Theorem ballotlemfval0 34640

Description: (𝐹‘𝐶) always starts counting at 0 . (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfval0	⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfval0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotth.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotth.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5		ballotth.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ∈ 𝑂)
7		0zd 12536	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 0 ∈ ℤ)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ballotlemfval 34634	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘0) = ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))))
9		fz10 13499	. . . . . . . 8 ⊢ (1...0) = ∅
10	9	ineq1i 4156	. . . . . . 7 ⊢ ((1...0) ∩ 𝐶) = (∅ ∩ 𝐶)
11		incom 4149	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∩ ∅) = (∅ ∩ 𝐶)
12		in0 4335	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∩ ∅) = ∅
13	10, 11, 12	3eqtr2i 2765	. . . . . 6 ⊢ ((1...0) ∩ 𝐶) = ∅
14	13	fveq2i 6843	. . . . 5 ⊢ (♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) = (♯‘∅)
15		hash0 14329	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
16	14, 15	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) = 0
17	9	difeq1i 4062	. . . . . . 7 ⊢ ((1...0) ∖ 𝐶) = (∅ ∖ 𝐶)
18		0dif 4345	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∖ 𝐶) = ∅
19	17, 18	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ ((1...0) ∖ 𝐶) = ∅
20	19	fveq2i 6843	. . . . 5 ⊢ (♯‘((1...0) ∖ 𝐶)) = (♯‘∅)
21	20, 15	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (♯‘((1...0) ∖ 𝐶)) = 0
22	16, 21	oveq12i 7379	. . 3 ⊢ ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))) = (0 − 0)
23		0m0e0 12296	. . 3 ⊢ (0 − 0) = 0
24	22, 23	eqtri 2759	. 2 ⊢ ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))) = 0
25	8, 24	eqtrdi 2787	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389   ∖ cdif 3886   ∩ cin 3888  ∅c0 4273  𝒫 cpw 4541   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  ℤcz 12524  ...cfz 13461  ♯chash 14292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-hash 14293

This theorem is referenced by:  ballotlem4  34643  ballotlemi1  34647  ballotlemii  34648  ballotlemic  34651  ballotlem1c  34652