1 < 4 โ†” (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐พ) + (1 / 4))) = (2 ยท ๐พ)))
6660, 62, 64, 65syl3anc 1370 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 < 4 โ†” (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐พ) + (1 / 4))) = (2 ยท ๐พ)))
6756, 66mpbii 232 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐พ) + (1 / 4))) = (2 ยท ๐พ))
6855, 67eqtrd 2771 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 1) / 4)) = (2 ยท ๐พ))
6935, 68oveq12d 7430 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((((8 ยท ๐พ) + 1) โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 1) / 4))) = ((4 ยท ๐พ) โˆ’ (2 ยท ๐พ)))
70 2t2e4 12381 . . . . . . . 8 (2 ยท 2) = 4
7170eqcomi 2740 . . . . . . 7 4 = (2 ยท 2)
7271a1i 11 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 = (2 ยท 2))
7372oveq1d 7427 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 ยท ๐พ) = ((2 ยท 2) ยท ๐พ))
7422, 22, 24mulassd 11242 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท 2) ยท ๐พ) = (2 ยท (2 ยท ๐พ)))
7573, 74eqtrd 2771 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 ยท ๐พ) = (2 ยท (2 ยท ๐พ)))
7675oveq1d 7427 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4 ยท ๐พ) โˆ’ (2 ยท ๐พ)) = ((2 ยท (2 ยท ๐พ)) โˆ’ (2 ยท ๐พ)))
7759nn0cnd 12539 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
78 2txmxeqx 12357 . . . 4 ((2 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท (2 ยท ๐พ)) โˆ’ (2 ยท ๐พ)) = (2 ยท ๐พ))
7977, 78syl 17 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท (2 ยท ๐พ)) โˆ’ (2 ยท ๐พ)) = (2 ยท ๐พ))
8069, 76, 793eqtrd 2775 . 2 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((((8 ยท ๐พ) + 1) โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 1) / 4))) = (2 ยท ๐พ))
816, 80sylan9eqr 2793 1 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 1)) โ†’ ๐‘ = (2 ยท ๐พ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119   < clt 11253   โˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  2c2 12272  4c4 12274  8c8 12278  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  โŒŠcfl 13760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fl 13762
This theorem is referenced by:  2lgslem3a1  27140
  Copyright terms: Public domain W3C validator