MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absmuld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absmuld 15340
Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
abssubd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
absmuld (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)))

Proof of Theorem absmuld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 abssubd.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 absmul 15180 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)))
41, 2, 3syl2anc 585 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050   ยท cmul 11057  abscabs 15120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122
This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15351  mulcn2  15479  reccn2  15480  o1mul  15498  o1rlimmul  15502  iseraltlem3  15569  geomulcvg  15762  mertenslem1  15770  fprodabs  15858  absef  16080  efieq1re  16082  lcmgcd  16484  lcmid  16486  mulgcddvds  16532  prmirredlem  20896  blcvx  24164  iblmulc2  25198  itgabs  25202  bddmulibl  25206  dveflem  25346  dvlip  25360  dvlipcn  25361  plyeq0lem  25574  aalioulem4  25698  radcnvlem1  25775  dvradcnv  25783  pserulm  25784  abelthlem5  25797  abelthlem7  25800  abslogle  25976  logtayllem  26017  abscxpbnd  26109  chordthmlem4  26188  divsqrtsumo1  26336  lgamgulmlem2  26382  lgamgulmlem3  26383  lgamgulmlem5  26385  ftalem1  26425  ftalem2  26426  ftalem5  26429  logexprlim  26576  lgsdilem2  26684  2sqlem3  26771  dchrisumlem2  26841  dchrmusum2  26845  dchrvmasumlem3  26850  dchrvmasumiflem1  26852  dchrisum0lem2a  26868  dchrisum0lem2  26869  mudivsum  26881  mulogsumlem  26882  mulog2sumlem1  26885  mulog2sumlem2  26886  2vmadivsumlem  26891  selberglem2  26897  selberg3lem1  26908  selberg4lem1  26911  pntrlog2bndlem1  26928  pntrlog2bndlem3  26930  pntibndlem2  26942  pntlemn  26951  pntlemj  26954  nmbdfnlbi  30994  nmcfnlbi  30997  cnzh  32554  rezh  32555  subfaclim  33785  knoppcnlem4  34962  knoppndvlem11  34988  knoppndvlem14  34991  iblmulc2nc  36146  itgabsnc  36150  cntotbnd  36258  irrapxlem2  41149  irrapxlem5  41152  pellexlem2  41156  absmulrposd  42438  imo72b2lem0  42445  radcnvrat  42601  fprodabs2  43843  dvdivbd  44171  dvbdfbdioolem1  44176  fourierdlem30  44385  fourierdlem39  44394  fourierdlem47  44401  fourierdlem68  44422  fourierdlem73  44427  fourierdlem77  44431  fourierdlem87  44441  etransclem23  44505  smfmullem1  45039
  Copyright terms: Public domain W3C validator