Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemfval0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemfval0 31005
Description: (𝐹𝐶) always starts counting at 0 . (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
Assertion
Ref Expression
ballotlemfval0 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfval0
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . 3 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . 3 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . . 3 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 id 22 . . 3 (𝐶𝑂𝐶𝑂)
7 0zd 11636 . . 3 (𝐶𝑂 → 0 ∈ ℤ)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ballotlemfval 30999 . 2 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘0) = ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))))
9 fz10 12569 . . . . . . . 8 (1...0) = ∅
109ineq1i 3972 . . . . . . 7 ((1...0) ∩ 𝐶) = (∅ ∩ 𝐶)
11 incom 3967 . . . . . . 7 (𝐶 ∩ ∅) = (∅ ∩ 𝐶)
12 in0 4130 . . . . . . 7 (𝐶 ∩ ∅) = ∅
1310, 11, 123eqtr2i 2793 . . . . . 6 ((1...0) ∩ 𝐶) = ∅
1413fveq2i 6378 . . . . 5 (♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) = (♯‘∅)
15 hash0 13360 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
1614, 15eqtri 2787 . . . 4 (♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) = 0
179difeq1i 3886 . . . . . . 7 ((1...0) ∖ 𝐶) = (∅ ∖ 𝐶)
18 0dif 4139 . . . . . . 7 (∅ ∖ 𝐶) = ∅
1917, 18eqtri 2787 . . . . . 6 ((1...0) ∖ 𝐶) = ∅
2019fveq2i 6378 . . . . 5 (♯‘((1...0) ∖ 𝐶)) = (♯‘∅)
2120, 15eqtri 2787 . . . 4 (♯‘((1...0) ∖ 𝐶)) = 0
2216, 21oveq12i 6854 . . 3 ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))) = (0 − 0)
23 0m0e0 11399 . . 3 (0 − 0) = 0
2422, 23eqtri 2787 . 2 ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))) = 0
258, 24syl6eq 2815 1 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1652  wcel 2155  {crab 3059  cdif 3729  cin 3731  c0 4079  𝒫 cpw 4315  cmpt 4888  cfv 6068  (class class class)co 6842  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192  cmin 10520   / cdiv 10938  cn 11274  cz 11624  ...cfz 12533  chash 13321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-hash 13322
This theorem is referenced by:  ballotlem4  31008  ballotlemi1  31012  ballotlemii  31013  ballotlemic  31016  ballotlem1c  31017
  Copyright terms: Public domain W3C validator