Theorem ceildivmod 48551

Description: Expressing the ceiling of a division by the modulo operator. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceildivmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌈‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)) / 𝐵))

Proof of Theorem ceildivmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rerpdivcl 13159	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
2		ceilval 13985	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌈‘(𝐴 / 𝐵)) = -(⌊‘ -(𝐴 / 𝐵)))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌈‘(𝐴 / 𝐵)) = -(⌊‘ -(𝐴 / 𝐵)))
4		recn 11297	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		rpcn 13138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
7	6	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
8		rpne0 13144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
9	8	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
10	5, 7, 9	divnegd 12113	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(𝐴 / 𝐵) = ( -𝐴 / 𝐵))
11	10	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘ -(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘( -𝐴 / 𝐵)))
12		renegcl 11628	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
13		fldivmod 48550	. . . . . 6 ⊢ (( -𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘( -𝐴 / 𝐵)) = (( -𝐴 − ( -𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
14	12, 13	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘( -𝐴 / 𝐵)) = (( -𝐴 − ( -𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
15	11, 14	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘ -(𝐴 / 𝐵)) = (( -𝐴 − ( -𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
16	15	negeqd 11558	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(⌊‘ -(𝐴 / 𝐵)) = -(( -𝐴 − ( -𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
17	12	recnd 11344	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℂ)
18	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℂ)
19		modcl 14020	. . . . . . 7 ⊢ (( -𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ( -𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
20	12, 19	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ( -𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11344	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ( -𝐴 mod 𝐵) ∈ ℂ)
22	18, 21	subcld 11676	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ( -𝐴 − ( -𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℂ)
23	22, 7, 9	divnegd 12113	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(( -𝐴 − ( -𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = ( -( -𝐴 − ( -𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
24	16, 23	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(⌊‘ -(𝐴 / 𝐵)) = ( -( -𝐴 − ( -𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
25	18, 21	negsubdid 11691	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -( -𝐴 − ( -𝐴 mod 𝐵)) = ( - -𝐴 + ( -𝐴 mod 𝐵)))
26	4	negnegd 11667	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → - -𝐴 = 𝐴)
27	26	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → - -𝐴 = 𝐴)
28	27	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ( - -𝐴 + ( -𝐴 mod 𝐵)) = (𝐴 + ( -𝐴 mod 𝐵)))
29		negmod 14066	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ( -𝐴 mod 𝐵) = ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵))
30	29	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + ( -𝐴 mod 𝐵)) = (𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)))
31	25, 28, 30	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -( -𝐴 − ( -𝐴 mod 𝐵)) = (𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)))
32	31	oveq1d 7439	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ( -( -𝐴 − ( -𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)) / 𝐵))
33	3, 24, 32	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌈‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)) / 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207   + caddc 11210   − cmin 11548   -cneg 11549   / cdiv 11980  ℝ⁺crp 13127  ⌊cfl 13937  ⌈cceil 13938   mod cmo 14016

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fl 13939  df-ceil 13940  df-mod 14017

This theorem is used by:  ceil5half3  48552