Theorem bcn2m1 13499

Description: Compute the binomial coefficient "𝑁 choose 2 " from "(𝑁 − 1) choose 2 ": (N-1) + ( (N-1) 2 ) = ( N 2 ). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
bcn2m1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + ((𝑁 − 1)C2)) = (𝑁C2))

Proof of Theorem bcn2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnm1nn0 11750	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
2	1	nn0cnd 11769	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
3		2z 11827	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		bccl 13497	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C2) ∈ ℕ0)
5	1, 3, 4	sylancl 577	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C2) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 11769	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C2) ∈ ℂ)
7	2, 6	addcomd 10642	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + ((𝑁 − 1)C2)) = (((𝑁 − 1)C2) + (𝑁 − 1)))
8		bcn1 13488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1)C1) = (𝑁 − 1))
9	8	eqcomd 2785	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 1)C1))
10	1, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 1)C1))
11		1e2m1 11574	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 − 1)
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (2 − 1))
13	12	oveq2d 6992	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C1) = ((𝑁 − 1)C(2 − 1)))
14	10, 13	eqtrd 2815	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 1)C(2 − 1)))
15	14	oveq2d 6992	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)C2) + (𝑁 − 1)) = (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))))
16		bcpasc 13496	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))) = (((𝑁 − 1) + 1)C2))
17	1, 3, 16	sylancl 577	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))) = (((𝑁 − 1) + 1)C2))
18		nncn 11448	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
19		1cnd 10434	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
20	18, 19	npcand 10802	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
21	20	oveq1d 6991	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1)C2) = (𝑁C2))
22	17, 21	eqtrd 2815	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))) = (𝑁C2))
23	7, 15, 22	3eqtrd 2819	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + ((𝑁 − 1)C2)) = (𝑁C2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  (class class class)co 6976  1c1 10336   + caddc 10338   − cmin 10670  ℕcn 11439  2c2 11495  ℕ₀cn0 11707  ℤcz 11793  Ccbc 13477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-seq 13185  df-fac 13449  df-bc 13478

This theorem is referenced by:  cusgrsize2inds  26938