Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemsi 32942
Description: The image by 𝑆 of the first tie pick is the first pick. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotth.s 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
Assertion
Ref Expression
ballotlemsi (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝑆𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 1)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼,𝑐   𝐸,𝑐   𝑖,𝐼,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑆(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemsi
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . 5 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . . . 5 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . . . 5 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . . . . 5 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 ballotth.e . . . . 5 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
7 ballotth.mgtn . . . . 5 𝑁 < 𝑀
8 ballotth.i . . . . 5 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ballotlemiex 32929 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
109simpld 495 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
11 ballotth.s . . . 4 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11ballotlemsv 32937 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝑆𝐶)‘(𝐼𝐶)) = if((𝐼𝐶) ≤ (𝐼𝐶), (((𝐼𝐶) + 1) − (𝐼𝐶)), (𝐼𝐶)))
1310, 12mpdan 685 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝑆𝐶)‘(𝐼𝐶)) = if((𝐼𝐶) ≤ (𝐼𝐶), (((𝐼𝐶) + 1) − (𝐼𝐶)), (𝐼𝐶)))
14 elfzelz 13395 . . . . . 6 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
1514zred 12565 . . . . 5 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼𝐶) ∈ ℝ)
1610, 15syl 17 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℝ)
1716leidd 11679 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ≤ (𝐼𝐶))
1817iftrued 4492 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → if((𝐼𝐶) ≤ (𝐼𝐶), (((𝐼𝐶) + 1) − (𝐼𝐶)), (𝐼𝐶)) = (((𝐼𝐶) + 1) − (𝐼𝐶)))
1916recnd 11141 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℂ)
20 1cnd 11108 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ∈ ℂ)
2119, 20pncan2d 11472 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (((𝐼𝐶) + 1) − (𝐼𝐶)) = 1)
2213, 18, 213eqtrd 2780 1 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝑆𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  {crab 3405  cdif 3905  cin 3907  ifcif 4484  𝒫 cpw 4558   class class class wbr 5103  cmpt 5186  cfv 6493  (class class class)co 7351  infcinf 9335  cr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11147  cle 11148  cmin 11343   / cdiv 11770  cn 12111  cz 12457  ...cfz 13378  chash 14184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-oadd 8408  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-inf 9337  df-dju 9795  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-hash 14185
This theorem is referenced by:  ballotlemfrci  32955
  Copyright terms: Public domain W3C validator