MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3a 27454
Description: Lemma for 2lgslem3a1 27458. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3a ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝐾))

Proof of Theorem 2lgslem3a
StepHypRef Expression
1 2lgslem2.n . . 3 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2 oveq1 7437 . . . . 5 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 1) − 1))
32oveq1d 7445 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2))
4 fvoveq1 7453 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)))
53, 4oveq12d 7448 . . 3 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))))
61, 5eqtrid 2786 . 2 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))))
7 8nn0 12546 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
9 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)
108, 9nn0mulcld 12589 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 12586 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
12 pncan1 11684 . . . . . . 7 ((8 · 𝐾) ∈ ℂ → (((8 · 𝐾) + 1) − 1) = (8 · 𝐾))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) − 1) = (8 · 𝐾))
1413oveq1d 7445 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) = ((8 · 𝐾) / 2))
15 4cn 12348 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
16 2cn 12338 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
17 4t2e8 12431 . . . . . . . . . . 11 (4 · 2) = 8
1815, 16, 17mulcomli 11267 . . . . . . . . . 10 (2 · 4) = 8
1918eqcomi 2743 . . . . . . . . 9 8 = (2 · 4)
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (2 · 4))
2120oveq1d 7445 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((2 · 4) · 𝐾))
2216a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
2315a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
24 nn0cn 12533 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
2522, 23, 24mulassd 11281 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 4) · 𝐾) = (2 · (4 · 𝐾)))
2621, 25eqtrd 2774 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = (2 · (4 · 𝐾)))
2726oveq1d 7445 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 2) = ((2 · (4 · 𝐾)) / 2))
28 4nn0 12542 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
2928a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
3029, 9nn0mulcld 12589 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
3130nn0cnd 12586 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
32 2ne0 12367 . . . . . . 7 2 ≠ 0
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
3431, 22, 33divcan3d 12045 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (4 · 𝐾)) / 2) = (4 · 𝐾))
3514, 27, 343eqtrd 2778 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) = (4 · 𝐾))
36 1cnd 11253 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
37 4ne0 12371 . . . . . . . . . 10 4 ≠ 0
3815, 37pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
40 divdir 11944 . . . . . . . 8 (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)))
4111, 36, 39, 40syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)))
42 8cn 12360 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℂ
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
44 div23 11938 . . . . . . . . . 10 ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
4543, 24, 39, 44syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
4617eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . 13 8 = (4 · 2)
4746oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . 12 (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
4816, 15, 37divcan3i 12010 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 2) / 4) = 2
4947, 48eqtri 2762 . . . . . . . . . . 11 (8 / 4) = 2
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
5150oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
5245, 51eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
5352oveq1d 7445 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 / 4)))
5441, 53eqtrd 2774 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = ((2 · 𝐾) + (1 / 4)))
5554fveq2d 6910 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))))
56 1lt4 12439 . . . . . 6 1 < 4
57 2nn0 12540 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
5857a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
5958, 9nn0mulcld 12589 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
6059nn0zd 12636 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
61 1nn0 12539 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
6261a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
63 4nn 12346 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
6463a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
65 adddivflid 13854 . . . . . . 7 (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾)))
6660, 62, 64, 65syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾)))
6756, 66mpbii 233 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾))
6855, 67eqtrd 2774 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)) = (2 · 𝐾))
6935, 68oveq12d 7448 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) = ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)))
70 2t2e4 12427 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
7170eqcomi 2743 . . . . . . 7 4 = (2 · 2)
7271a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
7372oveq1d 7445 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
7422, 22, 24mulassd 11281 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
7573, 74eqtrd 2774 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
7675oveq1d 7445 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
7759nn0cnd 12586 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
78 2txmxeqx 12403 . . . 4 ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
7977, 78syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
8069, 76, 793eqtrd 2778 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) = (2 · 𝐾))
816, 80sylan9eqr 2796 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  4c4 12320  8c8 12324  0cn0 12523  cz 12610  cfl 13826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fl 13828
This theorem is referenced by:  2lgslem3a1  27458
  Copyright terms: Public domain W3C validator