Theorem absmuld 15441

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15281	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11144   · cmul 11151  abscabs 15221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15452  mulcn2  15580  reccn2  15581  o1mul  15599  o1rlimmul  15603  iseraltlem3  15670  geomulcvg  15862  mertenslem1  15870  fprodabs  15958  absef  16181  efieq1re  16183  lcmgcd  16585  lcmid  16587  mulgcddvds  16633  prmirredlem  21405  blcvx  24734  iblmulc2  25780  itgabs  25784  bddmulibl  25788  dveflem  25931  dvlip  25946  dvlipcn  25947  plyeq0lem  26164  aalioulem4  26290  radcnvlem1  26369  dvradcnv  26377  pserulm  26378  abelthlem5  26392  abelthlem7  26395  abslogle  26572  logtayllem  26613  abscxpbnd  26708  chordthmlem4  26787  divsqrtsumo1  26936  lgamgulmlem2  26982  lgamgulmlem3  26983  lgamgulmlem5  26985  ftalem1  27025  ftalem2  27026  ftalem5  27029  logexprlim  27178  lgsdilem2  27286  2sqlem3  27373  dchrisumlem2  27443  dchrmusum2  27447  dchrvmasumlem3  27452  dchrvmasumiflem1  27454  dchrisum0lem2a  27470  dchrisum0lem2  27471  mudivsum  27483  mulogsumlem  27484  mulog2sumlem1  27487  mulog2sumlem2  27488  2vmadivsumlem  27493  selberglem2  27499  selberg3lem1  27510  selberg4lem1  27513  pntrlog2bndlem1  27530  pntrlog2bndlem3  27532  pntibndlem2  27544  pntlemn  27553  pntlemj  27556  nmbdfnlbi  31879  nmcfnlbi  31882  cnzh  33604  rezh  33605  subfaclim  34831  knoppcnlem4  36004  knoppndvlem11  36030  knoppndvlem14  36033  iblmulc2nc  37191  itgabsnc  37195  cntotbnd  37302  irrapxlem2  42274  irrapxlem5  42277  pellexlem2  42281  absmulrposd  43620  imo72b2lem0  43626  radcnvrat  43782  fprodabs2  45012  dvdivbd  45340  dvbdfbdioolem1  45345  fourierdlem30  45554  fourierdlem39  45563  fourierdlem47  45570  fourierdlem68  45591  fourierdlem73  45596  fourierdlem77  45600  fourierdlem87  45610  etransclem23  45674  smfmullem1  46208