Theorem absmuld 15493

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15333	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   · cmul 11160  abscabs 15273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15504  mulcn2  15632  reccn2  15633  o1mul  15651  o1rlimmul  15655  iseraltlem3  15720  geomulcvg  15912  mertenslem1  15920  fprodabs  16010  absef  16233  efieq1re  16235  lcmgcd  16644  lcmid  16646  mulgcddvds  16692  prmirredlem  21483  blcvx  24819  iblmulc2  25866  itgabs  25870  bddmulibl  25874  dveflem  26017  dvlip  26032  dvlipcn  26033  plyeq0lem  26249  aalioulem4  26377  radcnvlem1  26456  dvradcnv  26464  pserulm  26465  abelthlem5  26479  abelthlem7  26482  abslogle  26660  logtayllem  26701  abscxpbnd  26796  chordthmlem4  26878  divsqrtsumo1  27027  lgamgulmlem2  27073  lgamgulmlem3  27074  lgamgulmlem5  27076  ftalem1  27116  ftalem2  27117  ftalem5  27120  logexprlim  27269  lgsdilem2  27377  2sqlem3  27464  dchrisumlem2  27534  dchrmusum2  27538  dchrvmasumlem3  27543  dchrvmasumiflem1  27545  dchrisum0lem2a  27561  dchrisum0lem2  27562  mudivsum  27574  mulogsumlem  27575  mulog2sumlem1  27578  mulog2sumlem2  27579  2vmadivsumlem  27584  selberglem2  27590  selberg3lem1  27601  selberg4lem1  27604  pntrlog2bndlem1  27621  pntrlog2bndlem3  27623  pntibndlem2  27635  pntlemn  27644  pntlemj  27647  nmbdfnlbi  32068  nmcfnlbi  32071  cnzh  33969  rezh  33970  subfaclim  35193  knoppcnlem4  36497  knoppndvlem11  36523  knoppndvlem14  36526  iblmulc2nc  37692  itgabsnc  37696  cntotbnd  37803  irrapxlem2  42834  irrapxlem5  42837  pellexlem2  42841  absmulrposd  44172  imo72b2lem0  44178  radcnvrat  44333  fprodabs2  45610  dvdivbd  45938  dvbdfbdioolem1  45943  fourierdlem30  46152  fourierdlem39  46161  fourierdlem47  46168  fourierdlem68  46189  fourierdlem73  46194  fourierdlem77  46198  fourierdlem87  46208  etransclem23  46272  smfmullem1  46806