Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemfval0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemfval0 34476
Description: (𝐹𝐶) always starts counting at 0 . (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
Assertion
Ref Expression
ballotlemfval0 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfval0
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . 3 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . 3 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . . 3 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 id 22 . . 3 (𝐶𝑂𝐶𝑂)
7 0zd 12621 . . 3 (𝐶𝑂 → 0 ∈ ℤ)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ballotlemfval 34470 . 2 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘0) = ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))))
9 fz10 13581 . . . . . . . 8 (1...0) = ∅
109ineq1i 4215 . . . . . . 7 ((1...0) ∩ 𝐶) = (∅ ∩ 𝐶)
11 incom 4208 . . . . . . 7 (𝐶 ∩ ∅) = (∅ ∩ 𝐶)
12 in0 4394 . . . . . . 7 (𝐶 ∩ ∅) = ∅
1310, 11, 123eqtr2i 2770 . . . . . 6 ((1...0) ∩ 𝐶) = ∅
1413fveq2i 6907 . . . . 5 (♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) = (♯‘∅)
15 hash0 14402 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
1614, 15eqtri 2764 . . . 4 (♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) = 0
179difeq1i 4121 . . . . . . 7 ((1...0) ∖ 𝐶) = (∅ ∖ 𝐶)
18 0dif 4404 . . . . . . 7 (∅ ∖ 𝐶) = ∅
1917, 18eqtri 2764 . . . . . 6 ((1...0) ∖ 𝐶) = ∅
2019fveq2i 6907 . . . . 5 (♯‘((1...0) ∖ 𝐶)) = (♯‘∅)
2120, 15eqtri 2764 . . . 4 (♯‘((1...0) ∖ 𝐶)) = 0
2216, 21oveq12i 7441 . . 3 ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))) = (0 − 0)
23 0m0e0 12382 . . 3 (0 − 0) = 0
2422, 23eqtri 2764 . 2 ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))) = 0
258, 24eqtrdi 2792 1 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3435  cdif 3947  cin 3949  c0 4332  𝒫 cpw 4598  cmpt 5223  cfv 6559  (class class class)co 7429  0cc0 11151  1c1 11152   + caddc 11154  cmin 11488   / cdiv 11916  cn 12262  cz 12609  ...cfz 13543  chash 14365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-card 9975  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12875  df-fz 13544  df-hash 14366
This theorem is referenced by:  ballotlem4  34479  ballotlemi1  34483  ballotlemii  34484  ballotlemic  34487  ballotlem1c  34488
  Copyright terms: Public domain W3C validator