Theorem ceildivmod 47939

Description: Expressing the ceiling of a division by the modulo operator. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceildivmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌈‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)) / 𝐵))

Proof of Theorem ceildivmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rerpdivcl 13025	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
2		ceilval 13848	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌈‘(𝐴 / 𝐵)) = -(⌊‘-(𝐴 / 𝐵)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌈‘(𝐴 / 𝐵)) = -(⌊‘-(𝐴 / 𝐵)))
4		recn 11163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		rpcn 13004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
7	6	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
8		rpne0 13010	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
9	8	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
10	5, 7, 9	divnegd 11980	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(𝐴 / 𝐵) = (-𝐴 / 𝐵))
11	10	fveq2d 6871	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘-(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(-𝐴 / 𝐵)))
12		renegcl 11494	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
13		fldivmod 47938	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(-𝐴 / 𝐵)) = ((-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
14	12, 13	sylan 589	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(-𝐴 / 𝐵)) = ((-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
15	11, 14	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘-(𝐴 / 𝐵)) = ((-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
16	15	negeqd 11424	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(⌊‘-(𝐴 / 𝐵)) = -((-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
17	12	recnd 11210	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℂ)
18	17	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℂ)
19		modcl 13883	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
20	12, 19	sylan 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11210	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝐵) ∈ ℂ)
22	18, 21	subcld 11542	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℂ)
23	22, 7, 9	divnegd 11980	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -((-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (-(-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
24	16, 23	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(⌊‘-(𝐴 / 𝐵)) = (-(-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
25	18, 21	negsubdid 11557	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) = (--𝐴 + (-𝐴 mod 𝐵)))
26	4	negnegd 11533	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → --𝐴 = 𝐴)
27	26	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → --𝐴 = 𝐴)
28	27	oveq1d 7411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (--𝐴 + (-𝐴 mod 𝐵)) = (𝐴 + (-𝐴 mod 𝐵)))
29		negmod 13929	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝐵) = ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵))
30	29	oveq2d 7412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + (-𝐴 mod 𝐵)) = (𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)))
31	25, 28, 30	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) = (𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)))
32	31	oveq1d 7411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-(-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)) / 𝐵))
33	3, 24, 32	3eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌈‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)) / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073   + caddc 11076   − cmin 11414  -cneg 11415   / cdiv 11844  ℝ⁺crp 12993  ⌊cfl 13800  ⌈cceil 13801   mod cmo 13879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fl 13802  df-ceil 13803  df-mod 13880

This theorem is referenced by:  ceil5half3  47940