Theorem absmuld 15404

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15244	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℂcc 11107   · cmul 11114  abscabs 15184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15415  mulcn2  15543  reccn2  15544  o1mul  15562  o1rlimmul  15566  iseraltlem3  15633  geomulcvg  15825  mertenslem1  15833  fprodabs  15921  absef  16144  efieq1re  16146  lcmgcd  16548  lcmid  16550  mulgcddvds  16596  prmirredlem  21354  blcvx  24664  iblmulc2  25710  itgabs  25714  bddmulibl  25718  dveflem  25861  dvlip  25876  dvlipcn  25877  plyeq0lem  26094  aalioulem4  26220  radcnvlem1  26299  dvradcnv  26307  pserulm  26308  abelthlem5  26322  abelthlem7  26325  abslogle  26502  logtayllem  26543  abscxpbnd  26638  chordthmlem4  26717  divsqrtsumo1  26866  lgamgulmlem2  26912  lgamgulmlem3  26913  lgamgulmlem5  26915  ftalem1  26955  ftalem2  26956  ftalem5  26959  logexprlim  27108  lgsdilem2  27216  2sqlem3  27303  dchrisumlem2  27373  dchrmusum2  27377  dchrvmasumlem3  27382  dchrvmasumiflem1  27384  dchrisum0lem2a  27400  dchrisum0lem2  27401  mudivsum  27413  mulogsumlem  27414  mulog2sumlem1  27417  mulog2sumlem2  27418  2vmadivsumlem  27423  selberglem2  27429  selberg3lem1  27440  selberg4lem1  27443  pntrlog2bndlem1  27460  pntrlog2bndlem3  27462  pntibndlem2  27474  pntlemn  27483  pntlemj  27486  nmbdfnlbi  31806  nmcfnlbi  31809  cnzh  33479  rezh  33480  subfaclim  34706  knoppcnlem4  35879  knoppndvlem11  35905  knoppndvlem14  35908  iblmulc2nc  37065  itgabsnc  37069  cntotbnd  37176  irrapxlem2  42121  irrapxlem5  42124  pellexlem2  42128  absmulrposd  43468  imo72b2lem0  43475  radcnvrat  43631  fprodabs2  44865  dvdivbd  45193  dvbdfbdioolem1  45198  fourierdlem30  45407  fourierdlem39  45416  fourierdlem47  45423  fourierdlem68  45444  fourierdlem73  45449  fourierdlem77  45453  fourierdlem87  45463  etransclem23  45527  smfmullem1  46061