Theorem bcn2m1 14509

Description: Compute the binomial coefficient "𝑁 choose 2 " from "(𝑁 − 1) choose 2 ": (N-1) + ( (N-1) 2 ) = ( N 2 ). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
bcn2m1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + ((𝑁 − 1)C2)) = (𝑁C2))

Proof of Theorem bcn2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnm1nn0 12687	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
2	1	nn0cnd 12709	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
3		2z 12768	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		bccl 14507	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C2) ∈ ℕ0)
5	1, 3, 4	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C2) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 12709	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C2) ∈ ℂ)
7	2, 6	addcomd 11551	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + ((𝑁 − 1)C2)) = (((𝑁 − 1)C2) + (𝑁 − 1)))
8		bcn1 14498	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1)C1) = (𝑁 − 1))
9	8	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 1)C1))
10	1, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 1)C1))
11		1e2m1 12509	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 − 1)
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (2 − 1))
13	12	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C1) = ((𝑁 − 1)C(2 − 1)))
14	10, 13	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 1)C(2 − 1)))
15	14	oveq2d 7467	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)C2) + (𝑁 − 1)) = (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))))
16		bcpasc 14506	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))) = (((𝑁 − 1) + 1)C2))
17	1, 3, 16	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))) = (((𝑁 − 1) + 1)C2))
18		nncn 12383	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
19		1cnd 11341	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
20	18, 19	npcand 11712	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
21	20	oveq1d 7466	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1)C2) = (𝑁C2))
22	17, 21	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))) = (𝑁C2))
23	7, 15, 22	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + ((𝑁 − 1)C2)) = (𝑁C2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  1c1 11240   + caddc 11242   − cmin 11580  ℕcn 12375  2c2 12437  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  Ccbc 14487

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-seq 14185  df-fac 14459  df-bc 14488

This theorem is used by:  cusgrsize2inds  30091