Theorem ballotlemfval0 32024

Description: (𝐹‘𝐶) always starts counting at 0 . (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfval0	⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfval0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotth.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotth.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5		ballotth.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ∈ 𝑂)
7		0zd 12067	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 0 ∈ ℤ)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ballotlemfval 32018	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘0) = ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))))
9		fz10 13012	. . . . . . . 8 ⊢ (1...0) = ∅
10	9	ineq1i 4097	. . . . . . 7 ⊢ ((1...0) ∩ 𝐶) = (∅ ∩ 𝐶)
11		incom 4089	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∩ ∅) = (∅ ∩ 𝐶)
12		in0 4277	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∩ ∅) = ∅
13	10, 11, 12	3eqtr2i 2767	. . . . . 6 ⊢ ((1...0) ∩ 𝐶) = ∅
14	13	fveq2i 6671	. . . . 5 ⊢ (♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) = (♯‘∅)
15		hash0 13813	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
16	14, 15	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ (♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) = 0
17	9	difeq1i 4007	. . . . . . 7 ⊢ ((1...0) ∖ 𝐶) = (∅ ∖ 𝐶)
18		0dif 4287	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∖ 𝐶) = ∅
19	17, 18	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ ((1...0) ∖ 𝐶) = ∅
20	19	fveq2i 6671	. . . . 5 ⊢ (♯‘((1...0) ∖ 𝐶)) = (♯‘∅)
21	20, 15	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ (♯‘((1...0) ∖ 𝐶)) = 0
22	16, 21	oveq12i 7176	. . 3 ⊢ ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))) = (0 − 0)
23		0m0e0 11829	. . 3 ⊢ (0 − 0) = 0
24	22, 23	eqtri 2761	. 2 ⊢ ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))) = 0
25	8, 24	eqtrdi 2789	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  {crab 3057   ∖ cdif 3838   ∩ cin 3840  ∅c0 4209  𝒫 cpw 4485   ↦ cmpt 5107  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164  0cc0 10608  1c1 10609   + caddc 10611   − cmin 10941   / cdiv 11368  ℕcn 11709  ℤcz 12055  ...cfz 12974  ♯chash 13775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-hash 13776

This theorem is referenced by:  ballotlem4  32027  ballotlemi1  32031  ballotlemii  32032  ballotlemic  32035  ballotlem1c  32036