Theorem absmuld 15166

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15006	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   · cmul 10876  abscabs 14945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15177  mulcn2  15305  reccn2  15306  o1mul  15324  o1rlimmul  15328  iseraltlem3  15395  geomulcvg  15588  mertenslem1  15596  fprodabs  15684  absef  15906  efieq1re  15908  lcmgcd  16312  lcmid  16314  mulgcddvds  16360  prmirredlem  20694  blcvx  23961  iblmulc2  24995  itgabs  24999  bddmulibl  25003  dveflem  25143  dvlip  25157  dvlipcn  25158  plyeq0lem  25371  aalioulem4  25495  radcnvlem1  25572  dvradcnv  25580  pserulm  25581  abelthlem5  25594  abelthlem7  25597  abslogle  25773  logtayllem  25814  abscxpbnd  25906  chordthmlem4  25985  divsqrtsumo1  26133  lgamgulmlem2  26179  lgamgulmlem3  26180  lgamgulmlem5  26182  ftalem1  26222  ftalem2  26223  ftalem5  26226  logexprlim  26373  lgsdilem2  26481  2sqlem3  26568  dchrisumlem2  26638  dchrmusum2  26642  dchrvmasumlem3  26647  dchrvmasumiflem1  26649  dchrisum0lem2a  26665  dchrisum0lem2  26666  mudivsum  26678  mulogsumlem  26679  mulog2sumlem1  26682  mulog2sumlem2  26683  2vmadivsumlem  26688  selberglem2  26694  selberg3lem1  26705  selberg4lem1  26708  pntrlog2bndlem1  26725  pntrlog2bndlem3  26727  pntibndlem2  26739  pntlemn  26748  pntlemj  26751  nmbdfnlbi  30411  nmcfnlbi  30414  cnzh  31920  rezh  31921  subfaclim  33150  knoppcnlem4  34676  knoppndvlem11  34702  knoppndvlem14  34705  iblmulc2nc  35842  itgabsnc  35846  cntotbnd  35954  irrapxlem2  40645  irrapxlem5  40648  pellexlem2  40652  absmulrposd  41769  imo72b2lem0  41776  radcnvrat  41932  fprodabs2  43136  dvdivbd  43464  dvbdfbdioolem1  43469  fourierdlem30  43678  fourierdlem39  43687  fourierdlem47  43694  fourierdlem68  43715  fourierdlem73  43720  fourierdlem77  43724  fourierdlem87  43734  etransclem23  43798  smfmullem1  44325