Theorem absmuld 15630

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15467	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202   · cmul 11209  abscabs 15407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409

This theorem is used by:  bhmafibid1  15641  mulcn2  15769  reccn2  15770  o1mul  15788  o1rlimmul  15792  iseraltlem3  15857  geomulcvg  16051  mertenslem1  16059  fprodabs  16147  absef  16371  efieq1re  16373  lcmgcd  16788  lcmid  16790  mulgcddvds  16836  prmirredlem  21784  blcvx  25123  iblmulc2  26157  itgabs  26161  bddmulibl  26165  dveflem  26305  dvlip  26319  dvlipcn  26320  plyeq0lem  26535  aalioulem4  26668  radcnvlem1  26746  dvradcnv  26754  pserulm  26755  abelthlem5  26768  abelthlem7  26771  abslogle  26952  logtayllem  26993  abscxpbnd  27087  chordthmlem4  27169  divsqrtsumo1  27317  lgamgulmlem2  27363  lgamgulmlem3  27364  lgamgulmlem5  27366  ftalem1  27406  ftalem2  27407  ftalem5  27410  logexprlim  27558  lgsdilem2  27666  2sqlem3  27753  dchrisumlem2  27823  dchrmusum2  27827  dchrvmasumlem3  27832  dchrvmasumiflem1  27834  dchrisum0lem2a  27850  dchrisum0lem2  27851  mudivsum  27863  mulogsumlem  27864  mulog2sumlem1  27867  mulog2sumlem2  27868  2vmadivsumlem  27873  selberglem2  27879  selberg3lem1  27890  selberg4lem1  27893  pntrlog2bndlem1  27910  pntrlog2bndlem3  27912  pntibndlem2  27924  pntlemn  27933  pntlemj  27936  nmbdfnlbi  32657  nmcfnlbi  32660  iconstr  34445  constrremulcl  34446  constrimcl  34449  constrmulcl  34450  cnzh  34647  rezh  34648  subfaclim  36040  knoppcnlem4  37455  knoppndvlem11  37481  knoppndvlem14  37484  iblmulc2nc  38697  itgabsnc  38701  cntotbnd  38824  irrapxlem2  43924  irrapxlem5  43927  pellexlem2  43931  absmulrposd  45253  imo72b2lem0  45259  radcnvrat  45392  fprodabs2  46701  dvdivbd  47027  dvbdfbdioolem1  47032  fourierdlem30  47241  fourierdlem39  47250  fourierdlem47  47257  fourierdlem68  47278  fourierdlem73  47283  fourierdlem77  47287  fourierdlem87  47297  etransclem23  47361  smfmullem1  47895