Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemsi 31993
 Description: The image by 𝑆 of the first tie pick is the first pick. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotth.s 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
Assertion
Ref Expression
ballotlemsi (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝑆𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 1)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼,𝑐   𝐸,𝑐   𝑖,𝐼,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑆(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemsi
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . 5 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . . . 5 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . . . 5 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . . . . 5 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 ballotth.e . . . . 5 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
7 ballotth.mgtn . . . . 5 𝑁 < 𝑀
8 ballotth.i . . . . 5 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ballotlemiex 31980 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
109simpld 499 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
11 ballotth.s . . . 4 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11ballotlemsv 31988 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝑆𝐶)‘(𝐼𝐶)) = if((𝐼𝐶) ≤ (𝐼𝐶), (((𝐼𝐶) + 1) − (𝐼𝐶)), (𝐼𝐶)))
1310, 12mpdan 687 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝑆𝐶)‘(𝐼𝐶)) = if((𝐼𝐶) ≤ (𝐼𝐶), (((𝐼𝐶) + 1) − (𝐼𝐶)), (𝐼𝐶)))
14 elfzelz 12949 . . . . . 6 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
1514zred 12119 . . . . 5 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼𝐶) ∈ ℝ)
1610, 15syl 17 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℝ)
1716leidd 11237 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ≤ (𝐼𝐶))
1817iftrued 4429 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → if((𝐼𝐶) ≤ (𝐼𝐶), (((𝐼𝐶) + 1) − (𝐼𝐶)), (𝐼𝐶)) = (((𝐼𝐶) + 1) − (𝐼𝐶)))
1916recnd 10700 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℂ)
20 1cnd 10667 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ∈ ℂ)
2119, 20pncan2d 11030 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (((𝐼𝐶) + 1) − (𝐼𝐶)) = 1)
2213, 18, 213eqtrd 2798 1 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝑆𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  {crab 3075   ∖ cdif 3856   ∩ cin 3858  ifcif 4421  𝒫 cpw 4495   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  infcinf 8931  ℝcr 10567  0cc0 10568  1c1 10569   + caddc 10571   < clt 10706   ≤ cle 10707   − cmin 10901   / cdiv 11328  ℕcn 11667  ℤcz 12013  ...cfz 12932  ♯chash 13733 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-sup 8932  df-inf 8933  df-dju 9356  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-fz 12933  df-hash 13734 This theorem is referenced by:  ballotlemfrci  32006
 Copyright terms: Public domain W3C validator