Theorem absmuld 15604

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15441	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179   · cmul 11186  abscabs 15381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383

This theorem is used by:  bhmafibid1  15615  mulcn2  15743  reccn2  15744  o1mul  15762  o1rlimmul  15766  iseraltlem3  15831  geomulcvg  16025  mertenslem1  16033  fprodabs  16121  absef  16345  efieq1re  16347  lcmgcd  16762  lcmid  16764  mulgcddvds  16810  prmirredlem  21758  blcvx  25097  iblmulc2  26131  itgabs  26135  bddmulibl  26139  dveflem  26279  dvlip  26293  dvlipcn  26294  plyeq0lem  26509  aalioulem4  26644  radcnvlem1  26722  dvradcnv  26730  pserulm  26731  abelthlem5  26744  abelthlem7  26747  abslogle  26928  logtayllem  26969  abscxpbnd  27063  chordthmlem4  27145  divsqrtsumo1  27293  lgamgulmlem2  27339  lgamgulmlem3  27340  lgamgulmlem5  27342  ftalem1  27382  ftalem2  27383  ftalem5  27386  logexprlim  27534  lgsdilem2  27642  2sqlem3  27729  dchrisumlem2  27799  dchrmusum2  27803  dchrvmasumlem3  27808  dchrvmasumiflem1  27810  dchrisum0lem2a  27826  dchrisum0lem2  27827  mudivsum  27839  mulogsumlem  27840  mulog2sumlem1  27843  mulog2sumlem2  27844  2vmadivsumlem  27849  selberglem2  27855  selberg3lem1  27866  selberg4lem1  27869  pntrlog2bndlem1  27886  pntrlog2bndlem3  27888  pntibndlem2  27900  pntlemn  27909  pntlemj  27912  nmbdfnlbi  32633  nmcfnlbi  32636  iconstr  34380  constrremulcl  34381  constrimcl  34384  constrmulcl  34385  cnzh  34582  rezh  34583  subfaclim  35922  knoppcnlem4  37332  knoppndvlem11  37358  knoppndvlem14  37361  iblmulc2nc  38571  itgabsnc  38575  cntotbnd  38698  irrapxlem2  43783  irrapxlem5  43786  pellexlem2  43790  absmulrposd  45118  imo72b2lem0  45124  radcnvrat  45257  fprodabs2  46551  dvdivbd  46877  dvbdfbdioolem1  46882  fourierdlem30  47091  fourierdlem39  47100  fourierdlem47  47107  fourierdlem68  47128  fourierdlem73  47133  fourierdlem77  47137  fourierdlem87  47147  etransclem23  47211  smfmullem1  47745