Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemfval0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemfval0 30890
Description: (𝐹𝐶) always starts counting at 0 . (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
Assertion
Ref Expression
ballotlemfval0 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfval0
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . 3 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . 3 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . . 3 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 id 22 . . 3 (𝐶𝑂𝐶𝑂)
7 0zd 11589 . . 3 (𝐶𝑂 → 0 ∈ ℤ)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ballotlemfval 30884 . 2 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘0) = ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))))
9 fz10 12562 . . . . . . . 8 (1...0) = ∅
109ineq1i 3961 . . . . . . 7 ((1...0) ∩ 𝐶) = (∅ ∩ 𝐶)
11 incom 3956 . . . . . . 7 (𝐶 ∩ ∅) = (∅ ∩ 𝐶)
12 in0 4112 . . . . . . 7 (𝐶 ∩ ∅) = ∅
1310, 11, 123eqtr2i 2799 . . . . . 6 ((1...0) ∩ 𝐶) = ∅
1413fveq2i 6333 . . . . 5 (♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) = (♯‘∅)
15 hash0 13353 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
1614, 15eqtri 2793 . . . 4 (♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) = 0
179difeq1i 3875 . . . . . . 7 ((1...0) ∖ 𝐶) = (∅ ∖ 𝐶)
18 0dif 4121 . . . . . . 7 (∅ ∖ 𝐶) = ∅
1917, 18eqtri 2793 . . . . . 6 ((1...0) ∖ 𝐶) = ∅
2019fveq2i 6333 . . . . 5 (♯‘((1...0) ∖ 𝐶)) = (♯‘∅)
2120, 15eqtri 2793 . . . 4 (♯‘((1...0) ∖ 𝐶)) = 0
2216, 21oveq12i 6803 . . 3 ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))) = (0 − 0)
23 0m0e0 11330 . . 3 (0 − 0) = 0
2422, 23eqtri 2793 . 2 ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))) = 0
258, 24syl6eq 2821 1 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  cdif 3720  cin 3722  c0 4063  𝒫 cpw 4297  cmpt 4863  cfv 6029  (class class class)co 6791  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139  cmin 10466   / cdiv 10884  cn 11220  cz 11577  ...cfz 12526  chash 13314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-fz 12527  df-hash 13315
This theorem is referenced by:  ballotlem4  30893  ballotlemi1  30897  ballotlemii  30898  ballotlemic  30901  ballotlem1c  30902
  Copyright terms: Public domain W3C validator