Theorem 2lgslem3a 27440

Description: Lemma for 2lgslem3a1 27444. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3a	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝐾))

Proof of Theorem 2lgslem3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 1) − 1))
3	2	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2))
4		fvoveq1 7454	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)))
5	3, 4	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))))
6	1, 5	eqtrid 2789	. 2 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))))
7		8nn0 12549	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
9		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	8, 9	nn0mulcld 12592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12589	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
12		pncan1 11687	. . . . . . 7 ⊢ ((8 · 𝐾) ∈ ℂ → (((8 · 𝐾) + 1) − 1) = (8 · 𝐾))
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) − 1) = (8 · 𝐾))
14	13	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) = ((8 · 𝐾) / 2))
15		4cn 12351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 12341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 11270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (2 · 4))
21	20	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((2 · 4) · 𝐾))
22	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
23	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
24		nn0cn 12536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
25	22, 23, 24	mulassd 11284	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 4) · 𝐾) = (2 · (4 · 𝐾)))
26	21, 25	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = (2 · (4 · 𝐾)))
27	26	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 2) = ((2 · (4 · 𝐾)) / 2))
28		4nn0 12545	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ0
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
30	29, 9	nn0mulcld 12592	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
31	30	nn0cnd 12589	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
32		2ne0 12370	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
34	31, 22, 33	divcan3d 12048	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (4 · 𝐾)) / 2) = (4 · 𝐾))
35	14, 27, 34	3eqtrd 2781	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) = (4 · 𝐾))
36		1cnd 11256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
37		4ne0 12374	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ≠ 0
38	15, 37	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
40		divdir 11947	. . . . . . . 8 ⊢ (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)))
41	11, 36, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)))
42		8cn 12363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℂ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
44		div23 11941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
45	43, 24, 39, 44	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
46	17	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 = (4 · 2)
47	46	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
48	16, 15, 37	divcan3i 12013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 2) / 4) = 2
49	47, 48	eqtri 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 / 4) = 2
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
51	50	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
52	45, 51	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
53	52	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 / 4)))
54	41, 53	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = ((2 · 𝐾) + (1 / 4)))
55	54	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))))
56		1lt4 12442	. . . . . 6 ⊢ 1 < 4
57		2nn0 12543	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
58	57	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
59	58, 9	nn0mulcld 12592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
60	59	nn0zd 12639	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
61		1nn0 12542	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
63		4nn 12349	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
65		adddivflid 13858	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾)))
66	60, 62, 64, 65	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾)))
67	56, 66	mpbii 233	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾))
68	55, 67	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)) = (2 · 𝐾))
69	35, 68	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) = ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)))
70		2t2e4 12430	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
71	70	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ 4 = (2 · 2)
72	71	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
73	72	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
74	22, 22, 24	mulassd 11284	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
75	73, 74	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
76	75	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
77	59	nn0cnd 12589	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
78		2txmxeqx 12406	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
79	77, 78	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
80	69, 76, 79	3eqtrd 2781	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) = (2 · 𝐾))
81	6, 80	sylan9eqr 2799	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕcn 12266  2c2 12321  4c4 12323  8c8 12327  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ⌊cfl 13830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832

This theorem is referenced by:  2lgslem3a1  27444