Theorem absmuld 15380

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15217	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   · cmul 11031  abscabs 15157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15391  mulcn2  15519  reccn2  15520  o1mul  15538  o1rlimmul  15542  iseraltlem3  15607  geomulcvg  15799  mertenslem1  15807  fprodabs  15897  absef  16122  efieq1re  16124  lcmgcd  16534  lcmid  16536  mulgcddvds  16582  prmirredlem  21427  blcvx  24742  iblmulc2  25788  itgabs  25792  bddmulibl  25796  dveflem  25939  dvlip  25954  dvlipcn  25955  plyeq0lem  26171  aalioulem4  26299  radcnvlem1  26378  dvradcnv  26386  pserulm  26387  abelthlem5  26401  abelthlem7  26404  abslogle  26583  logtayllem  26624  abscxpbnd  26719  chordthmlem4  26801  divsqrtsumo1  26950  lgamgulmlem2  26996  lgamgulmlem3  26997  lgamgulmlem5  26999  ftalem1  27039  ftalem2  27040  ftalem5  27043  logexprlim  27192  lgsdilem2  27300  2sqlem3  27387  dchrisumlem2  27457  dchrmusum2  27461  dchrvmasumlem3  27466  dchrvmasumiflem1  27468  dchrisum0lem2a  27484  dchrisum0lem2  27485  mudivsum  27497  mulogsumlem  27498  mulog2sumlem1  27501  mulog2sumlem2  27502  2vmadivsumlem  27507  selberglem2  27513  selberg3lem1  27524  selberg4lem1  27527  pntrlog2bndlem1  27544  pntrlog2bndlem3  27546  pntibndlem2  27558  pntlemn  27567  pntlemj  27570  nmbdfnlbi  32124  nmcfnlbi  32127  iconstr  33923  constrremulcl  33924  constrimcl  33927  constrmulcl  33928  cnzh  34125  rezh  34126  subfaclim  35382  knoppcnlem4  36696  knoppndvlem11  36722  knoppndvlem14  36725  iblmulc2nc  37882  itgabsnc  37886  cntotbnd  37993  irrapxlem2  43061  irrapxlem5  43064  pellexlem2  43068  absmulrposd  44396  imo72b2lem0  44402  radcnvrat  44551  fprodabs2  45837  dvdivbd  46163  dvbdfbdioolem1  46168  fourierdlem30  46377  fourierdlem39  46386  fourierdlem47  46393  fourierdlem68  46414  fourierdlem73  46419  fourierdlem77  46423  fourierdlem87  46433  etransclem23  46497  smfmullem1  47031