Theorem absmuld 15534

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15371	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   · cmul 11123  abscabs 15311

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313

This theorem is used by:  bhmafibid1  15545  mulcn2  15673  reccn2  15674  o1mul  15692  o1rlimmul  15696  iseraltlem3  15761  geomulcvg  15956  mertenslem1  15964  fprodabs  16054  absef  16278  efieq1re  16280  lcmgcd  16690  lcmid  16692  mulgcddvds  16738  prmirredlem  21659  blcvx  24992  iblmulc2  26027  itgabs  26031  bddmulibl  26035  dveflem  26175  dvlip  26189  dvlipcn  26190  plyeq0lem  26404  aalioulem4  26535  radcnvlem1  26613  dvradcnv  26621  pserulm  26622  abelthlem5  26635  abelthlem7  26638  abslogle  26820  logtayllem  26861  abscxpbnd  26955  chordthmlem4  27037  divsqrtsumo1  27185  lgamgulmlem2  27231  lgamgulmlem3  27232  lgamgulmlem5  27234  ftalem1  27274  ftalem2  27275  ftalem5  27278  logexprlim  27426  lgsdilem2  27534  2sqlem3  27621  dchrisumlem2  27691  dchrmusum2  27695  dchrvmasumlem3  27700  dchrvmasumiflem1  27702  dchrisum0lem2a  27718  dchrisum0lem2  27719  mudivsum  27731  mulogsumlem  27732  mulog2sumlem1  27735  mulog2sumlem2  27736  2vmadivsumlem  27741  selberglem2  27747  selberg3lem1  27758  selberg4lem1  27761  pntrlog2bndlem1  27778  pntrlog2bndlem3  27780  pntibndlem2  27792  pntlemn  27801  pntlemj  27804  nmbdfnlbi  32438  nmcfnlbi  32441  iconstr  34187  constrremulcl  34188  constrimcl  34191  constrmulcl  34192  cnzh  34389  rezh  34390  subfaclim  35701  knoppcnlem4  37126  knoppndvlem11  37152  knoppndvlem14  37155  iblmulc2nc  38377  itgabsnc  38381  cntotbnd  38488  irrapxlem2  43591  irrapxlem5  43594  pellexlem2  43598  absmulrposd  44926  imo72b2lem0  44932  radcnvrat  45065  fprodabs2  46352  dvdivbd  46678  dvbdfbdioolem1  46683  fourierdlem30  46892  fourierdlem39  46901  fourierdlem47  46908  fourierdlem68  46929  fourierdlem73  46934  fourierdlem77  46938  fourierdlem87  46948  etransclem23  47012  smfmullem1  47546