Theorem ceildivmod 48234

Description: Expressing the ceiling of a division by the modulo operator. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceildivmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌈‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)) / 𝐵))

Proof of Theorem ceildivmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rerpdivcl 13075	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
2		ceilval 13900	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌈‘(𝐴 / 𝐵)) = -(⌊‘-(𝐴 / 𝐵)))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌈‘(𝐴 / 𝐵)) = -(⌊‘-(𝐴 / 𝐵)))
4		recn 11215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		rpcn 13054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
7	6	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
8		rpne0 13060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
9	8	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
10	5, 7, 9	divnegd 12029	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(𝐴 / 𝐵) = (-𝐴 / 𝐵))
11	10	fveq2d 6883	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘-(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(-𝐴 / 𝐵)))
12		renegcl 11546	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
13		fldivmod 48233	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(-𝐴 / 𝐵)) = ((-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
14	12, 13	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(-𝐴 / 𝐵)) = ((-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
15	11, 14	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘-(𝐴 / 𝐵)) = ((-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
16	15	negeqd 11476	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(⌊‘-(𝐴 / 𝐵)) = -((-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
17	12	recnd 11262	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℂ)
18	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℂ)
19		modcl 13935	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
20	12, 19	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11262	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝐵) ∈ ℂ)
22	18, 21	subcld 11594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℂ)
23	22, 7, 9	divnegd 12029	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -((-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (-(-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
24	16, 23	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(⌊‘-(𝐴 / 𝐵)) = (-(-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
25	18, 21	negsubdid 11609	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) = (--𝐴 + (-𝐴 mod 𝐵)))
26	4	negnegd 11585	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → --𝐴 = 𝐴)
27	26	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → --𝐴 = 𝐴)
28	27	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (--𝐴 + (-𝐴 mod 𝐵)) = (𝐴 + (-𝐴 mod 𝐵)))
29		negmod 13981	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝐵) = ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵))
30	29	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + (-𝐴 mod 𝐵)) = (𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)))
31	25, 28, 30	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) = (𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)))
32	31	oveq1d 7429	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-(-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)) / 𝐵))
33	3, 24, 32	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌈‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)) / 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  ℝcr 11124  0cc0 11125   + caddc 11128   − cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11896  ℝ⁺crp 13043  ⌊cfl 13852  ⌈cceil 13853   mod cmo 13931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-fl 13854  df-ceil 13855  df-mod 13932

This theorem is used by:  ceil5half3  48235