Theorem iscgrad 28745

Description: Sufficient conditions for angle congruence, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscgra.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
iscgra.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iscgra.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
iscgra.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
iscgra.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
iscgra.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
iscgra.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
iscgra.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
iscgra.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
iscgra.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
iscgrad.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
iscgrad.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
iscgrad.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
iscgrad.2	⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷)
iscgrad.3	⊢ (𝜑 → 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹)

Assertion

Ref	Expression
iscgrad	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem iscgrad

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscgrad.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
2		iscgrad.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
3		iscgrad.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
4		iscgrad.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷)
5		iscgrad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹)
6		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
7		eqidd 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐸 = 𝐸)
8		eqidd 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑦 = 𝑦)
9	6, 7, 8	s3eqd 14837	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ = ⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩)
10	9	breq2d 5122	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩))
11		breq1 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ↔ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷))
12	10, 11	3anbi12d 1439	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))
13		eqidd 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → 𝑋 = 𝑋)
14		eqidd 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → 𝐸 = 𝐸)
15		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → 𝑦 = 𝑌)
16	13, 14, 15	s3eqd 14837	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ = ⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
17	16	breq2d 5122	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩))
18		breq1 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹 ↔ 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹))
19	17, 18	3anbi13d 1440	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩ ∧ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹)))
20	12, 19	rspc2ev 3604	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩ ∧ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))
21	1, 2, 3, 4, 5, 20	syl113anc 1384	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))
22		iscgra.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
23		iscgra.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
24		iscgra.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
25		iscgra.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
26		iscgra.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
27		iscgra.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
28		iscgra.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
29		iscgra.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
30		iscgra.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
31		iscgra.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
32	22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31	iscgra 28743	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))
33	21, 32	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  ⟨“cs3 14815  Basecbs 17186  TarskiGcstrkg 28361  Itvcitv 28367  cgrGccgrg 28444  hlGchlg 28534  cgrAccgra 28741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-s2 14821  df-s3 14822  df-cgra 28742

This theorem is referenced by:  cgrahl1  28750  cgrahl2  28751  cgraid  28753  cgrcgra  28755  dfcgra2  28764  sacgr  28765  tgsas2  28790  tgsas3  28791  tgasa1  28792