Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemfval0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemfval0 31746
 Description: (𝐹‘𝐶) always starts counting at 0 . (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
Assertion
Ref Expression
ballotlemfval0 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfval0
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . 3 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . 3 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . . 3 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 id 22 . . 3 (𝐶𝑂𝐶𝑂)
7 0zd 11985 . . 3 (𝐶𝑂 → 0 ∈ ℤ)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ballotlemfval 31740 . 2 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘0) = ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))))
9 fz10 12920 . . . . . . . 8 (1...0) = ∅
109ineq1i 4183 . . . . . . 7 ((1...0) ∩ 𝐶) = (∅ ∩ 𝐶)
11 incom 4176 . . . . . . 7 (𝐶 ∩ ∅) = (∅ ∩ 𝐶)
12 in0 4343 . . . . . . 7 (𝐶 ∩ ∅) = ∅
1310, 11, 123eqtr2i 2848 . . . . . 6 ((1...0) ∩ 𝐶) = ∅
1413fveq2i 6666 . . . . 5 (♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) = (♯‘∅)
15 hash0 13720 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
1614, 15eqtri 2842 . . . 4 (♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) = 0
179difeq1i 4093 . . . . . . 7 ((1...0) ∖ 𝐶) = (∅ ∖ 𝐶)
18 0dif 4353 . . . . . . 7 (∅ ∖ 𝐶) = ∅
1917, 18eqtri 2842 . . . . . 6 ((1...0) ∖ 𝐶) = ∅
2019fveq2i 6666 . . . . 5 (♯‘((1...0) ∖ 𝐶)) = (♯‘∅)
2120, 15eqtri 2842 . . . 4 (♯‘((1...0) ∖ 𝐶)) = 0
2216, 21oveq12i 7160 . . 3 ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))) = (0 − 0)
23 0m0e0 11749 . . 3 (0 − 0) = 0
2422, 23eqtri 2842 . 2 ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))) = 0
258, 24syl6eq 2870 1 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  {crab 3140   ∖ cdif 3931   ∩ cin 3933  ∅c0 4289  𝒫 cpw 4537   ↦ cmpt 5137  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   − cmin 10862   / cdiv 11289  ℕcn 11630  ℤcz 11973  ...cfz 12884  ♯chash 13682 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-hash 13683 This theorem is referenced by:  ballotlem4  31749  ballotlemi1  31753  ballotlemii  31754  ballotlemic  31757  ballotlem1c  31758
 Copyright terms: Public domain W3C validator