Theorem absmuld 15467

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15304	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068   · cmul 11075  abscabs 15244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15478  mulcn2  15606  reccn2  15607  o1mul  15625  o1rlimmul  15629  iseraltlem3  15694  geomulcvg  15889  mertenslem1  15897  fprodabs  15987  absef  16212  efieq1re  16214  lcmgcd  16624  lcmid  16626  mulgcddvds  16672  prmirredlem  21504  blcvx  24838  iblmulc2  25873  itgabs  25877  bddmulibl  25881  dveflem  26021  dvlip  26035  dvlipcn  26036  plyeq0lem  26250  aalioulem4  26376  radcnvlem1  26453  dvradcnv  26461  pserulm  26462  abelthlem5  26475  abelthlem7  26478  abslogle  26660  logtayllem  26701  abscxpbnd  26795  chordthmlem4  26877  divsqrtsumo1  27025  lgamgulmlem2  27071  lgamgulmlem3  27072  lgamgulmlem5  27074  ftalem1  27114  ftalem2  27115  ftalem5  27118  logexprlim  27266  lgsdilem2  27374  2sqlem3  27461  dchrisumlem2  27531  dchrmusum2  27535  dchrvmasumlem3  27540  dchrvmasumiflem1  27542  dchrisum0lem2a  27558  dchrisum0lem2  27559  mudivsum  27571  mulogsumlem  27572  mulog2sumlem1  27575  mulog2sumlem2  27576  2vmadivsumlem  27581  selberglem2  27587  selberg3lem1  27598  selberg4lem1  27601  pntrlog2bndlem1  27618  pntrlog2bndlem3  27620  pntibndlem2  27632  pntlemn  27641  pntlemj  27644  nmbdfnlbi  32198  nmcfnlbi  32201  iconstr  34024  constrremulcl  34025  constrimcl  34028  constrmulcl  34029  cnzh  34226  rezh  34227  subfaclim  35502  knoppcnlem4  36898  knoppndvlem11  36924  knoppndvlem14  36927  iblmulc2nc  38148  itgabsnc  38152  cntotbnd  38259  irrapxlem2  43364  irrapxlem5  43367  pellexlem2  43371  absmulrposd  44699  imo72b2lem0  44705  radcnvrat  44854  fprodabs2  46135  dvdivbd  46461  dvbdfbdioolem1  46466  fourierdlem30  46675  fourierdlem39  46684  fourierdlem47  46691  fourierdlem68  46712  fourierdlem73  46717  fourierdlem77  46721  fourierdlem87  46731  etransclem23  46795  smfmullem1  47329