Theorem absmuld 15382

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15219	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026   · cmul 11033  abscabs 15159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15393  mulcn2  15521  reccn2  15522  o1mul  15540  o1rlimmul  15544  iseraltlem3  15609  geomulcvg  15801  mertenslem1  15809  fprodabs  15899  absef  16124  efieq1re  16126  lcmgcd  16536  lcmid  16538  mulgcddvds  16584  prmirredlem  21397  blcvx  24702  iblmulc2  25748  itgabs  25752  bddmulibl  25756  dveflem  25899  dvlip  25914  dvlipcn  25915  plyeq0lem  26131  aalioulem4  26259  radcnvlem1  26338  dvradcnv  26346  pserulm  26347  abelthlem5  26361  abelthlem7  26364  abslogle  26543  logtayllem  26584  abscxpbnd  26679  chordthmlem4  26761  divsqrtsumo1  26910  lgamgulmlem2  26956  lgamgulmlem3  26957  lgamgulmlem5  26959  ftalem1  26999  ftalem2  27000  ftalem5  27003  logexprlim  27152  lgsdilem2  27260  2sqlem3  27347  dchrisumlem2  27417  dchrmusum2  27421  dchrvmasumlem3  27426  dchrvmasumiflem1  27428  dchrisum0lem2a  27444  dchrisum0lem2  27445  mudivsum  27457  mulogsumlem  27458  mulog2sumlem1  27461  mulog2sumlem2  27462  2vmadivsumlem  27467  selberglem2  27473  selberg3lem1  27484  selberg4lem1  27487  pntrlog2bndlem1  27504  pntrlog2bndlem3  27506  pntibndlem2  27518  pntlemn  27527  pntlemj  27530  nmbdfnlbi  32011  nmcfnlbi  32014  iconstr  33732  constrremulcl  33733  constrimcl  33736  constrmulcl  33737  cnzh  33934  rezh  33935  subfaclim  35160  knoppcnlem4  36469  knoppndvlem11  36495  knoppndvlem14  36498  iblmulc2nc  37664  itgabsnc  37668  cntotbnd  37775  irrapxlem2  42796  irrapxlem5  42799  pellexlem2  42803  absmulrposd  44132  imo72b2lem0  44138  radcnvrat  44287  fprodabs2  45577  dvdivbd  45905  dvbdfbdioolem1  45910  fourierdlem30  46119  fourierdlem39  46128  fourierdlem47  46135  fourierdlem68  46156  fourierdlem73  46161  fourierdlem77  46165  fourierdlem87  46175  etransclem23  46239  smfmullem1  46773