Theorem 2lgslem3a 27613

Description: Lemma for 2lgslem3a1 27617. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3a	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝐾))

Proof of Theorem 2lgslem3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2		oveq1 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 1) − 1))
3	2	oveq1d 7434	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2))
4		fvoveq1 7442	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)))
5	3, 4	oveq12d 7437	. . 3 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))))
6	1, 5	eqtrid 2812	. 2 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))))
7		8nn0 12544	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
9		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	8, 9	nn0mulcld 12587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
12		pncan1 11655	. . . . . . 7 ⊢ ((8 · 𝐾) ∈ ℂ → (((8 · 𝐾) + 1) − 1) = (8 · 𝐾))
13	11, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) − 1) = (8 · 𝐾))
14	13	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) = ((8 · 𝐾) / 2))
15		2t4e8 12427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 4) = 8
16	15	eqcomi 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 = (2 · 4)
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (2 · 4))
18	17	oveq1d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((2 · 4) · 𝐾))
19		2cn 12333	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
21		4cn 12343	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
23		nn0cn 12531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
24	20, 22, 23	mulassd 11249	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 4) · 𝐾) = (2 · (4 · 𝐾)))
25	18, 24	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = (2 · (4 · 𝐾)))
26	25	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 2) = ((2 · (4 · 𝐾)) / 2))
27		4nn0 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ0
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
29	28, 9	nn0mulcld 12587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
30	29	nn0cnd 12584	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
31		2ne0 12364	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
33	30, 20, 32	divcan3d 12013	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (4 · 𝐾)) / 2) = (4 · 𝐾))
34	14, 26, 33	3eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) = (4 · 𝐾))
35		1cnd 11219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
36		4ne0 12369	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ≠ 0
37	21, 36	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
39		divdir 11914	. . . . . . . 8 ⊢ (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)))
40	11, 35, 38, 39	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)))
41		8cn 12355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℂ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
43		div23 11908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
44	42, 23, 38, 43	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
45		4t2e8 12426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 · 2) = 8
46	45	eqcomi 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 = (4 · 2)
47	46	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
48	19, 21, 36	divcan3i 11978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 2) / 4) = 2
49	47, 48	eqtri 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 / 4) = 2
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
51	50	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
52	44, 51	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
53	52	oveq1d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 / 4)))
54	40, 53	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = ((2 · 𝐾) + (1 / 4)))
55	54	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))))
56		1lt4 12436	. . . . . 6 ⊢ 1 < 4
57		2nn0 12538	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
58	57	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
59	58, 9	nn0mulcld 12587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
60	59	nn0zd 12633	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
61		1nn0 12537	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
63		4nn 12341	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
65		adddivflid 13871	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾)))
66	60, 62, 64, 65	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾)))
67	56, 66	mpbii 236	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾))
68	55, 67	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)) = (2 · 𝐾))
69	34, 68	oveq12d 7437	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) = ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)))
70		2t2e4 12421	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
71	70	eqcomi 2774	. . . . . . 7 ⊢ 4 = (2 · 2)
72	71	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
73	72	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
74	20, 20, 23	mulassd 11249	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
75	73, 74	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
76	75	oveq1d 7434	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
77	59	nn0cnd 12584	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
78		2txmxeqx 12397	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
79	77, 78	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
80	69, 76, 79	3eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) = (2 · 𝐾))
81	6, 80	sylan9eqr 2822	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  0cc0 11117  1c1 11118   + caddc 11120   · cmul 11122   < clt 11260   − cmin 11458   / cdiv 11888  ℕcn 12250  2c2 12312  4c4 12314  8c8 12318  ℕ₀cn0 12521  ℤcz 12608  ⌊cfl 13843

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fl 13845

This theorem is used by:  2lgslem3a1  27617