Theorem absmuld 15094

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 14934	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   · cmul 10807  abscabs 14873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15105  mulcn2  15233  reccn2  15234  o1mul  15252  o1rlimmul  15256  iseraltlem3  15323  geomulcvg  15516  mertenslem1  15524  fprodabs  15612  absef  15834  efieq1re  15836  lcmgcd  16240  lcmid  16242  mulgcddvds  16288  prmirredlem  20606  blcvx  23867  iblmulc2  24900  itgabs  24904  bddmulibl  24908  dveflem  25048  dvlip  25062  dvlipcn  25063  plyeq0lem  25276  aalioulem4  25400  radcnvlem1  25477  dvradcnv  25485  pserulm  25486  abelthlem5  25499  abelthlem7  25502  abslogle  25678  logtayllem  25719  abscxpbnd  25811  chordthmlem4  25890  divsqrtsumo1  26038  lgamgulmlem2  26084  lgamgulmlem3  26085  lgamgulmlem5  26087  ftalem1  26127  ftalem2  26128  ftalem5  26131  logexprlim  26278  lgsdilem2  26386  2sqlem3  26473  dchrisumlem2  26543  dchrmusum2  26547  dchrvmasumlem3  26552  dchrvmasumiflem1  26554  dchrisum0lem2a  26570  dchrisum0lem2  26571  mudivsum  26583  mulogsumlem  26584  mulog2sumlem1  26587  mulog2sumlem2  26588  2vmadivsumlem  26593  selberglem2  26599  selberg3lem1  26610  selberg4lem1  26613  pntrlog2bndlem1  26630  pntrlog2bndlem3  26632  pntibndlem2  26644  pntlemn  26653  pntlemj  26656  nmbdfnlbi  30312  nmcfnlbi  30315  cnzh  31820  rezh  31821  subfaclim  33050  knoppcnlem4  34603  knoppndvlem11  34629  knoppndvlem14  34632  iblmulc2nc  35769  itgabsnc  35773  cntotbnd  35881  irrapxlem2  40561  irrapxlem5  40564  pellexlem2  40568  absmulrposd  41658  imo72b2lem0  41665  radcnvrat  41821  fprodabs2  43026  dvdivbd  43354  dvbdfbdioolem1  43359  fourierdlem30  43568  fourierdlem39  43577  fourierdlem47  43584  fourierdlem68  43605  fourierdlem73  43610  fourierdlem77  43614  fourierdlem87  43624  etransclem23  43688  smfmullem1  44212