Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemii 34123
Description: The first tie cannot be reached at the first pick. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
ballotlemii ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ≠ 1)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑐,𝐸   𝑖,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemii
StepHypRef Expression
1 1e0p1 12750 . . . . . 6 1 = (0 + 1)
2 ax-1ne0 11208 . . . . . 6 1 ≠ 0
31, 2eqnetrri 3009 . . . . 5 (0 + 1) ≠ 0
43neii 2939 . . . 4 ¬ (0 + 1) = 0
5 ballotth.m . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ ℕ
6 ballotth.n . . . . . . . . 9 𝑁 ∈ ℕ
7 ballotth.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
8 ballotth.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
9 ballotth.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
10 eldifi 4125 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 𝐶𝑂)
11 1nn 12254 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ∈ ℕ)
135, 6, 7, 8, 9, 10, 12ballotlemfp1 34111 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1)) ∧ (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1))))
1413simprd 495 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1)))
1514imp 406 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1))
16 1m1e0 12315 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
1716fveq2i 6900 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) = ((𝐹𝐶)‘0)
1817oveq1i 7430 . . . . . . 7 (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1) = (((𝐹𝐶)‘0) + 1)
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1) = (((𝐹𝐶)‘0) + 1))
205, 6, 7, 8, 9ballotlemfval0 34115 . . . . . . . . 9 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
2110, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
2221adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
2322oveq1d 7435 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹𝐶)‘0) + 1) = (0 + 1))
2415, 19, 233eqtrrd 2773 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (0 + 1) = ((𝐹𝐶)‘1))
2524eqeq1d 2730 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ((0 + 1) = 0 ↔ ((𝐹𝐶)‘1) = 0))
264, 25mtbii 326 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ¬ ((𝐹𝐶)‘1) = 0)
27 ballotth.e . . . . . . 7 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
28 ballotth.mgtn . . . . . . 7 𝑁 < 𝑀
29 ballotth.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
305, 6, 7, 8, 9, 27, 28, 29ballotlemiex 34121 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
3130simprd 495 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0)
3231ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) = 1) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0)
33 fveqeq2 6906 . . . . 5 ((𝐼𝐶) = 1 → (((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0 ↔ ((𝐹𝐶)‘1) = 0))
3433adantl 481 . . . 4 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) = 1) → (((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0 ↔ ((𝐹𝐶)‘1) = 0))
3532, 34mpbid 231 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) = 1) → ((𝐹𝐶)‘1) = 0)
3626, 35mtand 815 . 2 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ¬ (𝐼𝐶) = 1)
3736neqned 2944 1 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ≠ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  wral 3058  {crab 3429  cdif 3944  cin 3946  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6548  (class class class)co 7420  infcinf 9465  cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   < clt 11279  cmin 11475   / cdiv 11902  cn 12243  cz 12589  ...cfz 13517  chash 14322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-hash 14323
This theorem is referenced by:  ballotlem1c  34127
  Copyright terms: Public domain W3C validator