Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 2lgslem2.n |
. . 3
โข ๐ = (((๐ โ 1) / 2) โ
(โโ(๐ /
4))) |
2 | | oveq1 7365 |
. . . . 5
โข (๐ = ((8 ยท ๐พ) + 1) โ (๐ โ 1) = (((8 ยท ๐พ) + 1) โ
1)) |
3 | 2 | oveq1d 7373 |
. . . 4
โข (๐ = ((8 ยท ๐พ) + 1) โ ((๐ โ 1) / 2) = ((((8
ยท ๐พ) + 1) โ 1)
/ 2)) |
4 | | fvoveq1 7381 |
. . . 4
โข (๐ = ((8 ยท ๐พ) + 1) โ
(โโ(๐ / 4)) =
(โโ(((8 ยท ๐พ) + 1) / 4))) |
5 | 3, 4 | oveq12d 7376 |
. . 3
โข (๐ = ((8 ยท ๐พ) + 1) โ (((๐ โ 1) / 2) โ
(โโ(๐ / 4))) =
(((((8 ยท ๐พ) + 1)
โ 1) / 2) โ (โโ(((8 ยท ๐พ) + 1) / 4)))) |
6 | 1, 5 | eqtrid 2789 |
. 2
โข (๐ = ((8 ยท ๐พ) + 1) โ ๐ = (((((8 ยท ๐พ) + 1) โ 1) / 2) โ
(โโ(((8 ยท ๐พ) + 1) / 4)))) |
7 | | 8nn0 12437 |
. . . . . . . . . 10
โข 8 โ
โ0 |
8 | 7 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
โข (๐พ โ โ0
โ 8 โ โ0) |
9 | | id 22 |
. . . . . . . . 9
โข (๐พ โ โ0
โ ๐พ โ
โ0) |
10 | 8, 9 | nn0mulcld 12479 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ (8 ยท ๐พ)
โ โ0) |
11 | 10 | nn0cnd 12476 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ (8 ยท ๐พ)
โ โ) |
12 | | pncan1 11580 |
. . . . . . 7
โข ((8
ยท ๐พ) โ โ
โ (((8 ยท ๐พ) +
1) โ 1) = (8 ยท ๐พ)) |
13 | 11, 12 | syl 17 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ (((8 ยท ๐พ) +
1) โ 1) = (8 ยท ๐พ)) |
14 | 13 | oveq1d 7373 |
. . . . 5
โข (๐พ โ โ0
โ ((((8 ยท ๐พ) +
1) โ 1) / 2) = ((8 ยท ๐พ) / 2)) |
15 | | 4cn 12239 |
. . . . . . . . . . 11
โข 4 โ
โ |
16 | | 2cn 12229 |
. . . . . . . . . . 11
โข 2 โ
โ |
17 | | 4t2e8 12322 |
. . . . . . . . . . 11
โข (4
ยท 2) = 8 |
18 | 15, 16, 17 | mulcomli 11165 |
. . . . . . . . . 10
โข (2
ยท 4) = 8 |
19 | 18 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . 9
โข 8 = (2
ยท 4) |
20 | 19 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ 8 = (2 ยท 4)) |
21 | 20 | oveq1d 7373 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ (8 ยท ๐พ) = ((2
ยท 4) ยท ๐พ)) |
22 | 16 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ 2 โ โ) |
23 | 15 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ 4 โ โ) |
24 | | nn0cn 12424 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ ๐พ โ
โ) |
25 | 22, 23, 24 | mulassd 11179 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ ((2 ยท 4) ยท ๐พ) = (2 ยท (4 ยท ๐พ))) |
26 | 21, 25 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ (8 ยท ๐พ) = (2
ยท (4 ยท ๐พ))) |
27 | 26 | oveq1d 7373 |
. . . . 5
โข (๐พ โ โ0
โ ((8 ยท ๐พ) / 2)
= ((2 ยท (4 ยท ๐พ)) / 2)) |
28 | | 4nn0 12433 |
. . . . . . . . 9
โข 4 โ
โ0 |
29 | 28 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ 4 โ โ0) |
30 | 29, 9 | nn0mulcld 12479 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ (4 ยท ๐พ)
โ โ0) |
31 | 30 | nn0cnd 12476 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ (4 ยท ๐พ)
โ โ) |
32 | | 2ne0 12258 |
. . . . . . 7
โข 2 โ
0 |
33 | 32 | a1i 11 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ 2 โ 0) |
34 | 31, 22, 33 | divcan3d 11937 |
. . . . 5
โข (๐พ โ โ0
โ ((2 ยท (4 ยท ๐พ)) / 2) = (4 ยท ๐พ)) |
35 | 14, 27, 34 | 3eqtrd 2781 |
. . . 4
โข (๐พ โ โ0
โ ((((8 ยท ๐พ) +
1) โ 1) / 2) = (4 ยท ๐พ)) |
36 | | 1cnd 11151 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ 1 โ โ) |
37 | | 4ne0 12262 |
. . . . . . . . . 10
โข 4 โ
0 |
38 | 15, 37 | pm3.2i 472 |
. . . . . . . . 9
โข (4 โ
โ โง 4 โ 0) |
39 | 38 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ (4 โ โ โง 4 โ 0)) |
40 | | divdir 11839 |
. . . . . . . 8
โข (((8
ยท ๐พ) โ โ
โง 1 โ โ โง (4 โ โ โง 4 โ 0)) โ (((8
ยท ๐พ) + 1) / 4) =
(((8 ยท ๐พ) / 4) + (1
/ 4))) |
41 | 11, 36, 39, 40 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ (((8 ยท ๐พ) +
1) / 4) = (((8 ยท ๐พ)
/ 4) + (1 / 4))) |
42 | | 8cn 12251 |
. . . . . . . . . . 11
โข 8 โ
โ |
43 | 42 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐พ โ โ0
โ 8 โ โ) |
44 | | div23 11833 |
. . . . . . . . . 10
โข ((8
โ โ โง ๐พ
โ โ โง (4 โ โ โง 4 โ 0)) โ ((8 ยท
๐พ) / 4) = ((8 / 4) ยท
๐พ)) |
45 | 43, 24, 39, 44 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
โข (๐พ โ โ0
โ ((8 ยท ๐พ) / 4)
= ((8 / 4) ยท ๐พ)) |
46 | 17 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข 8 = (4
ยท 2) |
47 | 46 | oveq1i 7368 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (8 / 4) =
((4 ยท 2) / 4) |
48 | 16, 15, 37 | divcan3i 11902 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((4
ยท 2) / 4) = 2 |
49 | 47, 48 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . 11
โข (8 / 4) =
2 |
50 | 49 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐พ โ โ0
โ (8 / 4) = 2) |
51 | 50 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . 9
โข (๐พ โ โ0
โ ((8 / 4) ยท ๐พ)
= (2 ยท ๐พ)) |
52 | 45, 51 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ ((8 ยท ๐พ) / 4)
= (2 ยท ๐พ)) |
53 | 52 | oveq1d 7373 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ (((8 ยท ๐พ) /
4) + (1 / 4)) = ((2 ยท ๐พ) + (1 / 4))) |
54 | 41, 53 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ (((8 ยท ๐พ) +
1) / 4) = ((2 ยท ๐พ) +
(1 / 4))) |
55 | 54 | fveq2d 6847 |
. . . . 5
โข (๐พ โ โ0
โ (โโ(((8 ยท ๐พ) + 1) / 4)) = (โโ((2 ยท
๐พ) + (1 /
4)))) |
56 | | 1lt4 12330 |
. . . . . 6
โข 1 <
4 |
57 | | 2nn0 12431 |
. . . . . . . . . 10
โข 2 โ
โ0 |
58 | 57 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
โข (๐พ โ โ0
โ 2 โ โ0) |
59 | 58, 9 | nn0mulcld 12479 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ (2 ยท ๐พ)
โ โ0) |
60 | 59 | nn0zd 12526 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ (2 ยท ๐พ)
โ โค) |
61 | | 1nn0 12430 |
. . . . . . . 8
โข 1 โ
โ0 |
62 | 61 | a1i 11 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ 1 โ โ0) |
63 | | 4nn 12237 |
. . . . . . . 8
โข 4 โ
โ |
64 | 63 | a1i 11 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ 4 โ โ) |
65 | | adddivflid 13724 |
. . . . . . 7
โข (((2
ยท ๐พ) โ โค
โง 1 โ โ0 โง 4 โ โ) โ (1 < 4
โ (โโ((2 ยท ๐พ) + (1 / 4))) = (2 ยท ๐พ))) |
66 | 60, 62, 64, 65 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ (1 < 4 โ (โโ((2 ยท ๐พ) + (1 / 4))) = (2 ยท ๐พ))) |
67 | 56, 66 | mpbii 232 |
. . . . 5
โข (๐พ โ โ0
โ (โโ((2 ยท ๐พ) + (1 / 4))) = (2 ยท ๐พ)) |
68 | 55, 67 | eqtrd 2777 |
. . . 4
โข (๐พ โ โ0
โ (โโ(((8 ยท ๐พ) + 1) / 4)) = (2 ยท ๐พ)) |
69 | 35, 68 | oveq12d 7376 |
. . 3
โข (๐พ โ โ0
โ (((((8 ยท ๐พ) +
1) โ 1) / 2) โ (โโ(((8 ยท ๐พ) + 1) / 4))) = ((4 ยท ๐พ) โ (2 ยท ๐พ))) |
70 | | 2t2e4 12318 |
. . . . . . . 8
โข (2
ยท 2) = 4 |
71 | 70 | eqcomi 2746 |
. . . . . . 7
โข 4 = (2
ยท 2) |
72 | 71 | a1i 11 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ 4 = (2 ยท 2)) |
73 | 72 | oveq1d 7373 |
. . . . 5
โข (๐พ โ โ0
โ (4 ยท ๐พ) = ((2
ยท 2) ยท ๐พ)) |
74 | 22, 22, 24 | mulassd 11179 |
. . . . 5
โข (๐พ โ โ0
โ ((2 ยท 2) ยท ๐พ) = (2 ยท (2 ยท ๐พ))) |
75 | 73, 74 | eqtrd 2777 |
. . . 4
โข (๐พ โ โ0
โ (4 ยท ๐พ) = (2
ยท (2 ยท ๐พ))) |
76 | 75 | oveq1d 7373 |
. . 3
โข (๐พ โ โ0
โ ((4 ยท ๐พ)
โ (2 ยท ๐พ)) =
((2 ยท (2 ยท ๐พ)) โ (2 ยท ๐พ))) |
77 | 59 | nn0cnd 12476 |
. . . 4
โข (๐พ โ โ0
โ (2 ยท ๐พ)
โ โ) |
78 | | 2txmxeqx 12294 |
. . . 4
โข ((2
ยท ๐พ) โ โ
โ ((2 ยท (2 ยท ๐พ)) โ (2 ยท ๐พ)) = (2 ยท ๐พ)) |
79 | 77, 78 | syl 17 |
. . 3
โข (๐พ โ โ0
โ ((2 ยท (2 ยท ๐พ)) โ (2 ยท ๐พ)) = (2 ยท ๐พ)) |
80 | 69, 76, 79 | 3eqtrd 2781 |
. 2
โข (๐พ โ โ0
โ (((((8 ยท ๐พ) +
1) โ 1) / 2) โ (โโ(((8 ยท ๐พ) + 1) / 4))) = (2 ยท ๐พ)) |
81 | 6, 80 | sylan9eqr 2799 |
1
โข ((๐พ โ โ0
โง ๐ = ((8 ยท
๐พ) + 1)) โ ๐ = (2 ยท ๐พ)) |