Theorem absmuld 15417

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15254	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034   · cmul 11041  abscabs 15194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15428  mulcn2  15556  reccn2  15557  o1mul  15575  o1rlimmul  15579  iseraltlem3  15644  geomulcvg  15839  mertenslem1  15847  fprodabs  15937  absef  16162  efieq1re  16164  lcmgcd  16574  lcmid  16576  mulgcddvds  16622  prmirredlem  21454  blcvx  24788  iblmulc2  25823  itgabs  25827  bddmulibl  25831  dveflem  25971  dvlip  25985  dvlipcn  25986  plyeq0lem  26200  aalioulem4  26326  radcnvlem1  26403  dvradcnv  26411  pserulm  26412  abelthlem5  26425  abelthlem7  26428  abslogle  26607  logtayllem  26648  abscxpbnd  26742  chordthmlem4  26824  divsqrtsumo1  26972  lgamgulmlem2  27018  lgamgulmlem3  27019  lgamgulmlem5  27021  ftalem1  27061  ftalem2  27062  ftalem5  27065  logexprlim  27213  lgsdilem2  27321  2sqlem3  27408  dchrisumlem2  27478  dchrmusum2  27482  dchrvmasumlem3  27487  dchrvmasumiflem1  27489  dchrisum0lem2a  27505  dchrisum0lem2  27506  mudivsum  27518  mulogsumlem  27519  mulog2sumlem1  27522  mulog2sumlem2  27523  2vmadivsumlem  27528  selberglem2  27534  selberg3lem1  27545  selberg4lem1  27548  pntrlog2bndlem1  27565  pntrlog2bndlem3  27567  pntibndlem2  27579  pntlemn  27588  pntlemj  27591  nmbdfnlbi  32145  nmcfnlbi  32148  iconstr  33957  constrremulcl  33958  constrimcl  33961  constrmulcl  33962  cnzh  34159  rezh  34160  subfaclim  35423  knoppcnlem4  36809  knoppndvlem11  36835  knoppndvlem14  36838  iblmulc2nc  38059  itgabsnc  38063  cntotbnd  38170  irrapxlem2  43275  irrapxlem5  43278  pellexlem2  43282  absmulrposd  44610  imo72b2lem0  44616  radcnvrat  44765  fprodabs2  46047  dvdivbd  46373  dvbdfbdioolem1  46378  fourierdlem30  46587  fourierdlem39  46596  fourierdlem47  46603  fourierdlem68  46624  fourierdlem73  46629  fourierdlem77  46633  fourierdlem87  46643  etransclem23  46707  smfmullem1  47241