Theorem chnpolfz 18688

Description: Provided that chain's relation is a partial order, the chain length is restricted to a specific integer range. (Contributed by Ender Ting, 20-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnpolfz.1	⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
chnpolfz.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
chnpolfz.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
chnpolfz	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ (0...(♯‘𝐴)))

Proof of Theorem chnpolfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12602	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2		chnpolfz.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		hashcl 14391	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 12615	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
6		chnpolfz.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
7	6	chnwrd 18663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝐴)
8		lencl 14569	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 12615	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
11		hashge0 14422	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴) → 0 ≤ (♯‘𝐵))
12	6, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (♯‘𝐵))
13		chnpolfz.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
14	13, 6, 2	chnpolleha 18687	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
15	1, 5, 10, 12, 14	elfzd 13542	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ (0...(♯‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5108   Po wpo 5567  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8942  0cc0 11099   ≤ cle 11243  ℕ₀cn0 12503  ...cfz 13534  ♯chash 14365  Word cword 14549   Chain cchn 18660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-lsw 14599  df-concat 14607  df-s1 14633  df-substr 14678  df-pfx 14708  df-chn 18661

This theorem is referenced by:  chnfi  18689