Theorem absmuld 15423

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   · cmul 11073  abscabs 15200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15434  mulcn2  15562  reccn2  15563  o1mul  15581  o1rlimmul  15585  iseraltlem3  15650  geomulcvg  15842  mertenslem1  15850  fprodabs  15940  absef  16165  efieq1re  16167  lcmgcd  16577  lcmid  16579  mulgcddvds  16625  prmirredlem  21382  blcvx  24686  iblmulc2  25732  itgabs  25736  bddmulibl  25740  dveflem  25883  dvlip  25898  dvlipcn  25899  plyeq0lem  26115  aalioulem4  26243  radcnvlem1  26322  dvradcnv  26330  pserulm  26331  abelthlem5  26345  abelthlem7  26348  abslogle  26527  logtayllem  26568  abscxpbnd  26663  chordthmlem4  26745  divsqrtsumo1  26894  lgamgulmlem2  26940  lgamgulmlem3  26941  lgamgulmlem5  26943  ftalem1  26983  ftalem2  26984  ftalem5  26987  logexprlim  27136  lgsdilem2  27244  2sqlem3  27331  dchrisumlem2  27401  dchrmusum2  27405  dchrvmasumlem3  27410  dchrvmasumiflem1  27412  dchrisum0lem2a  27428  dchrisum0lem2  27429  mudivsum  27441  mulogsumlem  27442  mulog2sumlem1  27445  mulog2sumlem2  27446  2vmadivsumlem  27451  selberglem2  27457  selberg3lem1  27468  selberg4lem1  27471  pntrlog2bndlem1  27488  pntrlog2bndlem3  27490  pntibndlem2  27502  pntlemn  27511  pntlemj  27514  nmbdfnlbi  31978  nmcfnlbi  31981  iconstr  33756  constrremulcl  33757  constrimcl  33760  constrmulcl  33761  cnzh  33958  rezh  33959  subfaclim  35175  knoppcnlem4  36484  knoppndvlem11  36510  knoppndvlem14  36513  iblmulc2nc  37679  itgabsnc  37683  cntotbnd  37790  irrapxlem2  42811  irrapxlem5  42814  pellexlem2  42818  absmulrposd  44148  imo72b2lem0  44154  radcnvrat  44303  fprodabs2  45593  dvdivbd  45921  dvbdfbdioolem1  45926  fourierdlem30  46135  fourierdlem39  46144  fourierdlem47  46151  fourierdlem68  46172  fourierdlem73  46177  fourierdlem77  46181  fourierdlem87  46191  etransclem23  46255  smfmullem1  46789