Theorem iscgrad 26597

Description: Sufficient conditions for angle congruence, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscgra.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
iscgra.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iscgra.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
iscgra.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
iscgra.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
iscgra.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
iscgra.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
iscgra.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
iscgra.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
iscgra.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
iscgrad.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
iscgrad.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
iscgrad.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
iscgrad.2	⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷)
iscgrad.3	⊢ (𝜑 → 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹)

Assertion

Ref	Expression
iscgrad	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem iscgrad

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscgrad.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
2		iscgrad.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
3		iscgrad.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
4		iscgrad.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷)
5		iscgrad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹)
6		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
7		eqidd 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐸 = 𝐸)
8		eqidd 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑦 = 𝑦)
9	6, 7, 8	s3eqd 14226	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ = ⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩)
10	9	breq2d 5078	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩))
11		breq1 5069	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ↔ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷))
12	10, 11	3anbi12d 1433	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))
13		eqidd 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → 𝑋 = 𝑋)
14		eqidd 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → 𝐸 = 𝐸)
15		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → 𝑦 = 𝑌)
16	13, 14, 15	s3eqd 14226	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ = ⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
17	16	breq2d 5078	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩))
18		breq1 5069	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹 ↔ 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹))
19	17, 18	3anbi13d 1434	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩ ∧ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹)))
20	12, 19	rspc2ev 3635	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩ ∧ 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑌(𝐾‘𝐸)𝐹)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))
21	1, 2, 3, 4, 5, 20	syl113anc 1378	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))
22		iscgra.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
23		iscgra.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
24		iscgra.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
25		iscgra.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
26		iscgra.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
27		iscgra.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
28		iscgra.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
29		iscgra.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
30		iscgra.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
31		iscgra.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
32	22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31	iscgra 26595	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))
33	21, 32	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3139   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  ⟨“cs3 14204  Basecbs 16483  TarskiGcstrkg 26216  Itvcitv 26222  cgrGccgrg 26296  hlGchlg 26386  cgrAccgra 26593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-hash 13692  df-word 13863  df-concat 13923  df-s1 13950  df-s2 14210  df-s3 14211  df-cgra 26594

This theorem is referenced by:  cgrahl1  26602  cgrahl2  26603  cgraid  26605  cgrcgra  26607  dfcgra2  26616  sacgr  26617  tgsas2  26642  tgsas3  26643  tgasa1  26644