Theorem 2lgslem3a 26449

Description: Lemma for 2lgslem3a1 26453. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3a	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝐾))

Proof of Theorem 2lgslem3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2		oveq1 7262	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 1) − 1))
3	2	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2))
4		fvoveq1 7278	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)))
5	3, 4	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))))
6	1, 5	syl5eq 2791	. 2 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))))
7		8nn0 12186	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
9		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	8, 9	nn0mulcld 12228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12225	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
12		pncan1 11329	. . . . . . 7 ⊢ ((8 · 𝐾) ∈ ℂ → (((8 · 𝐾) + 1) − 1) = (8 · 𝐾))
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) − 1) = (8 · 𝐾))
14	13	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) = ((8 · 𝐾) / 2))
15		4cn 11988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 11978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 10915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (2 · 4))
21	20	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((2 · 4) · 𝐾))
22	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
23	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
24		nn0cn 12173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
25	22, 23, 24	mulassd 10929	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 4) · 𝐾) = (2 · (4 · 𝐾)))
26	21, 25	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = (2 · (4 · 𝐾)))
27	26	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 2) = ((2 · (4 · 𝐾)) / 2))
28		4nn0 12182	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ0
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
30	29, 9	nn0mulcld 12228	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
31	30	nn0cnd 12225	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
32		2ne0 12007	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
34	31, 22, 33	divcan3d 11686	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (4 · 𝐾)) / 2) = (4 · 𝐾))
35	14, 27, 34	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) = (4 · 𝐾))
36		1cnd 10901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
37		4ne0 12011	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ≠ 0
38	15, 37	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
40		divdir 11588	. . . . . . . 8 ⊢ (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)))
41	11, 36, 39, 40	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)))
42		8cn 12000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℂ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
44		div23 11582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
45	43, 24, 39, 44	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
46	17	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 = (4 · 2)
47	46	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
48	16, 15, 37	divcan3i 11651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 2) / 4) = 2
49	47, 48	eqtri 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 / 4) = 2
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
51	50	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
52	45, 51	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
53	52	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 / 4)))
54	41, 53	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = ((2 · 𝐾) + (1 / 4)))
55	54	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))))
56		1lt4 12079	. . . . . 6 ⊢ 1 < 4
57		2nn0 12180	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
58	57	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
59	58, 9	nn0mulcld 12228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
60	59	nn0zd 12353	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
61		1nn0 12179	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
63		4nn 11986	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
65		adddivflid 13466	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾)))
66	60, 62, 64, 65	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾)))
67	56, 66	mpbii 232	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾))
68	55, 67	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)) = (2 · 𝐾))
69	35, 68	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) = ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)))
70		2t2e4 12067	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
71	70	eqcomi 2747	. . . . . . 7 ⊢ 4 = (2 · 2)
72	71	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
73	72	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
74	22, 22, 24	mulassd 10929	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
75	73, 74	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
76	75	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
77	59	nn0cnd 12225	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
78		2txmxeqx 12043	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
79	77, 78	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
80	69, 76, 79	3eqtrd 2782	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) = (2 · 𝐾))
81	6, 80	sylan9eqr 2801	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  4c4 11960  8c8 11964  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ⌊cfl 13438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440

This theorem is referenced by:  2lgslem3a1  26453