MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absmuld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absmuld 14806
Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
absmuld (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 abssubd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 absmul 14646 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
41, 2, 3syl2anc 586 1 (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6348  (class class class)co 7148  cc 10527   · cmul 10534  abscabs 14585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587
This theorem is referenced by:  bhmafibid1  14817  mulcn2  14944  reccn2  14945  o1mul  14963  o1rlimmul  14967  iseraltlem3  15032  geomulcvg  15224  mertenslem1  15232  fprodabs  15320  absef  15542  efieq1re  15544  lcmgcd  15943  lcmid  15945  mulgcddvds  15991  prmirredlem  20632  blcvx  23398  iblmulc2  24423  itgabs  24427  bddmulibl  24431  dveflem  24568  dvlip  24582  dvlipcn  24583  plyeq0lem  24792  aalioulem4  24916  radcnvlem1  24993  dvradcnv  25001  pserulm  25002  abelthlem5  25015  abelthlem7  25018  abslogle  25193  logtayllem  25234  abscxpbnd  25326  chordthmlem4  25405  divsqrtsumo1  25553  lgamgulmlem2  25599  lgamgulmlem3  25600  lgamgulmlem5  25602  ftalem1  25642  ftalem2  25643  ftalem5  25646  logexprlim  25793  lgsdilem2  25901  2sqlem3  25988  dchrisumlem2  26058  dchrmusum2  26062  dchrvmasumlem3  26067  dchrvmasumiflem1  26069  dchrisum0lem2a  26085  dchrisum0lem2  26086  mudivsum  26098  mulogsumlem  26099  mulog2sumlem1  26102  mulog2sumlem2  26103  2vmadivsumlem  26108  selberglem2  26114  selberg3lem1  26125  selberg4lem1  26128  pntrlog2bndlem1  26145  pntrlog2bndlem3  26147  pntibndlem2  26159  pntlemn  26168  pntlemj  26171  nmbdfnlbi  29818  nmcfnlbi  29821  cnzh  31199  rezh  31200  subfaclim  32423  knoppcnlem4  33823  knoppndvlem11  33849  knoppndvlem14  33852  iblmulc2nc  34944  itgabsnc  34948  cntotbnd  35061  irrapxlem2  39405  irrapxlem5  39408  pellexlem2  39412  absmulrposd  40494  imo72b2lem0  40501  radcnvrat  40631  fprodabs2  41860  dvdivbd  42192  dvbdfbdioolem1  42197  fourierdlem30  42407  fourierdlem39  42416  fourierdlem47  42423  fourierdlem68  42444  fourierdlem73  42449  fourierdlem77  42453  fourierdlem87  42463  etransclem23  42527  smfmullem1  43051
  Copyright terms: Public domain W3C validator