Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscgrad Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Sufficient conditions for angle congruence, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iscgra.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
iscgra.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iscgra.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
iscgra.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
iscgra.a (𝜑𝐴𝑃)
iscgra.b (𝜑𝐵𝑃)
iscgra.c (𝜑𝐶𝑃)
iscgra.d (𝜑𝐷𝑃)
iscgra.e (𝜑𝐸𝑃)
iscgra.f (𝜑𝐹𝑃)
Assertion
Ref Expression

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscgrad.x . . 3 (𝜑𝑋𝑃)
2 iscgrad.y . . 3 (𝜑𝑌𝑃)
3 iscgrad.1 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
4 iscgrad.2 . . 3 (𝜑𝑋(𝐾𝐸)𝐷)
5 iscgrad.3 . . 3 (𝜑𝑌(𝐾𝐸)𝐹)
6 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
7 eqidd 2820 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋𝐸 = 𝐸)
8 eqidd 2820 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑦)
96, 7, 8s3eqd 14218 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ = ⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩)
109breq2d 5069 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩))
11 breq1 5060 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑋(𝐾𝐸)𝐷))
1210, 113anbi12d 1431 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑋(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹)))
13 eqidd 2820 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌𝑋 = 𝑋)
14 eqidd 2820 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌𝐸 = 𝐸)
15 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌𝑦 = 𝑌)
1613, 14, 15s3eqd 14218 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → ⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ = ⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
1716breq2d 5069 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩))
18 breq1 5060 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦(𝐾𝐸)𝐹𝑌(𝐾𝐸)𝐹))
1917, 183anbi13d 1432 . . . 4 (𝑦 = 𝑌 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑋(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩ ∧ 𝑋(𝐾𝐸)𝐷𝑌(𝐾𝐸)𝐹)))
2012, 19rspc2ev 3633 . . 3 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩ ∧ 𝑋(𝐾𝐸)𝐷𝑌(𝐾𝐸)𝐹)) → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹))
211, 2, 3, 4, 5, 20syl113anc 1377 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹))
22 iscgra.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
23 iscgra.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
24 iscgra.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
25 iscgra.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
26 iscgra.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
27 iscgra.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
28 iscgra.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
29 iscgra.d . . 3 (𝜑𝐷𝑃)
30 iscgra.e . . 3 (𝜑𝐸𝑃)
31 iscgra.f . . 3 (𝜑𝐹𝑃)
3222, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31iscgra 26587 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹)))
3321, 32mpbird 259 1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3137   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  ⟨“cs3 14196  Basecbs 16475  TarskiGcstrkg 26208  Itvcitv 26214  cgrGccgrg 26288  hlGchlg 26378  cgrAccgra 26585 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-hash 13683  df-word 13854  df-concat 13915  df-s1 13942  df-s2 14202  df-s3 14203  df-cgra 26586 This theorem is referenced by:  cgrahl1  26594  cgrahl2  26595  cgraid  26597  cgrcgra  26599  dfcgra2  26608  sacgr  26609  tgsas2  26634  tgsas3  26635  tgasa1  26636
 Copyright terms: Public domain W3C validator