Theorem absmuld 15408

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15248	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114   · cmul 11121  abscabs 15188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15419  mulcn2  15547  reccn2  15548  o1mul  15566  o1rlimmul  15570  iseraltlem3  15637  geomulcvg  15829  mertenslem1  15837  fprodabs  15925  absef  16147  efieq1re  16149  lcmgcd  16551  lcmid  16553  mulgcddvds  16599  prmirredlem  21332  blcvx  24634  iblmulc2  25680  itgabs  25684  bddmulibl  25688  dveflem  25831  dvlip  25846  dvlipcn  25847  plyeq0lem  26062  aalioulem4  26187  radcnvlem1  26264  dvradcnv  26272  pserulm  26273  abelthlem5  26287  abelthlem7  26290  abslogle  26466  logtayllem  26507  abscxpbnd  26602  chordthmlem4  26681  divsqrtsumo1  26830  lgamgulmlem2  26876  lgamgulmlem3  26877  lgamgulmlem5  26879  ftalem1  26919  ftalem2  26920  ftalem5  26923  logexprlim  27072  lgsdilem2  27180  2sqlem3  27267  dchrisumlem2  27337  dchrmusum2  27341  dchrvmasumlem3  27346  dchrvmasumiflem1  27348  dchrisum0lem2a  27364  dchrisum0lem2  27365  mudivsum  27377  mulogsumlem  27378  mulog2sumlem1  27381  mulog2sumlem2  27382  2vmadivsumlem  27387  selberglem2  27393  selberg3lem1  27404  selberg4lem1  27407  pntrlog2bndlem1  27424  pntrlog2bndlem3  27426  pntibndlem2  27438  pntlemn  27447  pntlemj  27450  nmbdfnlbi  31736  nmcfnlbi  31739  cnzh  33415  rezh  33416  subfaclim  34644  knoppcnlem4  35838  knoppndvlem11  35864  knoppndvlem14  35867  iblmulc2nc  37019  itgabsnc  37023  cntotbnd  37130  irrapxlem2  42026  irrapxlem5  42029  pellexlem2  42033  absmulrposd  43375  imo72b2lem0  43382  radcnvrat  43538  fprodabs2  44772  dvdivbd  45100  dvbdfbdioolem1  45105  fourierdlem30  45314  fourierdlem39  45323  fourierdlem47  45330  fourierdlem68  45351  fourierdlem73  45356  fourierdlem77  45360  fourierdlem87  45370  etransclem23  45434  smfmullem1  45968