Theorem absmuld 15656

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15493	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228   · cmul 11235  abscabs 15433

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-seq 14175  df-exp 14235  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435

This theorem is used by:  bhmafibid1  15667  mulcn2  15795  reccn2  15796  o1mul  15814  o1rlimmul  15818  iseraltlem3  15883  geomulcvg  16077  mertenslem1  16085  fprodabs  16173  absef  16397  efieq1re  16399  lcmgcd  16814  lcmid  16816  mulgcddvds  16862  prmirredlem  21811  blcvx  25150  iblmulc2  26184  itgabs  26188  bddmulibl  26192  dveflem  26332  dvlip  26346  dvlipcn  26347  plyeq0lem  26562  aalioulem4  26695  radcnvlem1  26773  dvradcnv  26781  pserulm  26782  abelthlem5  26795  abelthlem7  26798  abslogle  26979  logtayllem  27020  abscxpbnd  27114  chordthmlem4  27196  divsqrtsumo1  27344  lgamgulmlem2  27390  lgamgulmlem3  27391  lgamgulmlem5  27393  ftalem1  27433  ftalem2  27434  ftalem5  27437  logexprlim  27585  lgsdilem2  27693  2sqlem3  27780  dchrisumlem2  27850  dchrmusum2  27854  dchrvmasumlem3  27859  dchrvmasumiflem1  27861  dchrisum0lem2a  27877  dchrisum0lem2  27878  mudivsum  27890  mulogsumlem  27891  mulog2sumlem1  27894  mulog2sumlem2  27895  2vmadivsumlem  27900  selberglem2  27906  selberg3lem1  27917  selberg4lem1  27920  pntrlog2bndlem1  27937  pntrlog2bndlem3  27939  pntibndlem2  27951  pntlemn  27960  pntlemj  27963  nmbdfnlbi  32684  nmcfnlbi  32687  iconstr  34481  constrremulcl  34482  constrimcl  34485  constrmulcl  34486  cnzh  34683  rezh  34684  subfaclim  36133  knoppcnlem4  37553  knoppndvlem11  37579  knoppndvlem14  37582  iblmulc2nc  38808  itgabsnc  38812  cntotbnd  38933  irrapxlem2  44034  irrapxlem5  44037  pellexlem2  44041  absmulrposd  45362  imo72b2lem0  45368  radcnvrat  45501  fprodabs2  46822  dvdivbd  47148  dvbdfbdioolem1  47153  fourierdlem30  47362  fourierdlem39  47371  fourierdlem47  47378  fourierdlem68  47399  fourierdlem73  47404  fourierdlem77  47408  fourierdlem87  47418  etransclem23  47482  smfmullem1  48016