Theorem ceildivmod 48140

Description: Expressing the ceiling of a division by the modulo operator. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceildivmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌈‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)) / 𝐵))

Proof of Theorem ceildivmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rerpdivcl 13064	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
2		ceilval 13889	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌈‘(𝐴 / 𝐵)) = -(⌊‘-(𝐴 / 𝐵)))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌈‘(𝐴 / 𝐵)) = -(⌊‘-(𝐴 / 𝐵)))
4		recn 11205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		rpcn 13043	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
7	6	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
8		rpne0 13049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
9	8	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
10	5, 7, 9	divnegd 12019	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(𝐴 / 𝐵) = (-𝐴 / 𝐵))
11	10	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘-(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(-𝐴 / 𝐵)))
12		renegcl 11536	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
13		fldivmod 48139	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(-𝐴 / 𝐵)) = ((-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
14	12, 13	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(-𝐴 / 𝐵)) = ((-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
15	11, 14	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘-(𝐴 / 𝐵)) = ((-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
16	15	negeqd 11466	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(⌊‘-(𝐴 / 𝐵)) = -((-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
17	12	recnd 11252	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℂ)
18	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℂ)
19		modcl 13924	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
20	12, 19	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11252	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝐵) ∈ ℂ)
22	18, 21	subcld 11584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℂ)
23	22, 7, 9	divnegd 12019	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -((-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (-(-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
24	16, 23	eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(⌊‘-(𝐴 / 𝐵)) = (-(-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
25	18, 21	negsubdid 11599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) = (--𝐴 + (-𝐴 mod 𝐵)))
26	4	negnegd 11575	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → --𝐴 = 𝐴)
27	26	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → --𝐴 = 𝐴)
28	27	oveq1d 7434	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (--𝐴 + (-𝐴 mod 𝐵)) = (𝐴 + (-𝐴 mod 𝐵)))
29		negmod 13970	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝐵) = ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵))
30	29	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + (-𝐴 mod 𝐵)) = (𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)))
31	25, 28, 30	3eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) = (𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)))
32	31	oveq1d 7434	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-(-𝐴 − (-𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)) / 𝐵))
33	3, 24, 32	3eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌈‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 + ((𝐵 − 𝐴) mod 𝐵)) / 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  ℝcr 11114  0cc0 11115   + caddc 11118   − cmin 11456  -cneg 11457   / cdiv 11886  ℝ⁺crp 13032  ⌊cfl 13841  ⌈cceil 13842   mod cmo 13920

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fl 13843  df-ceil 13844  df-mod 13921

This theorem is used by:  ceil5half3  48141