Theorem absmuld 15410

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15247	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   · cmul 11034  abscabs 15187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15421  mulcn2  15549  reccn2  15550  o1mul  15568  o1rlimmul  15572  iseraltlem3  15637  geomulcvg  15832  mertenslem1  15840  fprodabs  15930  absef  16155  efieq1re  16157  lcmgcd  16567  lcmid  16569  mulgcddvds  16615  prmirredlem  21462  blcvx  24773  iblmulc2  25808  itgabs  25812  bddmulibl  25816  dveflem  25956  dvlip  25970  dvlipcn  25971  plyeq0lem  26185  aalioulem4  26312  radcnvlem1  26391  dvradcnv  26399  pserulm  26400  abelthlem5  26413  abelthlem7  26416  abslogle  26595  logtayllem  26636  abscxpbnd  26730  chordthmlem4  26812  divsqrtsumo1  26961  lgamgulmlem2  27007  lgamgulmlem3  27008  lgamgulmlem5  27010  ftalem1  27050  ftalem2  27051  ftalem5  27054  logexprlim  27202  lgsdilem2  27310  2sqlem3  27397  dchrisumlem2  27467  dchrmusum2  27471  dchrvmasumlem3  27476  dchrvmasumiflem1  27478  dchrisum0lem2a  27494  dchrisum0lem2  27495  mudivsum  27507  mulogsumlem  27508  mulog2sumlem1  27511  mulog2sumlem2  27512  2vmadivsumlem  27517  selberglem2  27523  selberg3lem1  27534  selberg4lem1  27537  pntrlog2bndlem1  27554  pntrlog2bndlem3  27556  pntibndlem2  27568  pntlemn  27577  pntlemj  27580  nmbdfnlbi  32135  nmcfnlbi  32138  iconstr  33926  constrremulcl  33927  constrimcl  33930  constrmulcl  33931  cnzh  34128  rezh  34129  subfaclim  35386  knoppcnlem4  36772  knoppndvlem11  36798  knoppndvlem14  36801  iblmulc2nc  38020  itgabsnc  38024  cntotbnd  38131  irrapxlem2  43269  irrapxlem5  43272  pellexlem2  43276  absmulrposd  44604  imo72b2lem0  44610  radcnvrat  44759  fprodabs2  46043  dvdivbd  46369  dvbdfbdioolem1  46374  fourierdlem30  46583  fourierdlem39  46592  fourierdlem47  46599  fourierdlem68  46620  fourierdlem73  46625  fourierdlem77  46629  fourierdlem87  46639  etransclem23  46703  smfmullem1  47237