Theorem absmuld 15361

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15198	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001   · cmul 11008  abscabs 15138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-seq 13906  df-exp 13966  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15372  mulcn2  15500  reccn2  15501  o1mul  15519  o1rlimmul  15523  iseraltlem3  15588  geomulcvg  15780  mertenslem1  15788  fprodabs  15878  absef  16103  efieq1re  16105  lcmgcd  16515  lcmid  16517  mulgcddvds  16563  prmirredlem  21407  blcvx  24711  iblmulc2  25757  itgabs  25761  bddmulibl  25765  dveflem  25908  dvlip  25923  dvlipcn  25924  plyeq0lem  26140  aalioulem4  26268  radcnvlem1  26347  dvradcnv  26355  pserulm  26356  abelthlem5  26370  abelthlem7  26373  abslogle  26552  logtayllem  26593  abscxpbnd  26688  chordthmlem4  26770  divsqrtsumo1  26919  lgamgulmlem2  26965  lgamgulmlem3  26966  lgamgulmlem5  26968  ftalem1  27008  ftalem2  27009  ftalem5  27012  logexprlim  27161  lgsdilem2  27269  2sqlem3  27356  dchrisumlem2  27426  dchrmusum2  27430  dchrvmasumlem3  27435  dchrvmasumiflem1  27437  dchrisum0lem2a  27453  dchrisum0lem2  27454  mudivsum  27466  mulogsumlem  27467  mulog2sumlem1  27470  mulog2sumlem2  27471  2vmadivsumlem  27476  selberglem2  27482  selberg3lem1  27493  selberg4lem1  27496  pntrlog2bndlem1  27513  pntrlog2bndlem3  27515  pntibndlem2  27527  pntlemn  27536  pntlemj  27539  nmbdfnlbi  32024  nmcfnlbi  32027  iconstr  33774  constrremulcl  33775  constrimcl  33778  constrmulcl  33779  cnzh  33976  rezh  33977  subfaclim  35220  knoppcnlem4  36529  knoppndvlem11  36555  knoppndvlem14  36558  iblmulc2nc  37724  itgabsnc  37728  cntotbnd  37835  irrapxlem2  42855  irrapxlem5  42858  pellexlem2  42862  absmulrposd  44191  imo72b2lem0  44197  radcnvrat  44346  fprodabs2  45634  dvdivbd  45960  dvbdfbdioolem1  45965  fourierdlem30  46174  fourierdlem39  46183  fourierdlem47  46190  fourierdlem68  46211  fourierdlem73  46216  fourierdlem77  46220  fourierdlem87  46230  etransclem23  46294  smfmullem1  46828