Theorem absmuld 15510

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15347	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099   · cmul 11106  abscabs 15287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15521  mulcn2  15649  reccn2  15650  o1mul  15668  o1rlimmul  15672  iseraltlem3  15737  geomulcvg  15932  mertenslem1  15940  fprodabs  16030  absef  16254  efieq1re  16256  lcmgcd  16666  lcmid  16668  mulgcddvds  16714  prmirredlem  21603  blcvx  24936  iblmulc2  25971  itgabs  25975  bddmulibl  25979  dveflem  26119  dvlip  26133  dvlipcn  26134  plyeq0lem  26348  aalioulem4  26479  radcnvlem1  26557  dvradcnv  26565  pserulm  26566  abelthlem5  26579  abelthlem7  26582  abslogle  26764  logtayllem  26805  abscxpbnd  26899  chordthmlem4  26981  divsqrtsumo1  27129  lgamgulmlem2  27175  lgamgulmlem3  27176  lgamgulmlem5  27178  ftalem1  27218  ftalem2  27219  ftalem5  27222  logexprlim  27370  lgsdilem2  27478  2sqlem3  27565  dchrisumlem2  27635  dchrmusum2  27639  dchrvmasumlem3  27644  dchrvmasumiflem1  27646  dchrisum0lem2a  27662  dchrisum0lem2  27663  mudivsum  27675  mulogsumlem  27676  mulog2sumlem1  27679  mulog2sumlem2  27680  2vmadivsumlem  27685  selberglem2  27691  selberg3lem1  27702  selberg4lem1  27705  pntrlog2bndlem1  27722  pntrlog2bndlem3  27724  pntibndlem2  27736  pntlemn  27745  pntlemj  27748  nmbdfnlbi  32382  nmcfnlbi  32385  iconstr  34137  constrremulcl  34138  constrimcl  34141  constrmulcl  34142  cnzh  34339  rezh  34340  subfaclim  35661  knoppcnlem4  37066  knoppndvlem11  37092  knoppndvlem14  37095  iblmulc2nc  38317  itgabsnc  38321  cntotbnd  38428  irrapxlem2  43533  irrapxlem5  43536  pellexlem2  43540  absmulrposd  44868  imo72b2lem0  44874  radcnvrat  45007  fprodabs2  46294  dvdivbd  46620  dvbdfbdioolem1  46625  fourierdlem30  46834  fourierdlem39  46843  fourierdlem47  46850  fourierdlem68  46871  fourierdlem73  46876  fourierdlem77  46880  fourierdlem87  46890  etransclem23  46954  smfmullem1  47488