Theorem iscgrad 28897

Description: Sufficient conditions for angle congruence, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscgra.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
iscgra.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iscgra.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
iscgra.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
iscgra.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
iscgra.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
iscgra.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
iscgra.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
iscgra.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
iscgra.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
iscgrad.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
iscgrad.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
iscgrad.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
iscgrad.2	⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷)
iscgrad.3	⊢ (𝜑 → 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹)

Assertion

Ref	Expression
iscgrad	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem iscgrad

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscgrad.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
2		iscgrad.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
3		iscgrad.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
4		iscgrad.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷)
5		iscgrad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹)
6		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
7		eqidd 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐸 = 𝐸)
8		eqidd 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑦 = 𝑦)
9	6, 7, 8	s3eqd 14817	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ = ⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩)
10	9	breq2d 5084	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩))
11		breq1 5075	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ↔ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷))
12	10, 11	3anbi12d 1445	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))
13		eqidd 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → 𝑋 = 𝑋)
14		eqidd 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → 𝐸 = 𝐸)
15		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → 𝑦 = 𝑌)
16	13, 14, 15	s3eqd 14817	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ = ⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
17	16	breq2d 5084	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩))
18		breq1 5075	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹 ↔ 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹))
19	17, 18	3anbi13d 1446	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩ ∧ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹)))
20	12, 19	rspc2ev 3573	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩ ∧ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))
21	1, 2, 3, 4, 5, 20	syl113anc 1390	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))
22		iscgra.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
23		iscgra.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
24		iscgra.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
25		iscgra.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
26		iscgra.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
27		iscgra.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
28		iscgra.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
29		iscgra.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
30		iscgra.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
31		iscgra.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
32	22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31	iscgra 28895	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))
33	21, 32	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  ⟨“cs3 14795  Basecbs 17170  TarskiGcstrkg 28513  Itvcitv 28519  cgrGccgrg 28596  hlGchlg 28686  cgrAccgra 28893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-s2 14801  df-s3 14802  df-cgra 28894

This theorem is referenced by:  cgrahl1  28902  cgrahl2  28903  cgraid  28905  cgrcgra  28907  dfcgra2  28916  sacgr  28917  tgsas2  28942  tgsas3  28943  tgasa1  28944