MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatval3 13925
Description: Value of a symbol in the right half of a concatenated word, using an index relative to the subword. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatval3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝐼 + (♯‘𝑆))) = (𝑇𝐼))

Proof of Theorem ccatval3
StepHypRef Expression
1 lencl 13875 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
21nn0zd 12077 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
32anim1ci 617 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ))
433adant2 1125 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ))
5 fzo0addelr 13084 . . . 4 ((𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝐼 + (♯‘𝑆)) ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
64, 5syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝐼 + (♯‘𝑆)) ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
7 ccatval2 13924 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐼 + (♯‘𝑆)) ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝐼 + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘((𝐼 + (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑆))))
86, 7syld3an3 1403 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝐼 + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘((𝐼 + (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑆))))
9 elfzoelz 13030 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝐼 ∈ ℤ)
1093ad2ant3 1129 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝐼 ∈ ℤ)
1110zcnd 12080 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝐼 ∈ ℂ)
1213ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
1312nn0cnd 11949 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
1411, 13pncand 10990 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝐼 + (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑆)) = 𝐼)
1514fveq2d 6667 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑇‘((𝐼 + (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑆))) = (𝑇𝐼))
168, 15eqtrd 2854 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝐼 + (♯‘𝑆))) = (𝑇𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6348  (class class class)co 7148  0cc0 10529   + caddc 10532  cmin 10862  0cn0 11889  cz 11973  ..^cfzo 13025  chash 13682  Word cword 13853   ++ cconcat 13914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-hash 13683  df-word 13854  df-concat 13915
This theorem is referenced by:  ccatrn  13935  swrdccat2  14023  cats1un  14075  splfv2a  14110  revccat  14120  cats1fvn  14212  gsumsgrpccat  17996  gsumccatOLD  17997  efgsval2  18851  efgsp1  18855  pgpfaclem1  19195  2clwwlk2clwwlk  28121  splfv3  30625  lpadright  31943
  Copyright terms: Public domain W3C validator