MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscgrad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscgrad 27795
Description: Sufficient conditions for angle congruence, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iscgra.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
iscgra.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
iscgra.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
iscgra.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
iscgra.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
iscgra.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
iscgra.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
iscgra.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
iscgra.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
iscgra.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
iscgrad.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
iscgrad.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
iscgrad.1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘‹πΈπ‘Œβ€βŸ©)
iscgrad.2 (πœ‘ β†’ 𝑋(πΎβ€˜πΈ)𝐷)
iscgrad.3 (πœ‘ β†’ π‘Œ(πΎβ€˜πΈ)𝐹)
Assertion
Ref Expression
iscgrad (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)

Proof of Theorem iscgrad
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscgrad.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
2 iscgrad.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
3 iscgrad.1 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘‹πΈπ‘Œβ€βŸ©)
4 iscgrad.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋(πΎβ€˜πΈ)𝐷)
5 iscgrad.3 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ(πΎβ€˜πΈ)𝐹)
6 id 22 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ π‘₯ = 𝑋)
7 eqidd 2738 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ 𝐸 = 𝐸)
8 eqidd 2738 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ 𝑦 = 𝑦)
96, 7, 8s3eqd 14760 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘‹πΈπ‘¦β€βŸ©)
109breq2d 5122 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘‹πΈπ‘¦β€βŸ©))
11 breq1 5113 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ↔ 𝑋(πΎβ€˜πΈ)𝐷))
1210, 113anbi12d 1438 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹) ↔ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘‹πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ 𝑋(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)))
13 eqidd 2738 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘Œ β†’ 𝑋 = 𝑋)
14 eqidd 2738 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘Œ β†’ 𝐸 = 𝐸)
15 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘Œ β†’ 𝑦 = π‘Œ)
1613, 14, 15s3eqd 14760 . . . . . 6 (𝑦 = π‘Œ β†’ βŸ¨β€œπ‘‹πΈπ‘¦β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘‹πΈπ‘Œβ€βŸ©)
1716breq2d 5122 . . . . 5 (𝑦 = π‘Œ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘‹πΈπ‘¦β€βŸ© ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘‹πΈπ‘Œβ€βŸ©))
18 breq1 5113 . . . . 5 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹 ↔ π‘Œ(πΎβ€˜πΈ)𝐹))
1917, 183anbi13d 1439 . . . 4 (𝑦 = π‘Œ β†’ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘‹πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ 𝑋(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹) ↔ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘‹πΈπ‘Œβ€βŸ© ∧ 𝑋(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ π‘Œ(πΎβ€˜πΈ)𝐹)))
2012, 19rspc2ev 3595 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘‹πΈπ‘Œβ€βŸ© ∧ 𝑋(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ π‘Œ(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹))
211, 2, 3, 4, 5, 20syl113anc 1383 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹))
22 iscgra.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
23 iscgra.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
24 iscgra.k . . 3 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
25 iscgra.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
26 iscgra.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
27 iscgra.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
28 iscgra.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
29 iscgra.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
30 iscgra.e . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
31 iscgra.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
3222, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31iscgra 27793 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)))
3321, 32mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  βŸ¨β€œcs3 14738  Basecbs 17090  TarskiGcstrkg 27411  Itvcitv 27417  cgrGccgrg 27494  hlGchlg 27584  cgrAccgra 27791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-s2 14744  df-s3 14745  df-cgra 27792
This theorem is referenced by:  cgrahl1  27800  cgrahl2  27801  cgraid  27803  cgrcgra  27805  dfcgra2  27814  sacgr  27815  tgsas2  27840  tgsas3  27841  tgasa1  27842
  Copyright terms: Public domain W3C validator