Theorem absmuld 15430

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15267	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   · cmul 11080  abscabs 15207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15441  mulcn2  15569  reccn2  15570  o1mul  15588  o1rlimmul  15592  iseraltlem3  15657  geomulcvg  15849  mertenslem1  15857  fprodabs  15947  absef  16172  efieq1re  16174  lcmgcd  16584  lcmid  16586  mulgcddvds  16632  prmirredlem  21389  blcvx  24693  iblmulc2  25739  itgabs  25743  bddmulibl  25747  dveflem  25890  dvlip  25905  dvlipcn  25906  plyeq0lem  26122  aalioulem4  26250  radcnvlem1  26329  dvradcnv  26337  pserulm  26338  abelthlem5  26352  abelthlem7  26355  abslogle  26534  logtayllem  26575  abscxpbnd  26670  chordthmlem4  26752  divsqrtsumo1  26901  lgamgulmlem2  26947  lgamgulmlem3  26948  lgamgulmlem5  26950  ftalem1  26990  ftalem2  26991  ftalem5  26994  logexprlim  27143  lgsdilem2  27251  2sqlem3  27338  dchrisumlem2  27408  dchrmusum2  27412  dchrvmasumlem3  27417  dchrvmasumiflem1  27419  dchrisum0lem2a  27435  dchrisum0lem2  27436  mudivsum  27448  mulogsumlem  27449  mulog2sumlem1  27452  mulog2sumlem2  27453  2vmadivsumlem  27458  selberglem2  27464  selberg3lem1  27475  selberg4lem1  27478  pntrlog2bndlem1  27495  pntrlog2bndlem3  27497  pntibndlem2  27509  pntlemn  27518  pntlemj  27521  nmbdfnlbi  31985  nmcfnlbi  31988  iconstr  33763  constrremulcl  33764  constrimcl  33767  constrmulcl  33768  cnzh  33965  rezh  33966  subfaclim  35182  knoppcnlem4  36491  knoppndvlem11  36517  knoppndvlem14  36520  iblmulc2nc  37686  itgabsnc  37690  cntotbnd  37797  irrapxlem2  42818  irrapxlem5  42821  pellexlem2  42825  absmulrposd  44155  imo72b2lem0  44161  radcnvrat  44310  fprodabs2  45600  dvdivbd  45928  dvbdfbdioolem1  45933  fourierdlem30  46142  fourierdlem39  46151  fourierdlem47  46158  fourierdlem68  46179  fourierdlem73  46184  fourierdlem77  46188  fourierdlem87  46198  etransclem23  46262  smfmullem1  46796