Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemii 31107
Description: The first tie cannot be reached at the first pick. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
ballotlemii ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ≠ 1)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑐,𝐸   𝑖,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemii
StepHypRef Expression
1 1e0p1 11871 . . . . . 6 1 = (0 + 1)
2 ax-1ne0 10328 . . . . . 6 1 ≠ 0
31, 2eqnetrri 3070 . . . . 5 (0 + 1) ≠ 0
43neii 3001 . . . 4 ¬ (0 + 1) = 0
5 ballotth.m . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ ℕ
6 ballotth.n . . . . . . . . 9 𝑁 ∈ ℕ
7 ballotth.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
8 ballotth.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
9 ballotth.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
10 eldifi 3961 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 𝐶𝑂)
11 1nn 11370 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ∈ ℕ)
135, 6, 7, 8, 9, 10, 12ballotlemfp1 31095 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1)) ∧ (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1))))
1413simprd 491 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1)))
1514imp 397 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1))
16 1m1e0 11430 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
1716fveq2i 6440 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) = ((𝐹𝐶)‘0)
1817oveq1i 6920 . . . . . . 7 (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1) = (((𝐹𝐶)‘0) + 1)
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1) = (((𝐹𝐶)‘0) + 1))
205, 6, 7, 8, 9ballotlemfval0 31099 . . . . . . . . 9 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
2110, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
2221adantr 474 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
2322oveq1d 6925 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹𝐶)‘0) + 1) = (0 + 1))
2415, 19, 233eqtrrd 2866 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (0 + 1) = ((𝐹𝐶)‘1))
2524eqeq1d 2827 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ((0 + 1) = 0 ↔ ((𝐹𝐶)‘1) = 0))
264, 25mtbii 318 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ¬ ((𝐹𝐶)‘1) = 0)
27 ballotth.e . . . . . . 7 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
28 ballotth.mgtn . . . . . . 7 𝑁 < 𝑀
29 ballotth.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
305, 6, 7, 8, 9, 27, 28, 29ballotlemiex 31105 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
3130simprd 491 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0)
3231ad2antrr 717 . . . 4 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) = 1) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0)
33 fveqeq2 6446 . . . . 5 ((𝐼𝐶) = 1 → (((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0 ↔ ((𝐹𝐶)‘1) = 0))
3433adantl 475 . . . 4 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) = 1) → (((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0 ↔ ((𝐹𝐶)‘1) = 0))
3532, 34mpbid 224 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) = 1) → ((𝐹𝐶)‘1) = 0)
3626, 35mtand 850 . 2 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ¬ (𝐼𝐶) = 1)
3736neqned 3006 1 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ≠ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  wral 3117  {crab 3121  cdif 3795  cin 3797  𝒫 cpw 4380   class class class wbr 4875  cmpt 4954  cfv 6127  (class class class)co 6910  infcinf 8622  cr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   < clt 10398  cmin 10592   / cdiv 11016  cn 11357  cz 11711  ...cfz 12626  chash 13417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-hash 13418
This theorem is referenced by:  ballotlem1c  31111
  Copyright terms: Public domain W3C validator