Theorem absmuld 15419

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 15256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   · cmul 11043  abscabs 15196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15430  mulcn2  15558  reccn2  15559  o1mul  15577  o1rlimmul  15581  iseraltlem3  15646  geomulcvg  15841  mertenslem1  15849  fprodabs  15939  absef  16164  efieq1re  16166  lcmgcd  16576  lcmid  16578  mulgcddvds  16624  prmirredlem  21452  blcvx  24763  iblmulc2  25798  itgabs  25802  bddmulibl  25806  dveflem  25946  dvlip  25960  dvlipcn  25961  plyeq0lem  26175  aalioulem4  26301  radcnvlem1  26378  dvradcnv  26386  pserulm  26387  abelthlem5  26400  abelthlem7  26403  abslogle  26582  logtayllem  26623  abscxpbnd  26717  chordthmlem4  26799  divsqrtsumo1  26947  lgamgulmlem2  26993  lgamgulmlem3  26994  lgamgulmlem5  26996  ftalem1  27036  ftalem2  27037  ftalem5  27040  logexprlim  27188  lgsdilem2  27296  2sqlem3  27383  dchrisumlem2  27453  dchrmusum2  27457  dchrvmasumlem3  27462  dchrvmasumiflem1  27464  dchrisum0lem2a  27480  dchrisum0lem2  27481  mudivsum  27493  mulogsumlem  27494  mulog2sumlem1  27497  mulog2sumlem2  27498  2vmadivsumlem  27503  selberglem2  27509  selberg3lem1  27520  selberg4lem1  27523  pntrlog2bndlem1  27540  pntrlog2bndlem3  27542  pntibndlem2  27554  pntlemn  27563  pntlemj  27566  nmbdfnlbi  32120  nmcfnlbi  32123  iconstr  33910  constrremulcl  33911  constrimcl  33914  constrmulcl  33915  cnzh  34112  rezh  34113  subfaclim  35370  knoppcnlem4  36756  knoppndvlem11  36782  knoppndvlem14  36785  iblmulc2nc  38006  itgabsnc  38010  cntotbnd  38117  irrapxlem2  43251  irrapxlem5  43254  pellexlem2  43258  absmulrposd  44586  imo72b2lem0  44592  radcnvrat  44741  fprodabs2  46025  dvdivbd  46351  dvbdfbdioolem1  46356  fourierdlem30  46565  fourierdlem39  46574  fourierdlem47  46581  fourierdlem68  46602  fourierdlem73  46607  fourierdlem77  46611  fourierdlem87  46621  etransclem23  46685  smfmullem1  47219