Theorem ceildivmod 48414

Description: Expressing the ceiling of a division by the modulo operator. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceildivmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌈‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)) / 𝐵))

Proof of Theorem ceildivmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rerpdivcl 13152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
2		ceilval 13978	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌈‘(𝐴 / 𝐵)) = -(⌊‘-(𝐴 / 𝐵)))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌈‘(𝐴 / 𝐵)) = -(⌊‘-(𝐴 / 𝐵)))
4		recn 11290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		rpcn 13131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
7	6	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
8		rpne0 13137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
9	8	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
10	5, 7, 9	divnegd 12106	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(𝐴 / 𝐵) = (-𝐴 / 𝐵))
11	10	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘-(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(-𝐴 / 𝐵)))
12		renegcl 11621	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
13		fldivmod 48413	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(-𝐴 / 𝐵)) = ((-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
14	12, 13	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(-𝐴 / 𝐵)) = ((-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
15	11, 14	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘-(𝐴 / 𝐵)) = ((-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
16	15	negeqd 11551	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(⌊‘-(𝐴 / 𝐵)) = -((-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
17	12	recnd 11337	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℂ)
18	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℂ)
19		modcl 14013	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
20	12, 19	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11337	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝐵) ∈ ℂ)
22	18, 21	subcld 11669	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℂ)
23	22, 7, 9	divnegd 12106	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -((-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (-(-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
24	16, 23	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(⌊‘-(𝐴 / 𝐵)) = (-(-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
25	18, 21	negsubdid 11684	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) = (--𝐴 + (-𝐴 mod 𝐵)))
26	4	negnegd 11660	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → --𝐴 = 𝐴)
27	26	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → --𝐴 = 𝐴)
28	27	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (--𝐴 + (-𝐴 mod 𝐵)) = (𝐴 + (-𝐴 mod 𝐵)))
29		negmod 14059	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝐵) = ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵))
30	29	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + (-𝐴 mod 𝐵)) = (𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)))
31	25, 28, 30	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) = (𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)))
32	31	oveq1d 7435	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-(-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)) / 𝐵))
33	3, 24, 32	3eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌈‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)) / 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200   + caddc 11203   − cmin 11541  -cneg 11542   / cdiv 11973  ℝ⁺crp 13120  ⌊cfl 13930  ⌈cceil 13931   mod cmo 14009

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fl 13932  df-ceil 13933  df-mod 14010

This theorem is used by:  ceil5half3  48415