Proof of Theorem 2lgslem3a
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 2lgslem2.n |
. . 3
⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) −
(⌊‘(𝑃 /
4))) |
2 | | oveq1 7239 |
. . . . 5
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 1) −
1)) |
3 | 2 | oveq1d 7247 |
. . . 4
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8
· 𝐾) + 1) − 1)
/ 2)) |
4 | | fvoveq1 7255 |
. . . 4
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) →
(⌊‘(𝑃 / 4)) =
(⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) |
5 | 3, 4 | oveq12d 7250 |
. . 3
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (((𝑃 − 1) / 2) −
(⌊‘(𝑃 / 4))) =
(((((8 · 𝐾) + 1)
− 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)))) |
6 | 1, 5 | syl5eq 2791 |
. 2
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) −
(⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)))) |
7 | | 8nn0 12138 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 8 ∈
ℕ0 |
8 | 7 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 8 ∈ ℕ0) |
9 | | id 22 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 𝐾 ∈
ℕ0) |
10 | 8, 9 | nn0mulcld 12180 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾)
∈ ℕ0) |
11 | 10 | nn0cnd 12177 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾)
∈ ℂ) |
12 | | pncan1 11281 |
. . . . . . 7
⊢ ((8
· 𝐾) ∈ ℂ
→ (((8 · 𝐾) +
1) − 1) = (8 · 𝐾)) |
13 | 11, 12 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) +
1) − 1) = (8 · 𝐾)) |
14 | 13 | oveq1d 7247 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((((8 · 𝐾) +
1) − 1) / 2) = ((8 · 𝐾) / 2)) |
15 | | 4cn 11940 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 4 ∈
ℂ |
16 | | 2cn 11930 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 2 ∈
ℂ |
17 | | 4t2e8 12023 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (4
· 2) = 8 |
18 | 15, 16, 17 | mulcomli 10867 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (2
· 4) = 8 |
19 | 18 | eqcomi 2747 |
. . . . . . . . 9
⊢ 8 = (2
· 4) |
20 | 19 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 8 = (2 · 4)) |
21 | 20 | oveq1d 7247 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾) = ((2
· 4) · 𝐾)) |
22 | 16 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ ℂ) |
23 | 15 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 ∈ ℂ) |
24 | | nn0cn 12125 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 𝐾 ∈
ℂ) |
25 | 22, 23, 24 | mulassd 10881 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((2 · 4) · 𝐾) = (2 · (4 · 𝐾))) |
26 | 21, 25 | eqtrd 2778 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾) = (2
· (4 · 𝐾))) |
27 | 26 | oveq1d 7247 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 · 𝐾) / 2)
= ((2 · (4 · 𝐾)) / 2)) |
28 | | 4nn0 12134 |
. . . . . . . . 9
⊢ 4 ∈
ℕ0 |
29 | 28 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 ∈ ℕ0) |
30 | 29, 9 | nn0mulcld 12180 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾)
∈ ℕ0) |
31 | 30 | nn0cnd 12177 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾)
∈ ℂ) |
32 | | 2ne0 11959 |
. . . . . . 7
⊢ 2 ≠
0 |
33 | 32 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 2 ≠ 0) |
34 | 31, 22, 33 | divcan3d 11638 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((2 · (4 · 𝐾)) / 2) = (4 · 𝐾)) |
35 | 14, 27, 34 | 3eqtrd 2782 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((((8 · 𝐾) +
1) − 1) / 2) = (4 · 𝐾)) |
36 | | 1cnd 10853 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 1 ∈ ℂ) |
37 | | 4ne0 11963 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 4 ≠
0 |
38 | 15, 37 | pm3.2i 474 |
. . . . . . . . 9
⊢ (4 ∈
ℂ ∧ 4 ≠ 0) |
39 | 38 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) |
40 | | divdir 11540 |
. . . . . . . 8
⊢ (((8
· 𝐾) ∈ ℂ
∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8
· 𝐾) + 1) / 4) =
(((8 · 𝐾) / 4) + (1
/ 4))) |
41 | 11, 36, 39, 40 | syl3anc 1373 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) +
1) / 4) = (((8 · 𝐾)
/ 4) + (1 / 4))) |
42 | | 8cn 11952 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 8 ∈
ℂ |
43 | 42 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 8 ∈ ℂ) |
44 | | div23 11534 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((8
∈ ℂ ∧ 𝐾
∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 ·
𝐾) / 4) = ((8 / 4) ·
𝐾)) |
45 | 43, 24, 39, 44 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 · 𝐾) / 4)
= ((8 / 4) · 𝐾)) |
46 | 17 | eqcomi 2747 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 8 = (4
· 2) |
47 | 46 | oveq1i 7242 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (8 / 4) =
((4 · 2) / 4) |
48 | 16, 15, 37 | divcan3i 11603 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((4
· 2) / 4) = 2 |
49 | 47, 48 | eqtri 2766 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (8 / 4) =
2 |
50 | 49 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 / 4) = 2) |
51 | 50 | oveq1d 7247 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 / 4) · 𝐾)
= (2 · 𝐾)) |
52 | 45, 51 | eqtrd 2778 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 · 𝐾) / 4)
= (2 · 𝐾)) |
53 | 52 | oveq1d 7247 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) /
4) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 / 4))) |
54 | 41, 53 | eqtrd 2778 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) +
1) / 4) = ((2 · 𝐾) +
(1 / 4))) |
55 | 54 | fveq2d 6740 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)) = (⌊‘((2 ·
𝐾) + (1 /
4)))) |
56 | | 1lt4 12031 |
. . . . . 6
⊢ 1 <
4 |
57 | | 2nn0 12132 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 2 ∈
ℕ0 |
58 | 57 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ ℕ0) |
59 | 58, 9 | nn0mulcld 12180 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝐾)
∈ ℕ0) |
60 | 59 | nn0zd 12305 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝐾)
∈ ℤ) |
61 | | 1nn0 12131 |
. . . . . . . 8
⊢ 1 ∈
ℕ0 |
62 | 61 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 1 ∈ ℕ0) |
63 | | 4nn 11938 |
. . . . . . . 8
⊢ 4 ∈
ℕ |
64 | 63 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 ∈ ℕ) |
65 | | adddivflid 13418 |
. . . . . . 7
⊢ (((2
· 𝐾) ∈ ℤ
∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4
↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾))) |
66 | 60, 62, 64, 65 | syl3anc 1373 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾))) |
67 | 56, 66 | mpbii 236 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾)) |
68 | 55, 67 | eqtrd 2778 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)) = (2 · 𝐾)) |
69 | 35, 68 | oveq12d 7250 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((((8 · 𝐾) +
1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) = ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾))) |
70 | | 2t2e4 12019 |
. . . . . . . 8
⊢ (2
· 2) = 4 |
71 | 70 | eqcomi 2747 |
. . . . . . 7
⊢ 4 = (2
· 2) |
72 | 71 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 = (2 · 2)) |
73 | 72 | oveq1d 7247 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾) = ((2
· 2) · 𝐾)) |
74 | 22, 22, 24 | mulassd 10881 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾))) |
75 | 73, 74 | eqtrd 2778 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾) = (2
· (2 · 𝐾))) |
76 | 75 | oveq1d 7247 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((4 · 𝐾)
− (2 · 𝐾)) =
((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾))) |
77 | 59 | nn0cnd 12177 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝐾)
∈ ℂ) |
78 | | 2txmxeqx 11995 |
. . . 4
⊢ ((2
· 𝐾) ∈ ℂ
→ ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾)) |
79 | 77, 78 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾)) |
80 | 69, 76, 79 | 3eqtrd 2782 |
. 2
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((((8 · 𝐾) +
1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) = (2 · 𝐾)) |
81 | 6, 80 | sylan9eqr 2801 |
1
⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0
∧ 𝑃 = ((8 ·
𝐾) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝐾)) |