Theorem absmuld 15496

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15333	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086   · cmul 11093  abscabs 15273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-rp 13005  df-seq 14026  df-exp 14086  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15507  mulcn2  15635  reccn2  15636  o1mul  15654  o1rlimmul  15658  iseraltlem3  15723  geomulcvg  15918  mertenslem1  15926  fprodabs  16016  absef  16241  efieq1re  16243  lcmgcd  16653  lcmid  16655  mulgcddvds  16701  prmirredlem  21579  blcvx  24912  iblmulc2  25947  itgabs  25951  bddmulibl  25955  dveflem  26095  dvlip  26109  dvlipcn  26110  plyeq0lem  26324  aalioulem4  26453  radcnvlem1  26530  dvradcnv  26538  pserulm  26539  abelthlem5  26552  abelthlem7  26555  abslogle  26737  logtayllem  26778  abscxpbnd  26872  chordthmlem4  26954  divsqrtsumo1  27102  lgamgulmlem2  27148  lgamgulmlem3  27149  lgamgulmlem5  27151  ftalem1  27191  ftalem2  27192  ftalem5  27195  logexprlim  27343  lgsdilem2  27451  2sqlem3  27538  dchrisumlem2  27608  dchrmusum2  27612  dchrvmasumlem3  27617  dchrvmasumiflem1  27619  dchrisum0lem2a  27635  dchrisum0lem2  27636  mudivsum  27648  mulogsumlem  27649  mulog2sumlem1  27652  mulog2sumlem2  27653  2vmadivsumlem  27658  selberglem2  27664  selberg3lem1  27675  selberg4lem1  27678  pntrlog2bndlem1  27695  pntrlog2bndlem3  27697  pntibndlem2  27709  pntlemn  27718  pntlemj  27721  nmbdfnlbi  32306  nmcfnlbi  32309  iconstr  34068  constrremulcl  34069  constrimcl  34072  constrmulcl  34073  cnzh  34270  rezh  34271  subfaclim  35546  knoppcnlem4  36942  knoppndvlem11  36968  knoppndvlem14  36971  iblmulc2nc  38191  itgabsnc  38195  cntotbnd  38302  irrapxlem2  43407  irrapxlem5  43410  pellexlem2  43414  absmulrposd  44742  imo72b2lem0  44748  radcnvrat  44883  fprodabs2  46170  dvdivbd  46496  dvbdfbdioolem1  46501  fourierdlem30  46710  fourierdlem39  46719  fourierdlem47  46726  fourierdlem68  46747  fourierdlem73  46752  fourierdlem77  46756  fourierdlem87  46766  etransclem23  46830  smfmullem1  47364