Theorem chnpolfz 18768

Description: Provided that chain's relation is a partial order, the chain length is restricted to a specific integer range. (Contributed by Ender Ting, 20-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnpolfz.1	⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
chnpolfz.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
chnpolfz.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
chnpolfz	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ (0...(♯‘𝐴)))

Proof of Theorem chnpolfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12674	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2		chnpolfz.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		hashcl 14467	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 12687	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
6		chnpolfz.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
7	6	chnwrd 18743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝐴)
8		lencl 14645	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 12687	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
11		hashge0 14498	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴) → 0 ≤ (♯‘𝐵))
12	6, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (♯‘𝐵))
13		chnpolfz.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
14	13, 6, 2	chnpolleha 18767	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
15	1, 5, 10, 12, 14	elfzd 13616	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ (0...(♯‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102   Po wpo 5553  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Fincfn 8951  0cc0 11171   ≤ cle 11315  ℕ₀cn0 12575  ...cfz 13608  ♯chash 14441  Word cword 14625   Chain cchn 18740

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-uz 12935  df-rp 13090  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-hash 14442  df-word 14626  df-lsw 14675  df-concat 14683  df-s1 14710  df-substr 14756  df-pfx 14788  df-chn 18741

This theorem is used by:  chnfi  18769