Theorem 2lgslem3a 27635

Description: Lemma for 2lgslem3a1 27639. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3a	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝐾))

Proof of Theorem 2lgslem3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2		oveq1 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 1) − 1))
3	2	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2))
4		fvoveq1 7437	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)))
5	3, 4	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))))
6	1, 5	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))))
7		8nn0 12554	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
9		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	8, 9	nn0mulcld 12597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12594	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
12		pncan1 11665	. . . . . . 7 ⊢ ((8 · 𝐾) ∈ ℂ → (((8 · 𝐾) + 1) − 1) = (8 · 𝐾))
13	11, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) − 1) = (8 · 𝐾))
14	13	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) = ((8 · 𝐾) / 2))
15		2t4e8 12437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 4) = 8
16	15	eqcomi 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 = (2 · 4)
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (2 · 4))
18	17	oveq1d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((2 · 4) · 𝐾))
19		2cn 12343	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
21		4cn 12353	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
23		nn0cn 12541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
24	20, 22, 23	mulassd 11259	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 4) · 𝐾) = (2 · (4 · 𝐾)))
25	18, 24	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = (2 · (4 · 𝐾)))
26	25	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 2) = ((2 · (4 · 𝐾)) / 2))
27		4nn0 12550	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ0
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
29	28, 9	nn0mulcld 12597	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
30	29	nn0cnd 12594	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
31		2ne0 12374	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
33	30, 20, 32	divcan3d 12023	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (4 · 𝐾)) / 2) = (4 · 𝐾))
34	14, 26, 33	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) = (4 · 𝐾))
35		1cnd 11229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
36		4ne0 12379	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ≠ 0
37	21, 36	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
39		divdir 11924	. . . . . . . 8 ⊢ (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)))
40	11, 35, 38, 39	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)))
41		8cn 12365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℂ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
43		div23 11918	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
44	42, 23, 38, 43	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
45		4t2e8 12436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 · 2) = 8
46	45	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 = (4 · 2)
47	46	oveq1i 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
48	19, 21, 36	divcan3i 11988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 2) / 4) = 2
49	47, 48	eqtri 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 / 4) = 2
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
51	50	oveq1d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
52	44, 51	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
53	52	oveq1d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 / 4)))
54	40, 53	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = ((2 · 𝐾) + (1 / 4)))
55	54	fveq2d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))))
56		1lt4 12446	. . . . . 6 ⊢ 1 < 4
57		2nn0 12548	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
58	57	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
59	58, 9	nn0mulcld 12597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
60	59	nn0zd 12643	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
61		1nn0 12547	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
63		4nn 12351	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
65		adddivflid 13882	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾)))
66	60, 62, 64, 65	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾)))
67	56, 66	mpbii 236	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾))
68	55, 67	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)) = (2 · 𝐾))
69	34, 68	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) = ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)))
70		2t2e4 12431	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
71	70	eqcomi 2769	. . . . . . 7 ⊢ 4 = (2 · 2)
72	71	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
73	72	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
74	20, 20, 23	mulassd 11259	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
75	73, 74	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
76	75	oveq1d 7429	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
77	59	nn0cnd 12594	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
78		2txmxeqx 12407	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
79	77, 78	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
80	69, 76, 79	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) = (2 · 𝐾))
81	6, 80	sylan9eqr 2817	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   < clt 11270   − cmin 11468   / cdiv 11898  ℕcn 12260  2c2 12322  4c4 12324  8c8 12328  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ⌊cfl 13854

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fl 13856

This theorem is used by:  2lgslem3a1  27639