Theorem absmuld 15503

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15343	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   · cmul 11189  abscabs 15283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15514  mulcn2  15642  reccn2  15643  o1mul  15661  o1rlimmul  15665  iseraltlem3  15732  geomulcvg  15924  mertenslem1  15932  fprodabs  16022  absef  16245  efieq1re  16247  lcmgcd  16654  lcmid  16656  mulgcddvds  16702  prmirredlem  21506  blcvx  24839  iblmulc2  25886  itgabs  25890  bddmulibl  25894  dveflem  26037  dvlip  26052  dvlipcn  26053  plyeq0lem  26269  aalioulem4  26395  radcnvlem1  26474  dvradcnv  26482  pserulm  26483  abelthlem5  26497  abelthlem7  26500  abslogle  26678  logtayllem  26719  abscxpbnd  26814  chordthmlem4  26896  divsqrtsumo1  27045  lgamgulmlem2  27091  lgamgulmlem3  27092  lgamgulmlem5  27094  ftalem1  27134  ftalem2  27135  ftalem5  27138  logexprlim  27287  lgsdilem2  27395  2sqlem3  27482  dchrisumlem2  27552  dchrmusum2  27556  dchrvmasumlem3  27561  dchrvmasumiflem1  27563  dchrisum0lem2a  27579  dchrisum0lem2  27580  mudivsum  27592  mulogsumlem  27593  mulog2sumlem1  27596  mulog2sumlem2  27597  2vmadivsumlem  27602  selberglem2  27608  selberg3lem1  27619  selberg4lem1  27622  pntrlog2bndlem1  27639  pntrlog2bndlem3  27641  pntibndlem2  27653  pntlemn  27662  pntlemj  27665  nmbdfnlbi  32081  nmcfnlbi  32084  cnzh  33916  rezh  33917  subfaclim  35156  knoppcnlem4  36462  knoppndvlem11  36488  knoppndvlem14  36491  iblmulc2nc  37645  itgabsnc  37649  cntotbnd  37756  irrapxlem2  42779  irrapxlem5  42782  pellexlem2  42786  absmulrposd  44121  imo72b2lem0  44127  radcnvrat  44283  fprodabs2  45516  dvdivbd  45844  dvbdfbdioolem1  45849  fourierdlem30  46058  fourierdlem39  46067  fourierdlem47  46074  fourierdlem68  46095  fourierdlem73  46100  fourierdlem77  46104  fourierdlem87  46114  etransclem23  46178  smfmullem1  46712