Theorem ballotlemsi 34846

Description: The image by 𝑆 of the first tie pick is the first pick. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn	⊢ 𝑁 < 𝑀
ballotth.i	⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotth.s	⊢ 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼‘𝑐), (((𝐼‘𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))

Assertion

Ref	Expression
ballotlemsi	⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝑆‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 1)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼,𝑐   𝐸,𝑐   𝑖,𝐼,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑆(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotth.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotth.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5		ballotth.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		ballotth.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
7		ballotth.mgtn	. . . . 5 ⊢ 𝑁 < 𝑀
8		ballotth.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ballotlemiex 34833	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0))
10	9	simpld 499	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
11		ballotth.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼‘𝑐), (((𝐼‘𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	ballotlemsv 34841	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ (𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝑆‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = if((𝐼‘𝐶) ≤ (𝐼‘𝐶), (((𝐼‘𝐶) + 1) − (𝐼‘𝐶)), (𝐼‘𝐶)))
13	10, 12	mpdan 699	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝑆‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = if((𝐼‘𝐶) ≤ (𝐼‘𝐶), (((𝐼‘𝐶) + 1) − (𝐼‘𝐶)), (𝐼‘𝐶)))
14		elfzelz 13548	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼‘𝐶) ∈ ℤ)
15	14	zred 12696	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼‘𝐶) ∈ ℝ)
16	10, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (𝐼‘𝐶) ∈ ℝ)
17	16	leidd 11776	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (𝐼‘𝐶) ≤ (𝐼‘𝐶))
18	17	iftrued 4497	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → if((𝐼‘𝐶) ≤ (𝐼‘𝐶), (((𝐼‘𝐶) + 1) − (𝐼‘𝐶)), (𝐼‘𝐶)) = (((𝐼‘𝐶) + 1) − (𝐼‘𝐶)))
19	16	recnd 11233	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (𝐼‘𝐶) ∈ ℂ)
20		1cnd 11198	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 1 ∈ ℂ)
21	19, 20	pncan2d 11567	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (((𝐼‘𝐶) + 1) − (𝐼‘𝐶)) = 1)
22	13, 18, 21	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝑆‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  {crab 3423   ∖ cdif 3910   ∩ cin 3912  ifcif 4489  𝒫 cpw 4564   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  infcinf 9397  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   < clt 11239   ≤ cle 11240   − cmin 11437   / cdiv 11867  ℕcn 12229  ℤcz 12587  ...cfz 13531  ♯chash 14362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-hash 14363

This theorem is referenced by:  ballotlemfrci  34859