Theorem absmuld 14814

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 14654	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535   · cmul 10542  abscabs 14593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  14825  mulcn2  14952  reccn2  14953  o1mul  14971  o1rlimmul  14975  iseraltlem3  15040  geomulcvg  15232  mertenslem1  15240  fprodabs  15328  absef  15550  efieq1re  15552  lcmgcd  15951  lcmid  15953  mulgcddvds  15999  prmirredlem  20640  blcvx  23406  iblmulc2  24431  itgabs  24435  bddmulibl  24439  dveflem  24576  dvlip  24590  dvlipcn  24591  plyeq0lem  24800  aalioulem4  24924  radcnvlem1  25001  dvradcnv  25009  pserulm  25010  abelthlem5  25023  abelthlem7  25026  abslogle  25201  logtayllem  25242  abscxpbnd  25334  chordthmlem4  25413  divsqrtsumo1  25561  lgamgulmlem2  25607  lgamgulmlem3  25608  lgamgulmlem5  25610  ftalem1  25650  ftalem2  25651  ftalem5  25654  logexprlim  25801  lgsdilem2  25909  2sqlem3  25996  dchrisumlem2  26066  dchrmusum2  26070  dchrvmasumlem3  26075  dchrvmasumiflem1  26077  dchrisum0lem2a  26093  dchrisum0lem2  26094  mudivsum  26106  mulogsumlem  26107  mulog2sumlem1  26110  mulog2sumlem2  26111  2vmadivsumlem  26116  selberglem2  26122  selberg3lem1  26133  selberg4lem1  26136  pntrlog2bndlem1  26153  pntrlog2bndlem3  26155  pntibndlem2  26167  pntlemn  26176  pntlemj  26179  nmbdfnlbi  29826  nmcfnlbi  29829  cnzh  31211  rezh  31212  subfaclim  32435  knoppcnlem4  33835  knoppndvlem11  33861  knoppndvlem14  33864  iblmulc2nc  34972  itgabsnc  34976  cntotbnd  35089  irrapxlem2  39440  irrapxlem5  39443  pellexlem2  39447  absmulrposd  40529  imo72b2lem0  40536  radcnvrat  40666  fprodabs2  41896  dvdivbd  42228  dvbdfbdioolem1  42233  fourierdlem30  42442  fourierdlem39  42451  fourierdlem47  42458  fourierdlem68  42479  fourierdlem73  42484  fourierdlem77  42488  fourierdlem87  42498  etransclem23  42562  smfmullem1  43086