MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscgrad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscgrad 25913
Description: Sufficient conditions for angle congruence, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iscgra.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
iscgra.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iscgra.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
iscgra.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
iscgra.a (𝜑𝐴𝑃)
iscgra.b (𝜑𝐵𝑃)
iscgra.c (𝜑𝐶𝑃)
iscgra.d (𝜑𝐷𝑃)
iscgra.e (𝜑𝐸𝑃)
iscgra.f (𝜑𝐹𝑃)
iscgrad.x (𝜑𝑋𝑃)
iscgrad.y (𝜑𝑌𝑃)
iscgrad.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
iscgrad.2 (𝜑𝑋(𝐾𝐸)𝐷)
iscgrad.3 (𝜑𝑌(𝐾𝐸)𝐹)
Assertion
Ref Expression
iscgrad (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem iscgrad
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscgrad.x . . 3 (𝜑𝑋𝑃)
2 iscgrad.y . . 3 (𝜑𝑌𝑃)
3 iscgrad.1 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
4 iscgrad.2 . . . 4 (𝜑𝑋(𝐾𝐸)𝐷)
5 iscgrad.3 . . . 4 (𝜑𝑌(𝐾𝐸)𝐹)
63, 4, 53jca 1151 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩ ∧ 𝑋(𝐾𝐸)𝐷𝑌(𝐾𝐸)𝐹))
7 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
8 eqidd 2806 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋𝐸 = 𝐸)
9 eqidd 2806 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑦)
107, 8, 9s3eqd 13829 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ = ⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩)
1110breq2d 4852 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩))
12 breq1 4843 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑋(𝐾𝐸)𝐷))
1311, 123anbi12d 1554 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑋(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹)))
14 eqidd 2806 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌𝑋 = 𝑋)
15 eqidd 2806 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌𝐸 = 𝐸)
16 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌𝑦 = 𝑌)
1714, 15, 16s3eqd 13829 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → ⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ = ⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
1817breq2d 4852 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩))
19 breq1 4843 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦(𝐾𝐸)𝐹𝑌(𝐾𝐸)𝐹))
2018, 193anbi13d 1555 . . . 4 (𝑦 = 𝑌 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑋(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩ ∧ 𝑋(𝐾𝐸)𝐷𝑌(𝐾𝐸)𝐹)))
2113, 20rspc2ev 3516 . . 3 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩ ∧ 𝑋(𝐾𝐸)𝐷𝑌(𝐾𝐸)𝐹)) → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹))
221, 2, 6, 21syl3anc 1483 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹))
23 iscgra.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
24 iscgra.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
25 iscgra.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
26 iscgra.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
27 iscgra.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
28 iscgra.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
29 iscgra.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
30 iscgra.d . . 3 (𝜑𝐷𝑃)
31 iscgra.e . . 3 (𝜑𝐸𝑃)
32 iscgra.f . . 3 (𝜑𝐹𝑃)
3323, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32iscgra 25911 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹)))
3422, 33mpbird 248 1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2158  wrex 3096   class class class wbr 4840  cfv 6098  ⟨“cs3 13807  Basecbs 16064  TarskiGcstrkg 25539  Itvcitv 25545  cgrGccgrg 25615  hlGchlg 25705  cgrAccgra 25909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-rep 4960  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-cnex 10274  ax-resscn 10275  ax-1cn 10276  ax-icn 10277  ax-addcl 10278  ax-addrcl 10279  ax-mulcl 10280  ax-mulrcl 10281  ax-mulcom 10282  ax-addass 10283  ax-mulass 10284  ax-distr 10285  ax-i2m1 10286  ax-1ne0 10287  ax-1rid 10288  ax-rnegex 10289  ax-rrecex 10290  ax-cnre 10291  ax-pre-lttri 10292  ax-pre-lttrn 10293  ax-pre-ltadd 10294  ax-pre-mulgt0 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-nel 3081  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-pss 3782  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-tr 4943  df-id 5216  df-eprel 5221  df-po 5229  df-so 5230  df-fr 5267  df-we 5269  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-pred 5890  df-ord 5936  df-on 5937  df-lim 5938  df-suc 5939  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-om 7293  df-1st 7395  df-2nd 7396  df-wrecs 7639  df-recs 7701  df-rdg 7739  df-1o 7793  df-oadd 7797  df-er 7976  df-map 8091  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-fin 8193  df-card 9045  df-pnf 10358  df-mnf 10359  df-xr 10360  df-ltxr 10361  df-le 10362  df-sub 10550  df-neg 10551  df-nn 11303  df-2 11360  df-3 11361  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-hash 13334  df-word 13506  df-concat 13508  df-s1 13509  df-s2 13813  df-s3 13814  df-cgra 25910
This theorem is referenced by:  cgrahl1  25918  cgrahl2  25919  cgraid  25921  cgrcgra  25923  dfcgra2  25931  sacgr  25932  tgsas2  25947  tgsas3  25948  tgasa1  25949  tgsss1  25951
  Copyright terms: Public domain W3C validator