MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcn2m1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcn2m1 14321
Description: Compute the binomial coefficient "𝑁 choose 2 " from "(𝑁 − 1) choose 2 ": (N-1) + ( (N-1) 2 ) = ( N 2 ). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
bcn2m1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + ((𝑁 − 1)C2)) = (𝑁C2))

Proof of Theorem bcn2m1
StepHypRef Expression
1 nnm1nn0 12549 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
21nn0cnd 12570 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
3 2z 12630 . . . . 5 2 ∈ ℤ
4 bccl 14319 . . . . 5 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C2) ∈ ℕ0)
51, 3, 4sylancl 584 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C2) ∈ ℕ0)
65nn0cnd 12570 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C2) ∈ ℂ)
72, 6addcomd 11452 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + ((𝑁 − 1)C2)) = (((𝑁 − 1)C2) + (𝑁 − 1)))
8 bcn1 14310 . . . . . 6 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1)C1) = (𝑁 − 1))
98eqcomd 2733 . . . . 5 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 1)C1))
101, 9syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 1)C1))
11 1e2m1 12375 . . . . . 6 1 = (2 − 1)
1211a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (2 − 1))
1312oveq2d 7440 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C1) = ((𝑁 − 1)C(2 − 1)))
1410, 13eqtrd 2767 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 1)C(2 − 1)))
1514oveq2d 7440 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)C2) + (𝑁 − 1)) = (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))))
16 bcpasc 14318 . . . 4 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))) = (((𝑁 − 1) + 1)C2))
171, 3, 16sylancl 584 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))) = (((𝑁 − 1) + 1)C2))
18 nncn 12256 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
19 1cnd 11245 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
2018, 19npcand 11611 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2120oveq1d 7439 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1)C2) = (𝑁C2))
2217, 21eqtrd 2767 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))) = (𝑁C2))
237, 15, 223eqtrd 2771 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + ((𝑁 − 1)C2)) = (𝑁C2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  (class class class)co 7424  1c1 11145   + caddc 11147  cmin 11480  cn 12248  2c2 12303  0cn0 12508  cz 12594  Ccbc 14299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-seq 14005  df-fac 14271  df-bc 14300
This theorem is referenced by:  cusgrsize2inds  29285
  Copyright terms: Public domain W3C validator