Theorem iscgrad 28893

Description: Sufficient conditions for angle congruence, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscgra.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
iscgra.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iscgra.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
iscgra.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
iscgra.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
iscgra.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
iscgra.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
iscgra.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
iscgra.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
iscgra.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
iscgrad.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
iscgrad.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
iscgrad.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
iscgrad.2	⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷)
iscgrad.3	⊢ (𝜑 → 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹)

Assertion

Ref	Expression
iscgrad	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem iscgrad

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscgrad.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
2		iscgrad.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
3		iscgrad.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
4		iscgrad.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷)
5		iscgrad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹)
6		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
7		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐸 = 𝐸)
8		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑦 = 𝑦)
9	6, 7, 8	s3eqd 14817	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ = ⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩)
10	9	breq2d 5098	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩))
11		breq1 5089	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ↔ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷))
12	10, 11	3anbi12d 1440	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))
13		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → 𝑋 = 𝑋)
14		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → 𝐸 = 𝐸)
15		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → 𝑦 = 𝑌)
16	13, 14, 15	s3eqd 14817	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ = ⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
17	16	breq2d 5098	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩))
18		breq1 5089	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹 ↔ 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹))
19	17, 18	3anbi13d 1441	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩ ∧ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹)))
20	12, 19	rspc2ev 3578	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩ ∧ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))
21	1, 2, 3, 4, 5, 20	syl113anc 1385	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))
22		iscgra.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
23		iscgra.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
24		iscgra.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
25		iscgra.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
26		iscgra.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
27		iscgra.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
28		iscgra.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
29		iscgra.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
30		iscgra.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
31		iscgra.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
32	22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31	iscgra 28891	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))
33	21, 32	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  ⟨“cs3 14795  Basecbs 17170  TarskiGcstrkg 28509  Itvcitv 28515  cgrGccgrg 28592  hlGchlg 28682  cgrAccgra 28889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-s2 14801  df-s3 14802  df-cgra 28890

This theorem is referenced by:  cgrahl1  28898  cgrahl2  28899  cgraid  28901  cgrcgra  28903  dfcgra2  28912  sacgr  28913  tgsas2  28938  tgsas3  28939  tgasa1  28940