Theorem iscgrad 28774

Description: Sufficient conditions for angle congruence, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscgra.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
iscgra.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iscgra.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
iscgra.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
iscgra.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
iscgra.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
iscgra.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
iscgra.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
iscgra.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
iscgra.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
iscgrad.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
iscgrad.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
iscgrad.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
iscgrad.2	⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷)
iscgrad.3	⊢ (𝜑 → 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹)

Assertion

Ref	Expression
iscgrad	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem iscgrad

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscgrad.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
2		iscgrad.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
3		iscgrad.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
4		iscgrad.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷)
5		iscgrad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹)
6		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
7		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐸 = 𝐸)
8		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑦 = 𝑦)
9	6, 7, 8	s3eqd 14789	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ = ⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩)
10	9	breq2d 5107	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩))
11		breq1 5098	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ↔ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷))
12	10, 11	3anbi12d 1439	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))
13		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → 𝑋 = 𝑋)
14		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → 𝐸 = 𝐸)
15		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → 𝑦 = 𝑌)
16	13, 14, 15	s3eqd 14789	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ = ⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
17	16	breq2d 5107	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩))
18		breq1 5098	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹 ↔ 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹))
19	17, 18	3anbi13d 1440	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩ ∧ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹)))
20	12, 19	rspc2ev 3592	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩ ∧ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))
21	1, 2, 3, 4, 5, 20	syl113anc 1384	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))
22		iscgra.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
23		iscgra.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
24		iscgra.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
25		iscgra.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
26		iscgra.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
27		iscgra.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
28		iscgra.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
29		iscgra.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
30		iscgra.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
31		iscgra.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
32	22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31	iscgra 28772	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))
33	21, 32	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  ⟨“cs3 14767  Basecbs 17138  TarskiGcstrkg 28390  Itvcitv 28396  cgrGccgrg 28473  hlGchlg 28563  cgrAccgra 28770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-s1 14521  df-s2 14773  df-s3 14774  df-cgra 28771

This theorem is referenced by:  cgrahl1  28779  cgrahl2  28780  cgraid  28782  cgrcgra  28784  dfcgra2  28793  sacgr  28794  tgsas2  28819  tgsas3  28820  tgasa1  28821