Theorem ccatval3 14602

Description: Value of a symbol in the right half of a concatenated word, using an index relative to the subword. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccatval3	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝐼 + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘𝐼))

Proof of Theorem ccatval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 14556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12619	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
3	2	anim1ci 616	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ))
4	3	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ))
5		fzo0addelr 13740	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝐼 + (♯‘𝑆)) ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝐼 + (♯‘𝑆)) ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
7		ccatval2 14601	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐼 + (♯‘𝑆)) ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝐼 + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘((𝐼 + (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑆))))
8	6, 7	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝐼 + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘((𝐼 + (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑆))))
9		elfzoelz 13681	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝐼 ∈ ℤ)
10	9	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝐼 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12703	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝐼 ∈ ℂ)
12	1	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 12569	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
14	11, 13	pncand 11600	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝐼 + (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑆)) = 𝐼)
15	14	fveq2d 6885	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑇‘((𝐼 + (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑆))) = (𝑇‘𝐼))
16	8, 15	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝐼 + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134   + caddc 11137   − cmin 11471  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ..^cfzo 13676  ♯chash 14353  Word cword 14536   ++ cconcat 14593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-concat 14594

This theorem is referenced by:  ccatrn  14612  swrdccat2  14692  cats1un  14744  splfv2a  14779  revccat  14789  cats1fvn  14882  gsumsgrpccat  18823  efgsval2  19719  efgsp1  19723  pgpfaclem1  20069  2clwwlk2clwwlk  30336  splfv3  32939  lpadright  34721