Theorem ballotlemii 34046

Description: The first tie cannot be reached at the first pick. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn	⊢ 𝑁 < 𝑀
ballotth.i	⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
ballotlemii	⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼‘𝐶) ≠ 1)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑐,𝐸   𝑖,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1e0p1 12735	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
2		ax-1ne0 11193	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
3	1, 2	eqnetrri 3007	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) ≠ 0
4	3	neii 2937	. . . 4 ⊢ ¬ (0 + 1) = 0
5		ballotth.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
6		ballotth.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
7		ballotth.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
8		ballotth.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
9		ballotth.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
10		eldifi 4122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 𝐶 ∈ 𝑂)
11		1nn 12239	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 1 ∈ ℕ)
13	5, 6, 7, 8, 9, 10, 12	ballotlemfp1 34034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)) ∧ (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) + 1))))
14	13	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) + 1)))
15	14	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) + 1))
16		1m1e0 12300	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
17	16	fveq2i 6894	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) = ((𝐹‘𝐶)‘0)
18	17	oveq1i 7424	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) + 1) = (((𝐹‘𝐶)‘0) + 1)
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) + 1) = (((𝐹‘𝐶)‘0) + 1))
20	5, 6, 7, 8, 9	ballotlemfval0 34038	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)
21	10, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)
23	22	oveq1d 7429	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹‘𝐶)‘0) + 1) = (0 + 1))
24	15, 19, 23	3eqtrrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (0 + 1) = ((𝐹‘𝐶)‘1))
25	24	eqeq1d 2729	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ((0 + 1) = 0 ↔ ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0))
26	4, 25	mtbii 326	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ¬ ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0)
27		ballotth.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
28		ballotth.mgtn	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 < 𝑀
29		ballotth.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
30	5, 6, 7, 8, 9, 27, 28, 29	ballotlemiex 34044	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0))
31	30	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0)
32	31	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼‘𝐶) = 1) → ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0)
33		fveqeq2 6900	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐶) = 1 → (((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0 ↔ ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0))
34	33	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼‘𝐶) = 1) → (((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0 ↔ ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0))
35	32, 34	mpbid 231	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼‘𝐶) = 1) → ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0)
36	26, 35	mtand 815	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ¬ (𝐼‘𝐶) = 1)
37	36	neqned 2942	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼‘𝐶) ≠ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∀wral 3056  {crab 3427   ∖ cdif 3941   ∩ cin 3943  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  infcinf 9450  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11264   − cmin 11460   / cdiv 11887  ℕcn 12228  ℤcz 12574  ...cfz 13502  ♯chash 14307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-oadd 8482  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-hash 14308

This theorem is referenced by:  ballotlem1c  34050