MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3a 25986
Description: Lemma for 2lgslem3a1 25990. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3a ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝐾))

Proof of Theorem 2lgslem3a
StepHypRef Expression
1 2lgslem2.n . . 3 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2 oveq1 7156 . . . . 5 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 1) − 1))
32oveq1d 7164 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2))
4 fvoveq1 7172 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)))
53, 4oveq12d 7167 . . 3 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))))
61, 5syl5eq 2871 . 2 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))))
7 8nn0 11917 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
9 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)
108, 9nn0mulcld 11957 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 11954 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
12 pncan1 11062 . . . . . . 7 ((8 · 𝐾) ∈ ℂ → (((8 · 𝐾) + 1) − 1) = (8 · 𝐾))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) − 1) = (8 · 𝐾))
1413oveq1d 7164 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) = ((8 · 𝐾) / 2))
15 4cn 11719 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
16 2cn 11709 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
17 4t2e8 11802 . . . . . . . . . . 11 (4 · 2) = 8
1815, 16, 17mulcomli 10648 . . . . . . . . . 10 (2 · 4) = 8
1918eqcomi 2833 . . . . . . . . 9 8 = (2 · 4)
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (2 · 4))
2120oveq1d 7164 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((2 · 4) · 𝐾))
2216a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
2315a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
24 nn0cn 11904 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
2522, 23, 24mulassd 10662 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 4) · 𝐾) = (2 · (4 · 𝐾)))
2621, 25eqtrd 2859 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = (2 · (4 · 𝐾)))
2726oveq1d 7164 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 2) = ((2 · (4 · 𝐾)) / 2))
28 4nn0 11913 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
2928a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
3029, 9nn0mulcld 11957 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
3130nn0cnd 11954 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
32 2ne0 11738 . . . . . . 7 2 ≠ 0
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
3431, 22, 33divcan3d 11419 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (4 · 𝐾)) / 2) = (4 · 𝐾))
3514, 27, 343eqtrd 2863 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) = (4 · 𝐾))
36 1cnd 10634 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
37 4ne0 11742 . . . . . . . . . 10 4 ≠ 0
3815, 37pm3.2i 474 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
40 divdir 11321 . . . . . . . 8 (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)))
4111, 36, 39, 40syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)))
42 8cn 11731 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℂ
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
44 div23 11315 . . . . . . . . . 10 ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
4543, 24, 39, 44syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
4617eqcomi 2833 . . . . . . . . . . . . 13 8 = (4 · 2)
4746oveq1i 7159 . . . . . . . . . . . 12 (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
4816, 15, 37divcan3i 11384 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 2) / 4) = 2
4947, 48eqtri 2847 . . . . . . . . . . 11 (8 / 4) = 2
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
5150oveq1d 7164 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
5245, 51eqtrd 2859 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
5352oveq1d 7164 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 / 4)))
5441, 53eqtrd 2859 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = ((2 · 𝐾) + (1 / 4)))
5554fveq2d 6665 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))))
56 1lt4 11810 . . . . . 6 1 < 4
57 2nn0 11911 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
5857a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
5958, 9nn0mulcld 11957 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
6059nn0zd 12082 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
61 1nn0 11910 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
6261a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
63 4nn 11717 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
6463a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
65 adddivflid 13192 . . . . . . 7 (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾)))
6660, 62, 64, 65syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾)))
6756, 66mpbii 236 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾))
6855, 67eqtrd 2859 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)) = (2 · 𝐾))
6935, 68oveq12d 7167 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) = ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)))
70 2t2e4 11798 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
7170eqcomi 2833 . . . . . . 7 4 = (2 · 2)
7271a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
7372oveq1d 7164 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
7422, 22, 24mulassd 10662 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
7573, 74eqtrd 2859 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
7675oveq1d 7164 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
7759nn0cnd 11954 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
78 2txmxeqx 11774 . . . 4 ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
7977, 78syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
8069, 76, 793eqtrd 2863 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) = (2 · 𝐾))
816, 80sylan9eqr 2881 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   · cmul 10540   < clt 10673  cmin 10868   / cdiv 11295  cn 11634  2c2 11689  4c4 11691  8c8 11695  0cn0 11894  cz 11978  cfl 13164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fl 13166
This theorem is referenced by:  2lgslem3a1  25990
  Copyright terms: Public domain W3C validator