Theorem absmuld 15473

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15313	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127   · cmul 11134  abscabs 15253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15484  mulcn2  15612  reccn2  15613  o1mul  15631  o1rlimmul  15635  iseraltlem3  15700  geomulcvg  15892  mertenslem1  15900  fprodabs  15990  absef  16215  efieq1re  16217  lcmgcd  16626  lcmid  16628  mulgcddvds  16674  prmirredlem  21433  blcvx  24737  iblmulc2  25784  itgabs  25788  bddmulibl  25792  dveflem  25935  dvlip  25950  dvlipcn  25951  plyeq0lem  26167  aalioulem4  26295  radcnvlem1  26374  dvradcnv  26382  pserulm  26383  abelthlem5  26397  abelthlem7  26400  abslogle  26579  logtayllem  26620  abscxpbnd  26715  chordthmlem4  26797  divsqrtsumo1  26946  lgamgulmlem2  26992  lgamgulmlem3  26993  lgamgulmlem5  26995  ftalem1  27035  ftalem2  27036  ftalem5  27039  logexprlim  27188  lgsdilem2  27296  2sqlem3  27383  dchrisumlem2  27453  dchrmusum2  27457  dchrvmasumlem3  27462  dchrvmasumiflem1  27464  dchrisum0lem2a  27480  dchrisum0lem2  27481  mudivsum  27493  mulogsumlem  27494  mulog2sumlem1  27497  mulog2sumlem2  27498  2vmadivsumlem  27503  selberglem2  27509  selberg3lem1  27520  selberg4lem1  27523  pntrlog2bndlem1  27540  pntrlog2bndlem3  27542  pntibndlem2  27554  pntlemn  27563  pntlemj  27566  nmbdfnlbi  32030  nmcfnlbi  32033  iconstr  33800  constrremulcl  33801  constrimcl  33804  constrmulcl  33805  cnzh  33999  rezh  34000  subfaclim  35210  knoppcnlem4  36514  knoppndvlem11  36540  knoppndvlem14  36543  iblmulc2nc  37709  itgabsnc  37713  cntotbnd  37820  irrapxlem2  42846  irrapxlem5  42849  pellexlem2  42853  absmulrposd  44183  imo72b2lem0  44189  radcnvrat  44338  fprodabs2  45624  dvdivbd  45952  dvbdfbdioolem1  45957  fourierdlem30  46166  fourierdlem39  46175  fourierdlem47  46182  fourierdlem68  46203  fourierdlem73  46208  fourierdlem77  46212  fourierdlem87  46222  etransclem23  46286  smfmullem1  46820