Theorem absmuld 15400

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15240	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℂcc 11107   · cmul 11114  abscabs 15180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15411  mulcn2  15539  reccn2  15540  o1mul  15558  o1rlimmul  15562  iseraltlem3  15629  geomulcvg  15821  mertenslem1  15829  fprodabs  15917  absef  16139  efieq1re  16141  lcmgcd  16543  lcmid  16545  mulgcddvds  16591  prmirredlem  21041  blcvx  24313  iblmulc2  25347  itgabs  25351  bddmulibl  25355  dveflem  25495  dvlip  25509  dvlipcn  25510  plyeq0lem  25723  aalioulem4  25847  radcnvlem1  25924  dvradcnv  25932  pserulm  25933  abelthlem5  25946  abelthlem7  25949  abslogle  26125  logtayllem  26166  abscxpbnd  26258  chordthmlem4  26337  divsqrtsumo1  26485  lgamgulmlem2  26531  lgamgulmlem3  26532  lgamgulmlem5  26534  ftalem1  26574  ftalem2  26575  ftalem5  26578  logexprlim  26725  lgsdilem2  26833  2sqlem3  26920  dchrisumlem2  26990  dchrmusum2  26994  dchrvmasumlem3  26999  dchrvmasumiflem1  27001  dchrisum0lem2a  27017  dchrisum0lem2  27018  mudivsum  27030  mulogsumlem  27031  mulog2sumlem1  27034  mulog2sumlem2  27035  2vmadivsumlem  27040  selberglem2  27046  selberg3lem1  27057  selberg4lem1  27060  pntrlog2bndlem1  27077  pntrlog2bndlem3  27079  pntibndlem2  27091  pntlemn  27100  pntlemj  27103  nmbdfnlbi  31297  nmcfnlbi  31300  cnzh  32945  rezh  32946  subfaclim  34174  knoppcnlem4  35367  knoppndvlem11  35393  knoppndvlem14  35396  iblmulc2nc  36548  itgabsnc  36552  cntotbnd  36659  irrapxlem2  41551  irrapxlem5  41554  pellexlem2  41558  absmulrposd  42900  imo72b2lem0  42907  radcnvrat  43063  fprodabs2  44301  dvdivbd  44629  dvbdfbdioolem1  44634  fourierdlem30  44843  fourierdlem39  44852  fourierdlem47  44859  fourierdlem68  44880  fourierdlem73  44885  fourierdlem77  44889  fourierdlem87  44899  etransclem23  44963  smfmullem1  45497