MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3a 26747
Description: Lemma for 2lgslem3a1 26751. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n ๐‘ = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3a ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 1)) โ†’ ๐‘ = (2 ยท ๐พ))

Proof of Theorem 2lgslem3a
StepHypRef Expression
1 2lgslem2.n . . 3 ๐‘ = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))
2 oveq1 7365 . . . . 5 (๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 1) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) = (((8 ยท ๐พ) + 1) โˆ’ 1))
32oveq1d 7373 . . . 4 (๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 1) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) = ((((8 ยท ๐พ) + 1) โˆ’ 1) / 2))
4 fvoveq1 7381 . . . 4 (๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 1) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) = (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 1) / 4)))
53, 4oveq12d 7376 . . 3 (๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 1) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) = (((((8 ยท ๐พ) + 1) โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 1) / 4))))
61, 5eqtrid 2789 . 2 (๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 1) โ†’ ๐‘ = (((((8 ยท ๐พ) + 1) โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 1) / 4))))
7 8nn0 12437 . . . . . . . . . 10 8 โˆˆ โ„•0
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 8 โˆˆ โ„•0)
9 id 22 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
108, 9nn0mulcld 12479 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 ยท ๐พ) โˆˆ โ„•0)
1110nn0cnd 12476 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
12 pncan1 11580 . . . . . . 7 ((8 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((8 ยท ๐พ) + 1) โˆ’ 1) = (8 ยท ๐พ))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((8 ยท ๐พ) + 1) โˆ’ 1) = (8 ยท ๐พ))
1413oveq1d 7373 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((8 ยท ๐พ) + 1) โˆ’ 1) / 2) = ((8 ยท ๐พ) / 2))
15 4cn 12239 . . . . . . . . . . 11 4 โˆˆ โ„‚
16 2cn 12229 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
17 4t2e8 12322 . . . . . . . . . . 11 (4 ยท 2) = 8
1815, 16, 17mulcomli 11165 . . . . . . . . . 10 (2 ยท 4) = 8
1918eqcomi 2746 . . . . . . . . 9 8 = (2 ยท 4)
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 8 = (2 ยท 4))
2120oveq1d 7373 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 ยท ๐พ) = ((2 ยท 4) ยท ๐พ))
2216a1i 11 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2315a1i 11 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
24 nn0cn 12424 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
2522, 23, 24mulassd 11179 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท 4) ยท ๐พ) = (2 ยท (4 ยท ๐พ)))
2621, 25eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 ยท ๐พ) = (2 ยท (4 ยท ๐พ)))
2726oveq1d 7373 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((8 ยท ๐พ) / 2) = ((2 ยท (4 ยท ๐พ)) / 2))
28 4nn0 12433 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„•0
2928a1i 11 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โˆˆ โ„•0)
3029, 9nn0mulcld 12479 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 ยท ๐พ) โˆˆ โ„•0)
3130nn0cnd 12476 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
32 2ne0 12258 . . . . . . 7 2 โ‰  0
3332a1i 11 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โ‰  0)
3431, 22, 33divcan3d 11937 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท (4 ยท ๐พ)) / 2) = (4 ยท ๐พ))
3514, 27, 343eqtrd 2781 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((8 ยท ๐พ) + 1) โˆ’ 1) / 2) = (4 ยท ๐พ))
36 1cnd 11151 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
37 4ne0 12262 . . . . . . . . . 10 4 โ‰  0
3815, 37pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0)
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0))
40 divdir 11839 . . . . . . . 8 (((8 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0)) โ†’ (((8 ยท ๐พ) + 1) / 4) = (((8 ยท ๐พ) / 4) + (1 / 4)))
4111, 36, 39, 40syl3anc 1372 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((8 ยท ๐พ) + 1) / 4) = (((8 ยท ๐พ) / 4) + (1 / 4)))
42 8cn 12251 . . . . . . . . . . 11 8 โˆˆ โ„‚
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 8 โˆˆ โ„‚)
44 div23 11833 . . . . . . . . . 10 ((8 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0)) โ†’ ((8 ยท ๐พ) / 4) = ((8 / 4) ยท ๐พ))
4543, 24, 39, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((8 ยท ๐พ) / 4) = ((8 / 4) ยท ๐พ))
4617eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . 13 8 = (4 ยท 2)
4746oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . 12 (8 / 4) = ((4 ยท 2) / 4)
4816, 15, 37divcan3i 11902 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ยท 2) / 4) = 2
4947, 48eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 (8 / 4) = 2
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 / 4) = 2)
5150oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((8 / 4) ยท ๐พ) = (2 ยท ๐พ))
5245, 51eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((8 ยท ๐พ) / 4) = (2 ยท ๐พ))
5352oveq1d 7373 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((8 ยท ๐พ) / 4) + (1 / 4)) = ((2 ยท ๐พ) + (1 / 4)))
5441, 53eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((8 ยท ๐พ) + 1) / 4) = ((2 ยท ๐พ) + (1 / 4)))
5554fveq2d 6847 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 1) / 4)) = (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐พ) + (1 / 4))))
56 1lt4 12330 . . . . . 6 1 < 4
57 2nn0 12431 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•0
5857a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
5958, 9nn0mulcld 12479 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐พ) โˆˆ โ„•0)
6059nn0zd 12526 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค)
61 1nn0 12430 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•0
6261a1i 11 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
63 4nn 12237 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„•
6463a1i 11 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โˆˆ โ„•)
65 adddivflid 13724 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„•0 โˆง 4 โˆˆ โ„•) โ†’ (1 < 4 โ†” (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐พ) + (1 / 4))) = (2 ยท ๐พ)))
6660, 62, 64, 65syl3anc 1372 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 < 4 โ†” (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐พ) + (1 / 4))) = (2 ยท ๐พ)))
6756, 66mpbii 232 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐พ) + (1 / 4))) = (2 ยท ๐พ))
6855, 67eqtrd 2777 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 1) / 4)) = (2 ยท ๐พ))
6935, 68oveq12d 7376 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((((8 ยท ๐พ) + 1) โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 1) / 4))) = ((4 ยท ๐พ) โˆ’ (2 ยท ๐พ)))
70 2t2e4 12318 . . . . . . . 8 (2 ยท 2) = 4
7170eqcomi 2746 . . . . . . 7 4 = (2 ยท 2)
7271a1i 11 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 = (2 ยท 2))
7372oveq1d 7373 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 ยท ๐พ) = ((2 ยท 2) ยท ๐พ))
7422, 22, 24mulassd 11179 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท 2) ยท ๐พ) = (2 ยท (2 ยท ๐พ)))
7573, 74eqtrd 2777 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 ยท ๐พ) = (2 ยท (2 ยท ๐พ)))
7675oveq1d 7373 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4 ยท ๐พ) โˆ’ (2 ยท ๐พ)) = ((2 ยท (2 ยท ๐พ)) โˆ’ (2 ยท ๐พ)))
7759nn0cnd 12476 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
78 2txmxeqx 12294 . . . 4 ((2 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท (2 ยท ๐พ)) โˆ’ (2 ยท ๐พ)) = (2 ยท ๐พ))
7977, 78syl 17 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท (2 ยท ๐พ)) โˆ’ (2 ยท ๐พ)) = (2 ยท ๐พ))
8069, 76, 793eqtrd 2781 . 2 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((((8 ยท ๐พ) + 1) โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 1) / 4))) = (2 ยท ๐พ))
816, 80sylan9eqr 2799 1 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 1)) โ†’ ๐‘ = (2 ยท ๐พ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   ยท cmul 11057   < clt 11190   โˆ’ cmin 11386   / cdiv 11813  โ„•cn 12154  2c2 12209  4c4 12211  8c8 12215  โ„•0cn0 12414  โ„คcz 12500  โŒŠcfl 13696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fl 13698
This theorem is referenced by:  2lgslem3a1  26751
  Copyright terms: Public domain W3C validator