Theorem absmuld 15498

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15335	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086   · cmul 11093  abscabs 15275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15509  mulcn2  15637  reccn2  15638  o1mul  15656  o1rlimmul  15660  iseraltlem3  15725  geomulcvg  15920  mertenslem1  15928  fprodabs  16018  absef  16243  efieq1re  16245  lcmgcd  16655  lcmid  16657  mulgcddvds  16703  prmirredlem  21582  blcvx  24916  iblmulc2  25951  itgabs  25955  bddmulibl  25959  dveflem  26099  dvlip  26113  dvlipcn  26114  plyeq0lem  26328  aalioulem4  26457  radcnvlem1  26534  dvradcnv  26542  pserulm  26543  abelthlem5  26556  abelthlem7  26559  abslogle  26741  logtayllem  26782  abscxpbnd  26876  chordthmlem4  26958  divsqrtsumo1  27106  lgamgulmlem2  27152  lgamgulmlem3  27153  lgamgulmlem5  27155  ftalem1  27195  ftalem2  27196  ftalem5  27199  logexprlim  27347  lgsdilem2  27455  2sqlem3  27542  dchrisumlem2  27612  dchrmusum2  27616  dchrvmasumlem3  27621  dchrvmasumiflem1  27623  dchrisum0lem2a  27639  dchrisum0lem2  27640  mudivsum  27652  mulogsumlem  27653  mulog2sumlem1  27656  mulog2sumlem2  27657  2vmadivsumlem  27662  selberglem2  27668  selberg3lem1  27679  selberg4lem1  27682  pntrlog2bndlem1  27699  pntrlog2bndlem3  27701  pntibndlem2  27713  pntlemn  27722  pntlemj  27725  nmbdfnlbi  32310  nmcfnlbi  32313  iconstr  34073  constrremulcl  34074  constrimcl  34077  constrmulcl  34078  cnzh  34275  rezh  34276  subfaclim  35551  knoppcnlem4  36947  knoppndvlem11  36973  knoppndvlem14  36976  iblmulc2nc  38196  itgabsnc  38200  cntotbnd  38307  irrapxlem2  43412  irrapxlem5  43415  pellexlem2  43419  absmulrposd  44747  imo72b2lem0  44753  radcnvrat  44888  fprodabs2  46169  dvdivbd  46495  dvbdfbdioolem1  46500  fourierdlem30  46709  fourierdlem39  46718  fourierdlem47  46725  fourierdlem68  46746  fourierdlem73  46751  fourierdlem77  46755  fourierdlem87  46765  etransclem23  46829  smfmullem1  47363